Đề thi vào Lớp 10 chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Trường THPT Nguyễn Du (Có lời giải)

Nội dung text: Đề thi vào Lớp 10 chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Trường THPT Nguyễn Du (Có lời giải)

1. ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN - THPT CHUYÊN NGUYỄN DU – 2021 – 2022 Câu 1. Cho phương trình x4 m 2 x2 3m 3 0 với m là tham số. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 , x4 sao cho 4 4 4 4 x1 x2 x3 x4 2x1x2 x3 x4 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2. 1) Giải phương trình 2022 2022x 2021 2023x 2022 2023 3 3 x 6xy y 8 2) Giải hệ phương trình 2 2x y 3 5x y 3 x y 5 Câu 3. 1) Tìm tất cả các số tự nhiên n và k để n4 42k 1 là số nguyên tố. 2) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn x4 x2 2x2 y 2xy 2y2 2y 36 0 Câu 4. Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 b a2 1 c b2 1 a c2 1 P . a2 b2 1 b2 c2 1 c2 a2 1 Câu 5. Cho nửa đường tròn O;R đường kính AB . Lấy điểm C tùy ý trên nửa đường tròn đó ( C khác A và B ). Gọi M , N lần lượt là điểm chính giữa của cung AC và cung BC . Hai đường thẳng AC và BN cắt nhau tại D . Hai dây cung AN và BC cắt nhau tại H . 1) Chứng minh tứ giác CDNH nội tiếp. 2) Gọi I là trung điểm DH . Chứng minh IN là tiếp tuyến của nửa đường tròn O;R . 3) Chứng minh rằng khi C di động trên nửa đường tròn O;R thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 4) Trên nửa đường tròn O;R không chứa C lấy một điểm P tùy ý ( P khác A và B ). Gọi Q, R, S lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên AB, BC,CA . Tìm vị trí của P để tổng AB BC CA đạt giá trị nhỏ nhất. PQ PR PS
2. Câu 1. Cho phương trình x4 m 2 x2 3m 3 0 với m là tham số. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 , x4 sao cho 4 4 4 4 x1 x2 x3 x4 2x1x2 x3 x4 đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải Đặt x2 t , t 0. Phương trình trở thành: t 2 m 2 t 3m 3 0 1 Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình 1 có hai nghiệm dương phân biệt 0 t1 t2 . m 2 2 4 3m 3 0 m2 8m 16 0 m 1 Ta được S m 2 0 m 1 m 4 P 3m 3 0 Giả sử x1 x2 x3 x4 2 2 2 2 Khi đó, đặt x1 x4 t2 ; x2 x3 t1 ; t1 0;t2 0. Ta có 2 2 2 2 2 2 5 27 27 P 2t1 2t2 2t1t2 2S 6P 2 m 2 6 3m 3 2m 10m 26 2 m 2 2 2 5 Dấu bằng xảy ra khi m (thỏa mãn điều kiện) 2 27 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , đạt khi m . 2 2 Câu 2. 1) Giải phương trình 2022 2022x 2021 2023x 2022 2023 3 3 x 6xy y 8 2) Giải hệ phương trình 2 2x y 3 5x y 3 x y 5 Lời giải 2021 x 2022 2022 1) Điều kiện: x 2022 2023 x 2023 2022 2022x 2021 2023x 2022 2023 2022 2022x 2021 1 2023x 2022 1 0 2022 2022x 2022 2023x 2023 0 2022x 2021 1 2023x 2022 1 20222 2023 x 1 0 2022x 2021 1 2023x 2022 1 x 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1 2) x3 6xy y3 8
3. x y 3 3xy x y 6xy 8 0 x y 2 x y 2 2 x y 4 3xy x y 2 0 x y 2 x2 2xy y2 2x 2y 4 3xy 0 x y 2 x2 y2 xy 2x 2y 4 0 y x 2 x y 2 0 x 2 y x 2 2 2 2 x 2 y 2 x y 0 y 2 x y Thay vào phương trình 2x y 3 5x y 3 x2 y 5, ta được 1 3x 1 4x 5 x2 x 7 DK : x 3 3x 1 2 4x 5 3 x2 x 2 0 3 4 x 1 x 2 0 3x 1 2 4x 5 3 x 1 Vậy hệ có nghiệm x; y 1; 1 . Câu 3. 1) Tìm tất cả các số tự nhiên n và k để n4 42k 1 là số nguyên tố. 2) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn x4 x2 2x2 y 2xy 2y2 2y 36 0 Lời giải 2 2 2 A n4 42k 1 n2 22k 1 n2 22k 1 2n2.22k 1 2 2 n2 22k 1 n.2k 1 n2 22k 1 n.2k 1 n2 22k 1 n.2k 1 A là số nguyên tố n2 22k 1 n.2k 1 1 n2 2.n.2k 1 22 k 1 n2 2 n 1 k 1 2 2 n 1 n 2 n 2 k 1 n 2 1 k 0 Thử lại A 1 4 5 , thỏa mãn yêu cầu. 2) x4 x2 2x2 y 2xy 2y2 2y 36 0 x4 y2 1 2x2 2y 2x2 y x2 2xy y2 36 1 2 x2 y 1 x y 2 37 1 x2 y 1 x y Nhận xét: x ¥ *; y ¥ * . 2 x y 1 0
4. x2 y 1 6 x2 x 4 0 x y 1 y x 1 2 2 x y 1 6 x x 6 0 x 2 1 x y 1 y x 1 y 3 x2 y 1 1 x2 x 4 0 x y 6 y x 6 Vậy phương trình có nghiệm: x; y 2;3 Câu 4. Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 b a2 1 c b2 1 a c2 1 P . a2 b2 1 b2 c2 1 c2 a2 1 Lời giải 3 3 2 Ta có 2 a b c 3 abc abc 3 a2 1 b2 1 c2 1 P 33 abc 1 a 1 1 a 4. 9. 1313 a 4 9a 44.99 a5 1 b 1 1 b 4. 9. 1313 b 4 9b 44.99 b5 1 c 1 1 c 4. 9. 1313 c 4 9c 44.99 c5 1 1 13 3 3 13 P 3 13 . 12 27 5 5 5 39 15 4 .9 .a .b .c 3 13 24 54 2 2 2 .3 . 3 2 Dấu bằng xảy ra khi a b c 3 Câu 5. Cho nửa đường tròn O;R đường kính AB . Lấy điểm C tùy ý trên nửa đường tròn đó ( C khác A và B ). Gọi M , N lần lượt là điểm chính giữa của cung AC và cung BC . Hai đường thẳng AC và BN cắt nhau tại D . Hai dây cung AN và BC cắt nhau tại H . 1) Chứng minh tứ giác CDNH nội tiếp. 2) Gọi I là trung điểm DH . Chứng minh IN là tiếp tuyến của nửa đường tròn O;R . 3) Chứng minh rằng khi C di động trên nửa đường tròn O;R thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
5. 4) Trên nửa đường tròn O;R không chứa C lấy một điểm P tùy ý ( P khác A và B ). Gọi Q, R, S lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên AB, BC,CA . Tìm vị trí của P để tổng AB BC CA đạt giá trị nhỏ nhất. PQ PR PS Lời giải 1) Có AC  CH D· CH 90 ; AN  NB H· ND 90 D· CH D· NH 180 tứ giác CDNH là tứ giác nội tiếp. 2) Tam giác DNH vuông tại N có NI là trung tuyến ứng với cạnh huyền. Ta được I·NH I·HN . Tứ giác CDNH nội tiếp nên I·HN N· CD Tứ giác ACNB nội tiếp nên N· CD N· BA Tam giác ONB cân tại O nên N· BA O· NB N· BA O· NA 90 Suy ra I·NO 90. Vậy IN là tiếp tuyến của nửa đường tròn O;R . 3) Ta có OM là tia phân giác góc ·AOC , ON là tia phân giác góc N· OB . Hai góc này kề bù, suy ra ON OM . Tam giác OMN vuông cân tại O . Gọi J là trung điểm MN , ta có MN OJ ; 1 1 R 2 OJ MN R2 R2 2 2 2 R 2 Suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O , bán kính . 2 4) AB2 BC 2 CA2 P PQ.AB PR.BC PS.CA Có PQ.AB PA.PB BC PR.BC PB.PC.sin B· PC PB.PC.sin B· AC PB.PC. AB AC PS.CA PA.PC.sin ·APC PA.PC.sin ·APC PA.PC.sin ·ABC PA.PC. AB AB2 AB.AC AB.BC AB2 AB.AC.PA AB.BC.PB Ta được P PA.PB PC.PB PC.PA PA.PB PA.PB.PC
6. AB2 AB AC.PA BC.PB AB2 AB.AB.PC d / l Ptolemy PA.PB PA.PB.PC PA.PB PA.PB.PC AB2 4AB2 2 4 PA.PB PA2 PB2 Dấu bằng xảy ra khi P là điểm chính giữa cung AB không chứa C .