Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH NINH BÌNH Năm học 2022 - 2023 Bài thi môn chuyên: Toán; Ngày thi: 10/6/2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang Câu 1 (2,0 điểm): x+3 x+2 x+2 x2 Cho biểu thức với A = + : 1 x > 0, x 4, x 9. x 2 x 3 x 5 x + 6 x x 2 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x =3 2 2. Câu 2 (2,0 điểm): 1. Giải phương trình x2 3x 2 2(2 x) x 1 0. 2x2 2y 2 8x 4y 1 2. Giải hệ phương trình  2 2 x 7y 4xy 6y 6 Câu 3 (2,0 điểm): 1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2y 3z 6. Chứng minh rằng : 1 1 3 3 9  x2 4y 2 9z 2 49xy 49yz 98zx 49 2. Tìm tất cả các số nguyên dương a và các số nguyên tố p thỏa mãn a2 7p 4 9. Câu 4 (3,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC (AB AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P, Q ( P thuộc cung nhỏ AB và Q thuộc cung nhỏ AC ). Lấy điểm D trên cạnh BC ( D B;D C ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại điểm I ( I khác B ). Đường thẳng DI cắt AC tại K . 1. Chứng minh rằng tứ giác AIPK nội tiếp. PK QB 2. Chứng minh rằng =  PD QA 3. Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G ( G khác P ). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại điểm E . Chứng minh rằng khi điểm D di chuyển trên cạnh CD BC thì tỉ số không đổi. CE Câu 5 (1,0 điểm): Cho bảng ô vuông 3x 3 (gồm ba dòng và ba cột). Người ta ghi tất cả các số thuộc tập hợp 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9vào các ô vuông của bảng, mỗi ô vuông ghi một số, sao cho tổng các số trong mỗi bảng vuông con cỡ 2 x 2 đều bằng nhau. 1. Hãy chỉ ra một cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2. Trong tất cả các cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài toán, tìm giá trị lớn nhất của tổng các số trong mỗi bảng vuông con cỡ 2 x 2. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ và tên, chữ ký: Cán bộ coi thi thứ nhất: Cán bộ coi thi thứ hai:
2. - 1 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2022 - 2023 Bài thi môn chuyên: TOÁN - Ngày thi: 10/6/2022 (Hướng dẫn chấm gồm 09 trang) I. Hướng dẫn chung 1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó. 2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau. 3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm. 4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho đủ điểm, thang điểm chi tiết do Ban chấm thi thống nhất. 5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và có biên bản thống nhất thực hiện trong toàn Ban chấm thi. 6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. II. Hướng dẫn chi tiết Câu Nội dung Điểm Câu 1 (2,0 điểm): x+3 x+2 x+2 x2 Cho biểu thức A = + : -1 Câu 1 x 2 x 3 x 5 x + 6 x x 2 với x > 0, x 4, x 9. 1 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức A. ( x + 3)( x -3) ( x + 2)( x - 2) x + 2 x - 2 A = - + : -1 0,25 ( x -3)( x - 2) ( x -3)( x - 2) x-5 x + 6 x - x 2 (x 9) (x 4) x + 2 x - 2 = : -1 0,25 ( x 3)( x 2) x - x 2 x 3 x - 2 x x 2 = : Ý 1 0,25 ( x 3)( x 2) x - x 2 1 x = : 0,25 x 2 x - x 2 1 ( x 1)( x 2) = . 0,25 x 2 x x 1 = . 0,25 x Ý 2 2 (0,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức A khi x =3 2 2. Ta có x322(21) 2 x 21 0,25 x 1 1 Khi đó A = 1 1 ( 2 1) 2 2 0,25 x 2 1 Câu 2 1 (1,0 điểm). Giải phương trình: x2 3x 2 2(2 x) x 1 0 Cách 1. Điều kiện xác định: x 1. 2 0.25 Khi đó phương trình x x 1 4 x x 1 3 0
3. - 2 - 2 t 1 Đặt t x x 1 , phương trình trở thành: t 4t 3 0 0.25 t 3 x 1(TM) Với t = 1, ta có: x x 1 = 1 x 1 x 1 1 0 0.25 x 2(TM) x 3 Với t = 3, ta có: = 3 x x 1 x1x3 2 x5(TM) x 7x 10 0 0.25 Vậy phương trình có các nghiệm: x = 1; x = 2; x = 5. Cách 2: Điều kiện xác định: x 1. Phương trình ban đầu tương đương với pt 0.25 (x 1)(x 2) 2(x 2) x 1 0 (x 2). x 1.( x 1 2) 0 0.25 x 2 0 x 1 0 0.25 x 1 2 x 2 x 1 0.25 2 x 2 1 5 Vậy phương trình có các nghiệm: x = 1; x = 2; x = 5. Cách 3: Điều kiện xác định: x 1(*) . Ta có: x2 2(2 x) x 1 3x 2 0 (x 1) 2(2 x) x 1 x 2 4x 3 0 (1) Đặt x 1 t,(t 0) phương trình (1) trở thành 0.25 t2 2(2 x)t x 2 4x 3 0 (t x 1)(t x 3) 0 t x 1 t x 3 *) Với t x 1 ta có x 1 0 x 1(TM(*)) 0.25 x 1 x 1 x 1( x 1 1) 0 x 1 1 x 2(TM(*)) x 3 x 3 x 1 x 3 2 2 x 1 x 6x 9 x 7x 10 0 *) Với t x 3 ta có x 3 0.25 x 2 x 5(TM(*)) x 5 Vậy phương trình có các nghiệm: x = 1; x = 2; x = 5. 0.25 2x2 2y 2 8x 4y 1 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:  2 2 x 7y 4xy 6y 6 Cách 1: 2 29 2 2 9 x 4x4y 2y1 (x2) (y1) (1) Hpt 2 2 0.25 2 2 2 2 2 x 4xy 4y 3y 6y 3 9 (x 2y) 3(y 1) 9(2)
4. - 3 - 2(x 2)2 (x 2y) 2 (y 1) 2 0 (x 2) 2 (x 2y) 2 (x 2) 2 (y 1) 2 0 (2x 2y 2)(2y 2) (x y 3)(x y 1) 0 (x y 1)(4y 4) (x y 3)(x y 1) 0 0,25 (x y 1)(x 5y 7) 0 x y 1 (*) x 5y 7 ( ) TH1: x = y-1 vào (1) được: 9 9 9 (y 1 2)2 (y 1) 2 2(y 1) 2 (y 1) 2 2 2 4 1 1 0,25 y x 2 2 5 7 y x 2 2 TH2: x = 5 y- 7 vào (1) được: 9 9 9 ( 5y 7 2)2 (y 1) 2 26(y 1) 2 (y 1) 2 2 2 4.13 3 15 y 1 x 2 2 13 2 13 0,25 3 15 y 1 x 2 2 13 2 13 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1 1 7 5 15 3 15 3  (x;y) ( ;);( ; );(2 ;1 );(2 ;1 )  2 2 2 2 2 13 2 13 2 13 2 13  Cách 2: 2x2 2y 2 8x 4y 1 (1) 2 2 x 7y 4xy 6y 6 (2) 0,25 Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được x2 5y 2 4xy 8x 2y 7 0 2 (x 2(y 2) 9(y 1)2 0 (x y 1)(x 5y 7) 0 x y 1 0,25 x 5y 7 Chú ý: Học sinh có thể tính và tìm ra hai trường hợp x y 1 và x 5y 7 TH1: x = y-1 vào (1) được: 2(y1) 2 2y 2 8(y1) 4y1 0 4y 2 8y 5 0 1 1 y x 0,25 2 2 5 7 y x 2 2
5. - 4 - TH2: x = 5 y- 7 vào (1) được: 2(5y 7)2 2y 2 8( 5y 7) 4y 1 0 52y 2 104y 43 0 3 15 y 1 x 2 2 13 2 13 3 15 0,25 y 1 x 2 2 13 2 13 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1 1 7 5 15 3 15 3  (x;y) ( ;);( ; );(2 ;1 );(2 ;1 )  2 2 2 2 2 13 2 13 2 13 2 13  Câu 3 (2,0 điểm): 1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2y 3z 6. Chứng minh rằng : Câu 3 1 1 3 3 9  x2 4y 2 9z 2 49xy 49yz 98zx 49 2. Tìm tất cả các số nguyên dương a và các số nguyên tố p thỏa mãn a2 7p 4 9. 1. (1,0 điểm): Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2y 3z 6. 1 1 3 3 9 Chứng minh rằng :  x2 4y 2 9z 2 49xy 49yz 98zx 49 1 1 3 3 Đặt P x2 4y 2 9z 2 49xy 49yz 98zx Cách 1. Đặt a x;b 2y;c 3z . Khi đó a b c 6 ab xy 2 0,25 bc Khi đó yz . 6 ca zx 3 1 2 18 9 Khi đó biểu thức P trở thành P  a2 b 2 c 2 49ab 49bc 98ca (a)2 (a) 2(a)2 (a) 2 (aa aa) 2 Áp dụng bất đẳng thức 1 2 3 4 1 2 3 4 , b1 b 2 b 3 b 4 b 1 b 2 b 3 b 4 với a,a ,a,a ,b,b,b,b là các số thực và b ,b ,b ,b 0 . 0,25 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 aaa a Dấu bằng xẩy ra khi 1 2 3 4 b1 b 2 b 3 b 4 Ta có 4 36 9 2 6 3 2 (1 ) 0,25 1 49 49 49 7 7 7 P a2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca 18 18 ()2 () 2 0,25 9 7 7 (a b c)2 36 49 2. (1,0 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương a và các số nguyên tố p thỏa mãn a2 7p 4 9.
6. - 5 - Kiểm tra p 2 . Khi đó a2 7.2 4 9 121 a 11 0,25 Kiểm tra p 3. Khi đó a2 7.3 4 9 576 a 24 Giả sử tồn tại số nguyên dương a và số nguyên tố p thỏa mãn ycbt. 0,25 Ta có a2 7p 4 9 a 2 9 7p 4 (a 3)(a 3) 7p(p 4 5)(1) Trường hợp 1: Nếu a 3  7 a 7b 3 Khi đó thay vào (1) ta có: 7.p4 7b(7b 6) p 4 b(7b 6) Vì 0,25 a2 7p 4 9 7.5 4 9 4384 a 67 7b 3 67 b 10 b pm (1 m 4). 4mm 4m m Suy ra p p (7p 6) p 7.p 6 6 p (loại do p 5 ) Trường hợp 2: Nếu a 3  7 a 7b 3 Khi đó thay vào (1) ta có: 7.p4 7b(7b 6) p 4 b(7b 6) Vì 2 4 4 a 7p 9 7.5 9 4384 a 67 7b 3 67 b 10 0,25 b pm (1 m 4). 4mm 4m m Suy ra p p (7p 6) p 7.p 6 6 p (loại do p 5 ) Vậy có hai cặp số (a;p) cần tìm là (11;2); (24;3) Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC(AB< AC) nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC . Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P, Q ( P thuộc cung nhỏ AB và Q thuộc cung nhỏ AC ). Lấy điểm D trên cạnh BC ( D B;D C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại điểm I ( I khác B ). Đường thẳng DI cắt AC tại K . Câu 4 1. Chứng minh rằng tứ giác AIPK nội tiếp. PK QB 2. .Chứng minh rằng = . PD QA 3. Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G ( G khác P ). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại điểm E . Chứng minh rằng khi điểm D CD di chuyển trên cạnh BC thì tỉ số không đổi. CE Câu 4
7. - 6 - K A I P M N Q 0,5 J O G B D E C Vẽ hình đúng để chứng minh ý a cho điểm. Ý 1 1 (1,0 điểm). Chứng minh rằng tứ giác AIPK nội tiếp Do tứ giác BDIP nội tiếp nên PIK 1800 PID PBC . 0,25 Lại do tứ giác APBC nội tiếp nên PAK 1800 PAC PBC . 0,25 Suy ra PIK PAK . 0,25 Do đó tứ giác AIPK nội tiếp. 0,25 Ý 2 PK QB 2 (1,0 điểm). Chứng minh rằng = . PD QA Do các tứ giác AIPK và BDIP nội tiếp nên PKI PAI và PDI PBI . PK PD PK PA 0,25 Suy ra PKD PAB (g – g), do đó (1)  PA PB PD PB Lại do tứ giác APBQ nội tiếp nên MPB MAQ và MBP MQA . 0,25 PB MP Suy ra MPB MAQ (g – g), do đó (2)  AQ MA AP MP MP 0,25 Tương tự, MAP MQB (g – g), suy ra (do MA MB ) (3)  QB MB MA PB AP QB PA Từ (2) và (3) ta suy ra (4) AQ QB QA PB 0,25 PK QB Từ (1) và (4) ta đi đến . PD QA 3 (0,5 điểm). Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G ( G khác P ). Đường Ý 3 thẳng IG cắt đường thẳng BC tại điểm E . Chứng minh rằng khi điểm D di chuyển trên CD cạnh BC thì tỉ số không đổi. CE
8. - 7 - Do các tứ giác BDGI và APBC nội tiếp nên PGI PBI và PBA PCA , suy ra CD KD PGI PCA . Do đó IG // AC và (5) CE KI Trên cạnh AB , lấy điểm J sao cho KPI APJ . 0,25 Vì tứ giác AIPK nội tiếp nên KPI 1800 KAI BAC không đổi, vì thế J là điểm cố AB định, nghĩa là tỉ số không đổi. (6) AJ PK KI Lại vì PKI PAJ (g.g)  PA AJ PK KD Ta có PKD PAB(g.g)  PA AB KI KD KD AB Suy ra (7) 0,25 AJ AB KI AJ CD AB Từ (5) và (7) dẫn đến . CE AJ CD Vậy khi D di chuyển trên BC thì không đổi. CE Câu 5(1,0 điểm): Cho bảng ô vuông 3x 3 (gồm ba dòng và ba cột). Người ta ghi tất cả các số thuộc tập hợp 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 vào các ô vuông của bảng, mỗi ô vuông ghi một số, sao cho tổng các số trong mỗi bảng vuông con cỡ 2 x 2 đều bằng nhau. Câu 5 1. Hãy chỉ ra một cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài toán? 2. Trong tất cả các cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài toán, tìm giá trị lớn nhất của tổng các số trong mỗi bảng vuông con cỡ 2 x 2. 1. (0,5 điểm): Hãy chỉ ra một cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 5 4 9 1 8 6 2 7 4 8 1 3 9 6 5 7 2 1 8 3 6 5 4 7 2 9 5 7 6 2 3 1 8 4 9 2 4 3 9 7 8 5 1 6 2 4 3 8 9 7 5 1 6
9. - 8 - 2. (0,5 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của tổng bốn số ghi trên mỗi bảng con cỡ 2 x 2. Tổng các số ghi trên bảng là 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45 Gọi x là số ghi ở ô vuông trung tâm (ô vuông thứ 5 tính từ trái qua phải, từ trên xuống dưới- hình vẽ), các ô còn lại ghi các số a;a;a;a;b;b;b;b1 2 3 4 1 2 3 4 a1 a 2 a3 a 4 x b1 0,25 b2 b3 b4 Tổng tất cả các số ghi trong bốn bảng con cỡ 2 x 2 là (a12 a xa)(a 4231 a b x)(a 4 xb 32 b)(xb 143 b b) (a1234 a a a xb 12342 b b b)(a 3xa 413 b b) 452x(xa 2 a 4 b 1 b) 3 Gọi T là tổng của các số ghi trong bảng con cỡ 2 x 2. Khi đó 98 4T 45 2x (x a a b b ) 45 2.9 (9 8 7 6 5) 98 T 2 4 1 3 4 Do T là số nguyên nên GTLN của T là 24 Một cách ghi các số vào bảng mà tổng các số trong bảng vuông con cỡ 2 x 2 bằng 24 . 0,25 1 8 4 6 9 3 2 7 5 Hết