Đề kiểm tra học kì 2 Toán Lớp 10 (Sách Chân trời sáng tạo) - Đề 4 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học kì 2 Toán Lớp 10 (Sách Chân trời sáng tạo) - Đề 4 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2022-2023 (Đề thi gồm có 03 trang) Môn: Toán 10 Chân trời sáng tạo Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
2. Câu 1. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: a) 2x2 5 x2 x 11 ; b) 5x 10 8 x . Câu 2. (1,0 điểm) Tìm tất cả tham số m để f x mx2 2x m luôn âm với mọi x ¡ . Câu 3. (1,5 điểm) a) Cho tập hợp A 0; 1; 2; 3; 4; 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau? b) Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt (n 2). Biết rằng có 2800 tam giác mà đỉnh của chúng là các điểm nói trên. Tìm n. 3 3 Câu 4. (1,0 điểm) Xét biểu thức x 2y 2x y . Viết khai triển biểu thức trên bằng nhị thức Newton và tìm tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y. Câu 5. (1,0 điểm) Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để: a) Tổng số chấm thu được từ hai con súc sắc bằng 6. b) Tích số chấm trên hai con súc sắc là một số chính phương. Câu 6. (1,5 điểm) a) Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 biết rằng: d1 : 2x y 10 0 và d2 : x 3y 9 0 . b) Viết phương trình đường thẳng d song song với : x 4y 2 0 và cách điểm A 2; 3 một khoảng bằng 3. x2 y2 Câu 7. (1,5 điểm) Cho elip có phương trình chính tắc E : 1. 8 4 a) Tìm tọa độ các tiêu điểm F1 , F2 và tiêu cự, tâm sai của elip. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc E sao cho MF1 MF2 2 . Câu 8. (1,0 điểm) Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4 m, đồng thời muốn CE 5 đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài . Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét? BD 3
3. HƯỚNG ĐẪN ĐÁP ÁN Câu 1. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: a) 2x2 5 x2 x 11 ; b) 5x 10 8 x . Hướng dẫn giải: a) Bình phương hai vế phương trình, ta được: 2x2 5 x2 x 11 x2 x 6 0 x 2  x 3 . Thay các giá trị x 2 , x 3 vào phương trình, ta thấy chúng đều thỏa mãn. Vậy, tập nghiệm phương trình là S 2; 3 . b) Bình phương hai vế phương trình, ta được: 2 2 x 3 5x 10 64 16x x x 21x 54 0 . x 18 Thay cả hai giá trị x 3, x 18 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x 3 thỏa mãn. Vậy tập nghiệm phương trình: S 3 . Câu 2. (1,0 điểm) Tìm tất cả tham số m để f x mx2 2x m luôn âm với mọi x ¡ . Hướng dẫn giải: Ta có: a m, b 2, c m . Theo giả thiết: mx2 2x m 0, x ¡ (*) . Trường hợp 1: a m 0 . Thay vào (*): 2x 0, x ¡ x 0, x ¡ (sai). Suy ra m 0 không thỏa. Trường hợp 2: a m 0 . Khi đó: a 0 m 0 (*) 2 0 2 4m.m 0 m 0 m 0 m 0 m 1. 2 m 1 m 1 m 1 m 1 Vậy với m 1 thì f x luôn âm với mọi x ¡ . Câu 3. (1,5 điểm) c) Cho tập hợp A 0; 1; 2; 3; 4; 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau? d) Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt (n 2). Biết rằng có 2800 tam giác mà đỉnh của chúng là các điểm nói trên. Tìm n. Hướng dẫn giải: a) Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là abcd với a, b, c, d lấy từ tập A. Trường hợp 1: d 0 . Chọn d: có 1 cách. Chọn a a 0 : có 5 cách. Số cách chọn b, c lần lượt là 4, 3.
4. Số các số tự nhiên trong trường hợp này là 1 5 4 3 60 . Trường hợp 2: d 2; 4 . Chọn d: có 2 cách. Chọn a a 0, a d : có 4 cách. Số cách chọn b, c lần lượt là 4, 3. Số các số tự nhiên trong trường hợp này là 2 4 4 3 96 . Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 60 96 156 . b) Nhận xét: Một tam giác được tạo thành cần 2 điểm thuộc d1 ; 1 điểm thuộc d2 2 1 1 2 và ngược lại. Vì vậy số tam giác có được là: C10Cn C10Cn . 2 1 1 2 Ta có: C10Cn C10Cn 2800 45n 5n n 1 2800 0 n 20. 3 3 Câu 4. (1,0 điểm) Xét biểu thức x 2y 2x y . Viết khai triển biểu thức trên bằng nhị thức Newton và tìm tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y. Hướng dẫn giải: 3 3 0 3 1 2 2 2 3 3 a) Ta có: x 2y 2x y C3 x C3 x 2y C3 x 2y C3 2y 0 3 1 2 2 2 3 3 C3 2x C3 2x y C3 2x y C3 y x3 6x2 y 12xy2 8y3 8x3 12x2 y 6xy2 y3 9x3 6x2 y 18xy2 7y3 . b) Có hai số hạng mà lũy thừa của x lớn hơn lũy thừa của y là 9x3 , 6x2 y . Tổng hệ số của chúng: 9 6 3. Câu 5. (1,0 điểm) Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để: a) Tổng số chấm thu được từ hai con súc sắc bằng 6. b) Tích số chấm trên hai con súc sắc là một số chính phương. Hướng dẫn giải: Số phần tử không gian mẫu là n  6 6 36. a) Gọi biến cố A: “Tổng số chấm thu được từ hai con súc sắc bằng 6”. Ta có: A 1; 5 , 2; 4 , 3; 3 , 5; 1 , 4; 2  n A 5 . n A 5 Do vậy P A . n  36 b) Gọi biến cố C : “Tích số chấm trên hai con súc sắc là một số chính phương” Ta có : C 1; 1 , 2; 2 , 3; 3 , 4; 4 , 5; 5 , 6; 6 , 1; 4 , 4; 1  n C 8. n C 8 2 Vậy P C . n  36 9 Câu 6. (1,5 điểm) a) Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 biết rằng: d1 : 2x y 10 0 và d2 : x 3y 9 0 . b) Viết phương trình đường thẳng d song song với : x 4y 2 0 và cách điểm A 2; 3 một khoảng bằng 3. Hướng dẫn giải:
5. a) Hai đường d1, d2 có cặp vectơ pháp tuyến n1 2; 1 , n2 1; 3 . n1.n2 2.1 3.1 5 2 cos d1 , d2 d1,d2 45 . n1 . n2 4 1. 1 9 5 2 2 b) Ta có: d // : x 4y 2 0 Phương trình d có dạng: x 4y c 0 c 2 . 2 4.3 c Mặt khác: d A, d 3 3 10 c 3 17 1 16 c 3 17 10 d : x 4y 3 17 10 0 1 . c 3 17 10 d2 : x 4y 3 17 10 0 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x 4y 3 17 10 0; x 4y 3 17 10 0. x2 y2 Câu 7. (1,5 điểm) Cho elip có phương trình chính tắc E : 1. 8 4 a) Tìm tọa độ các tiêu điểm F1 , F2 và tiêu cự, tâm sai của elip. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc E sao cho MF1 MF2 2 . Hướng dẫn giải: a) Ta có a2 8 a 2 2 ; b2 4 b 2 ; c2 a2 b2 4 c 2. Do đó elip có các tiêu điểm F1 2;0 , F2 2;0 , tiêu cự F1F2 2c 4, tâm sai c 2 e . a 2 c 1 1 b) Gọi M x; y E MF a x 2 2 x, M F 2 2 x ; 1 a 2 2 2 1 1 MF1 MF2 2 2 2 x 2 2 x 2 x 2 . 2 2 2 y2 Thay vào E : 1 y2 3 y 3 . 8 4 Vậy M 2 ; 3 hoặc M 2 ; 3 thỏa mãn đề bài. Câu 8. (1,0 điểm) Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4 m, đồng thời muốn CE 5 đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài . Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét? BD 3 Hướng dẫn giải: Đặt AB x 0 . Xét tam giác ABC vuông tại B có: AC x2 16 . AC CE x2 16 5 Theo tính chất định lí Ta-lét, ta có: AB BD x 3 5x 0 x 0 3 x2 16 5x x 3 . 2 2 2 9 x 16 25x 16x 144 Vậy hai vị trí A, B cách nhau 3 m.