Đề kiểm tra học kì 2 Toán Lớp 10 (Sách Chân trời sáng tạo) - Đề 2 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học kì 2 Toán Lớp 10 (Sách Chân trời sáng tạo) - Đề 2 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2022-2023 (Đề thi gồm có 03 trang) Môn: Toán 10 Chân trời sáng tạo Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: a) x2 2x 4 2 x ; b) 3x2 9x 1 x 2 . Câu 2. (1,5 điểm) Cho f x m 4 x2 m 1 x 1 2m (m là tham số). a) Giải bất phương trình f x 0 khi m 3 . b) Tìm tất cả giá trị m để phương trình f x 0 có nghiệm. Câu 3. (1,5 điểm) Từ một nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C, cần chọn ra 15 học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho: a) Số học sinh mỗi khối là bằng nhau ? b) Có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C? Câu 4. (1,0 điểm) Cho sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Từ sáu chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ? Câu 5. (1,0 điểm) Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30. a) Tính xác suất để thẻ được lấy ghi một số nguyên tố. b) Tính xác suất để thẻ được lấy ghi một số không chia hết cho 5 . Câu 6. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1;4 , B 3; 2 ,C 4;1 a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB . Tính diện tích tam giác ABC b) Viết phương trình đường tròn C đi qua 2 điểm A, B và có tâm nằm trên đường thẳng : 2x 3y 4 0 . Câu 7. (1,0 điểm) Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm 1 A 3; và có phương trình một đường chéo của hình chữ nhật cơ sở của (E) là 2 x 2y 0 . Câu 8. (1,0 điểm) Một cái tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol x2 y2 có phương trình 1. Biết chiều cao của tháp là 150 m và khoảng cách 282 422 2 từ nóc tháp đến đến tâm đối xứng của hypebol bằng lần khoảng cách từ tâm 3 đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.
2. HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN Câu 1. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: a) x2 2x 4 2 x ; b) 3x2 9x 1 x 2 . Hướng dẫn giải: a) Bình phương hai vế phương trình, ta được: x2 2x 4 2 x x2 3x 2 0 x 1 x 2 . Thay các giá trị x 1, x 2 vào phương trình ban đầu, ta thấy chúng đều thỏa mãn. Vậy, tập nghiệm phương trình là S 1; 2. b) Bình phương hai vế phương trình, ta được: 1 3x2 9x 1 x2 4x 4 2x2 5x 3 0 x 3 x . 2 1 Thay các giá trị x 3, x vào phương trình ban đầu, ta thấy chỉ có x 3 2 thỏa mãn. Vậy tập nghiệm phương trình: S 3 . Câu 2. (1,5 điểm) Cho f x m 4 x2 m 1 x 1 2m (m là tham số). a) Giải bất phương trình f x 0 khi m 3 . b) Tìm tất cả giá trị m để phương trình f x 0 có nghiệm. Hướng dẫn giải: a) Với m 3 , ta có bất phương trình x2 4x 5 0 . Vì tam thức bậc hai x2 4x 5 có hai nghiệm phân biệt là 1 và 5 ; đồng thời a 1 0 nên x2 4x 5 0 x ; 5  1; . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ; 5  1; . b) Ta có: a m 4, b m 1 , c 1 2m . Trường hợp 1: a m 4 0 m 4 . Thay vào phương trình: 7 5x 7 0 x (có nghiệm). 5 Do đó: m 4 thỏa mãn. Trường hợp 2: a m 4 0 m 4 . Phương trình có nghiệm khi m 1 2 4 m 4 1 2m 0 7m2 38m 15 0 . 3 5 m . 7 3 Kết hợp cả hai trường hợp trên, ta có được m 5; thỏa mãn đề bài. 7 Câu 3. (1,5 điểm) Từ một nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C, cần chọn ra 15 học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:
3. a) Số học sinh mỗi khối là bằng nhau ? b) Có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C? Hướng dẫn giải: 5 5 5 a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối (A, B, C) lần lượt là: C15 , C10 , C5 . 5 5 5 Vậy số cách chọn thỏa mãn là C15 C10 C5 756756 (cách). b) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như lời giải sau: Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B hoặc khối A: có 2 13 C5 C25 cách. Xét bài toán 2: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B và khối A không thỏa yêu cầu. Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối 2 10 3 A có C5 C10 C15 cách. Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C, 9 học sinh khối B và 4 học sinh khối 2 9 4 A có C5 C10C15 cách. 2 13 10 3 9 4 Vậy số cách chọn thỏa mãn là C5 C25 C10 C15 C10C15 51861950 (cách). Câu 4. (1,0 điểm) Cho sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Từ sáu chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ? Hướng dẫn giải: Số có bốn chữ số có dạng abcd . Đặt E 0;1;2;3;4;5 . Do abcd không chia hết cho 5 nên có 4 cách chọn d ( một trong các số: 1, 2, 3, 4). Chọn a E \ 0; d nên có 4 cách chọn a. Chọn b E \ a; d nên có 4 cách chọn b. Chọn c E \ a; b; d nên có 3 cách chọn c. Theo quy tắc nhân ta có : 4.4.4.3 192 số tự nhiên thỏa mãn. Câu 5. (1,0 điểm) Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30. a) Tính xác suất để thẻ được lấy ghi một số nguyên tố. b) Tính xác suất để thẻ được lấy ghi một số không chia hết cho 5 . Hướng dẫn giải: Không gian mẫu là  1; 2; ; 30 n  30 . Gọi A là biến cố “Thẻ được lấy ghi một số nguyên tố” và B là biến cố “Thẻ được lấy ghi một số không chia hết cho 5”. a) Ta có: A 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 n A 10 . Suy ra 10 1 P A . 30 3 b) Từ không gian mẫu, có 6 số tự nhiên chia hết cho 5 là 5, 10, 15, 20, 25, 30. Vì vậy có 24 số tự nhiên không chia hết cho 5, hay n B 24 . n B 24 4 Ta có: P B . n  30 5
4. Câu 6. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1;4 , B 3; 2 ,C 4;1 a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB . Tính diện tích tam giác ABC b) Viết phương trình đường tròn C đi qua 2 điểm A, B và có tâm nằm trên đường thẳng : 2x 3y 4 0 . Hướng dẫn giải:  a) AB có vectơ chỉ phương AB 2; 6 nên có vectơ pháp tuyến n 3; 1 Phương trình tổng quát AB : 3 x 1 y 4 0 3x y 7 0 . 3.4 1 7 9 10 1 d C, AB ; AB 2 10 ; SABC d C, AB .AB 18 . 32 1 2 5 2 b) Gọi phương trình C : x2 y2 2ax 2by c 0 với a2 b2 c 0 . Đường tròn này có tâm I a;b 2a 8b c 17 Do A, B C và I nên ta có hệ phương trình: 6a 4b c 13. 2a 3b 4 Giải hệ phương trình trên, tìm được a;b;c 5;2;9 . Vậy phương trình đường tròn x2 y2 10x 4y 9 0 . Câu 7. (1,0 điểm) Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm 1 A 3; và có phương trình một đường chéo của hình chữ nhật cơ sở của (E) là 2 x 2y 0 . Hướng dẫn giải: x2 y2 Gọi phương trình chính tắc elip là E : 1 với a b 0 . a2 b2 1 3 1 Ta có: A 3; E 2 2 1 (1). 2 a 4b 1 Đường chéo hình chữ nhật có phương trình x 2y 0 y x , suy ra 2 b 1 a 2b (2) a 2 3 1 Thay (2) vào (1) : 1 b 1 a 2 . Vậy phương trình chính tắc: 4b2 4b2 x2 y2 E : 1 . 4 1 Câu 8. (1,0 điểm) Một cái tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol x2 y2 có phương trình 1. Biết chiều cao của tháp là 150 m và khoảng 282 422
5. 2 cách từ nóc tháp đến đến tâm đối xứng của hypebol bằng lần khoảng cách từ 3 tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp. Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. HK 150 OH OK 150 Ta có : 2 2 OH 60 m, OK 90 m . OH OK OH OK 3 3 Đường thẳng qua H, vuông góc Oy là 1 : y 60 . 1 cắt hypebol tại điểm có hoành độ dương và thỏa mãn x2 602 1 x 4 149 48,826 m . 282 422 Đường thẳng qua K, vuông góc với Oy là 2 : y 90 . 2 cắt hypebol tại điểm x2 902 có hoành độ dương và thỏa mãn 1 x 4 274 66,212 m . 282 422 Vậy bán kính nóc của tháp xấp xỉ 48,826 m , bán kính đáy của tháp xấp xỉ 66,212 m .