Đề ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Đề số 12 - Năm học 2023-2024 (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Đề số 12 - Năm học 2023-2024 (Có lời giải chi tiết)

1. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 ___ĐỀ ÔN TẬP SỐ 12___ Bài 1. (2,0 điểm) 1) Tính A 4 3. 12. x x 4 x xx 0; 4 2) Cho biểu thức B : với . 22 x4 x x x Rút gọn B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để Bx . Bài 2. (1,5 điểm) Cho hàm số yx 2 có đồ thị P và đường thẳng d : y k x 2 k 4 . a) Vẽ đồ thị . Chứng minh rằng d luôn đi qua điểm C 2;4 . b) Gọi H là hình chiếu của điểm B 4;4 trên . Chứng minh rằng khi k thay đổi k 0 thì diện tích tam giác HBC không vượt quá 9cm2 ( đơn vị đo trên các truc tọa độ là xentimét). Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 4 m 1 x 12 0 * , với m là tham số. a) Giải phương trình khi m 2. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa 2 mãn 4x1 2 . 4 m x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 8 . Bài 4. (1,5 điểm) 1) Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2021 và hiệu của số lớn và số bé bằng 15. 2) Một địa phương lên kế hoạch xét nghiệm SARS-COV-2 cho 12000 người trong một thời gian quy định. Nhờ cải tiến phương pháp nên mỗi giờ xét nghiệm được thêm 1000 người. Vì thế, địa phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch là 16 giờ. Hỏi theo kế hoạch, địa phương này phải xét nghiệm trong thời gian bao nhiêu giờ? Bài 5. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC, các đường cao BD,, CE D AC E AB cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp. b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính AH cắt AM tại điểm G ( khác A ). Chứng minh rằng AE AB AG AM . c) Hai đường thẳng DE và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng MAC GCM và đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MBE,D MC song song với đường thẳng KG. ___HẾT___
2. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 ___LỜI GIẢI CHI TIẾT___ Bài 1. (2,0 điểm) 1) Tính A 4 3. 12. x x 4 x xx 0; 4 2) Cho biểu thức B : với . 22 x4 x x x Rút gọn B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để Bx . Lời giải 1) Tính Ta có: A 4 3. 12 22 3.12 2 36 2 6 8. 2) Với . xx 2 xx 4 B : x 2 . x 2 x 2 . x 2 x x 2 x 24 x x xx 2 B  xx 2 . 2 x 2 x 2 x x 2 2 B  . xx 2 . 2 x x 2 Vậy với thì B . x 2 Xét Bx x 22 xx x Mà x và nên x 1. Bài 2. (1,5 điểm) Cho hàm số yx 2 có đồ thị P và đường thẳng d : y k x 2 k 4 . a) Vẽ đồ thị . Chứng minh rằng d luôn đi qua điểm C 2;4 . b) Gọi H là hình chiếu của điểm B 4;4 trên . Chứng minh rằng khi k thay đổi k 0 thì diện tích tam giác HBC không vượt quá 9cm2 ( đơn vị đo trên các truc tọa độ là xentimét). Lời giải a) Vẽ đồ thị . Chứng minh rằng luôn đi qua điểm * Vẽ đồ thị x -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 Vậy đồ thị là parabol đi qua các điểm 2;4 , 1;2 , 0;0 , 1;1 , 2;4 .
3. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 y y = x2 O 1 x * Chứng minh rằng d luôn đi qua điểm C 2;4 . Giả sử Cd yCC k. x 2 k 4 4 kk .2 2 4 44 ( đúng) Vậy luôn đi qua điểm b) 2 y y = x (d) B C H O 1 x Ta có: H là hình chiếu của điểm B 4;4 trên BH HC ( vì Cd ) HBC vuông tại H BC2 BH 2 HC 2 ( định lý pytago) 1 Có: S BH HC BHC 2 ab22 Áp dụng bất đẳng thức ab. , ta được: 2 11BH2 CH 2 BC 2 S BH HC 1 BHC 2 2 2 4 Mà BC xCB x 2 4 6 6 2 2 Thay vào ta được: SBHC 9 ( cm ) BH HC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 BH HC 32 BH HC BC 36 Vậy khi k thay đổi k 0 thì diện tích tam giác HBC không vượt quá 9cm2 Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 4 m 1 x 12 0 * , với m là tham số. a) Giải phương trình khi m 2.
4. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình * có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa 2 mãn 4x1 2 . 4 m x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 8 . Lời giải a) Với m 2 thì phương trình trở thành: xx2 4 12 0 x2 6 x 2 x 12 0 x x 6 2 x 6 0 xx 6 2 0 xx 6 0 6 xx 2 0 2 Vậy với thì phương trình có tập nghiệm là S 6;2. b) Phương trình có ac. 1. 12 12 0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. x12 x 44 m Theo định lí Vi-et ta có: 1 xx12. 12 2 Vì x2 là nghiệm của phương trình nên ta có: x22 4 m 1 x 12 0 2 x2 4 mx 2 4 x 2 12 0 2 x2 4 mx 2 4 4 x 2 4 0 2 4 4 mx2 x 2 4 x 2 4 2 4 4 mx22 x 2 2 2. 4 mx22 x 2 2. 4 mx22 x 2 2 2 Mà theo bài có: 4x1 2 . 4 m x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 8 3 2 Thay , vào ta được: 2.x12 2 . x 2  4 m 4 12 8 2 2.x1 x 2 2 x 1 x 2 4 8 4 m 2. 12 2 4m 4 4 64 64 m 16 m2 2. 16 8m 16 m2 4 m 4 2 16.mm 2 16 2 2 mm 22 24 mm 22 42 mm 2 2 0 2 mm 2 0 2 m 20 22 m 20 mm 2 . 2 1 0 mm 2 1 3 2 2 m 2 1 0 m 21 mm 2 1 1
5. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 Vậy m 1;2;3 Bài 4. (1,5 điểm) 1) Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2021 và hiệu của số lớn và số bé bằng 15. 2) Một địa phương lên kế hoạch xét nghiệm SARS-COV-2 cho 12000 người trong một thời gian quy định. Nhờ cải tiến phương pháp nên mỗi giờ xét nghiệm được thêm 1000 người. Vì thế, địa phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch là 16 giờ. Hỏi theo kế hoạch, địa phương này phải xét nghiệm trong thời gian bao nhiêu giờ? Lời giải 1) Gọi số lớn là x (xx 15, ) , số bé là y y . Tổng của hai số là 2021 nên ta có phương trình: xy 2021 1 Hiệu của số lớn và số bé bằng 15 nên ta có phương trình: xy 15 2 x y 2021 2 x 2036 x 1018 t/m Từ , ta có hệ phương trình: x y 15 x y 15 y 1003 t/m Vậy số lớn là 1018, số bé là 1003. 2) Gọi số người được xét nghiệm trong một giờ theo dự định là (người) (xx 12000,* ) 12000 Theo kế hoạch, thời gian để địa phương đó xét nghiệm hết 12000 người là ( giờ) x Thực tế, số người được xét nghiệm trong một giờ là x 1000 (người) 12000 Thực tế, thời gian địa phương đó xét nghiệm hết 12000 người là ( giờ) x 1000 Do địa phương hoàn thành kế hoạch sớm hơn 16 giờ nên ta có phương trình: 12000 12000 16 xx 1000 12000 x 1000 12000 x 16 x x 1000 12000x 12000000 12000 x 16 x2 16000 x 16xx2 16000 12000000 0 xx2 1000 750000 0 x2 1500 x 500 x 750000 0 x x 1500 500 x 1500 0 xx 1500 500 0 x 1500 0 x 1500 kh«ng tháa m·n x 500 0 x 500 tháa m·n 12000 Vậy theo kế hoạch, địa phương này cần 24 (giờ) để xét nghiệm xong. 500 Bài 5. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC, các đường cao BD,, CE D AC E AB cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp.
6. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính AH cắt AM tại điểm G ( khác A ). Chứng minh rằng AE AB AG AM . c) Hai đường thẳng DE và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng MAC GCM và đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MBE,D MC song song với đường thẳng KG. Lời giải A D E G H B C M a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp. Xét tứ giác có: BDC 90o (BD là đường cao) BEC 90o (CE là đường cao) BDC BEC 90o , mà hai góc này kề nhau cùng nhìn đoạn BC một góc bằng 90o . BEDC là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh . Xét tứ giác AEHD có: AEH ADH 90o (gt) AEH ADH 90o 90 o 180 o , mà hai góc này ở vị trí đối nhau. AEHD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH . AGE ADE (góc nội tiếp cùng chắn AE ) 1 Ta có: tứ giác nội tiếp (cma) EBC ADE (góc ngoài của tứ giác nội tiếp) 2 Từ , AGE EBC hay AGE ABM Xét AGE và ABM có: A chung (cmt) AGE ABM (g - g) AG AB AE AB AG AM (đpcm) AE AM c)
7. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 A N D E G H J I K B C M Xét đường tròn đường kính AH có: AGD AED (góc nội tiếp cùng chắn AD ) Mà AED DCB (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác BEDC ) AGD ACB DCM Lại có: AGD DGM 180o (kề bù) DGM DCM 180o ,mà hai góc này ở vị trí đối nhau GDCM là tứ giác nội tiếp MGC MDC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC ) 1 1 Lại có: DM BC MC (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) MCD cân tại M . 2 MDC MCD (hai góc ở đáy của tam giác cân) 2 Từ , MGC MCD hay MGC MCA Xét GCM và CAM có: AMC chung MGC MCA (cmt) GCM CAM (g- g) MAC GCM (hai góc tương ứng) (đpcm) Ta có: AGE ABM (cmb) hay AGE EBM Mà: AGE EGM 180o (kề bù) EBM EGM 180o ,mà hai góc này ở vị trí đối nhau EBGM là tứ giác nội tiếp Ta có hai tứ giác EBGM, GDCM là các tứ giác nội tiếp Đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MBE, MCD là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EBGM , J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác GDCM Mà giao của hai tứ giác là GM IJ GM * Gọi F  AH BC AF  BC AFB 90o
8. Bộ đề ôn thi vào lớp 10 Xét tứ giác ADFB có: AFB BDA 90o , mà hai góc này ở vị trí kề nhau ADFB là tứ giác nội tiếp. BAC DFM (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp) 3 Mà EDH EAH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH ) 4 1 Lại có: DM BC BM (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) MBD cân tại M . 2 BDM DBM hay HDM DBM Mà DBM HAD (cùng phụ với ACB ) HDM HAD 5 Từ , , EDM EDH HDM EAH HAD BAC DFM KDM Xét FDM và DKM có: KMD chung; DFM KDM (Cmt) MD FM FDM DKM (g - g) MD2 FM. KM KM MD MC GM Có: GCM CAM (cmt) MC2 MG. MA AM MC FM MA Mà MD MC (cmt) FM KM MG MA GM MK FGM AKM (c-g-c) FGM AKM (hai góc ương ứng) AGFK là tứ giác nội tiếp ( tứ giác có goc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện). AFK AGK 90o (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK ) KG AG hay KG GM Từ * , IJ // KG Vậy đường tròn nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MBE, MCD song song với KG . ___HẾT___