Kỳ thi giành học bổng Ươm mầm tài năng Bách Khoa và đánh giá năng lực vào Lớp 10 - Năm học 2021-2022 - Trường THPT Tạ Quang Bửu (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi giành học bổng Ươm mầm tài năng Bách Khoa và đánh giá năng lực vào Lớp 10 - Năm học 2021-2022 - Trường THPT Tạ Quang Bửu (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI GIÀNH HỌC BỔNG “ƯƠM MẦM TÀI NĂNG BÁCH KHOA” TRƯỜNG THCS VÀ THPT TẠ QUANG BỬU VÀ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HỌC SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 25 tháng 4 năm 2021 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang Câu I (2,0 điểm) 2 x1 x 1 Cho hai biểu thức A và B với x 0 và x 1. x 1 x 1 x 1 1 x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 4. 2) Rút gọn biểu thức B. 1 3) Đặt PBA : . Tìm các giá trị nguyên của x để P 2 Câu II (2,0 điểm) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một khu vườn có chiều dài hơn chiều rộng 6 m. Nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều rộng thêm 4 m thì diện tích khu vườn tăng thêm 80 m2. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn. 2) Một chiếc mũ giấy có dạng hình nón, với độ dài đường sinh bằng 30 cm và đường kính đáy bằng 15 cm. Tính diện tích giấy để làm mũ (không kể riềm, mép, phần thừa). Lấy 3,14 . Câu III (2,5 điểm) 1) Giải phương trình x4 3 x 2 28 0 . 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d : y m 1 x 2 (m là tham số) và parabol P : y x2 a) Chứng minh d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. b) Tìm m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1 x 2 và 2x1 x 2 2 x 1 . Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là tiếp điểm) và cát tuyến ABC không qua O (tia AC nằm giữa AN và AO; B nằm giữa A và C). 1) Chứng minh bốn điểm A, M, O, N thuộc cùng một đường tròn. 2) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn tại điểm thứ hai E. NE cắt BC tại I. Chứng minh MON 2 NIB và I là trung điểm của BC. 2 1 1 3) MN cắt BC tại K. Chứng minh . AK AB AC Câu V (0,5 điểm) Cho ba số dương a,, b c thỏa mãn a2 b 2 c 2 abc. a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . a2 bc b 2 ca c 2 ab HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên: Số báo danh:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI GIÀNH HỌC BỔNG “ƯƠM MẦM TÀI NĂNG BÁCH TRƯỜNG THCS VÀ THPT TẠ QUANG BỬU KHOA” VÀ ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HỌC SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN Lưu ý: - Điểm toàn bài để lẻ đến 0,25. - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa. - Câu IV: học sinh vẽ sai hình trong phạm vi câu nào, không chấm điểm câu đó. Câu Nội dung Điểm 2 1 Thay x 4 (tmđk) vào A : 0,25 4 1 (0,5) Tính được A 2. Kết luận 0,25 x x 1 x 1 x 1 0,25 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 2 x 2 0,25 2 x 1 x 1 x 1 x 1 (1,0) 2 x 1 0,25 I x 1 x 1 (2đ) 2 0,25 x 1 x 1 x 1 Tính P . Để P có nghĩa, P 0 0 . Tìm được x 1. x 1 x 1 Kết hợp điều kiện x 1 x 1 0,25 1 1x 1 1 3 x 5 3 PP 0 0 (0,5) 2 4x 1 4 x 1 5 25 Chỉ ra được 3x 5 0 x x 3 9 0,25 25 Kết hợp điều kiện 1 x và x là số nguyên x 2. 9 Gọi chiều dài khu vườn là x (m) , chiều rộng là y (m) ( x y, x 6 , y 0) 0,25 Chiều dài hơn chiều rộng 6 m x y 6 (1) 0,25 Chiều dài sau khi tăng 2 m: x 2 (m) Chiều rộng sau khi tăng 4 m: y 4 (m) 0,25 II 1 Diện tích tăng thêm 80 m2: x 2 y 4 xy 80 4x 2 y 72 (2) (2đ) (1,5) x y 6 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 0,25 4x 2 y 72 x 14 Giải hệ được (tmđk) 0,25 y 8
3. Câu Nội dung Điểm Kết luận, chiều dài của mảnh vườn là 14 m, chiều rộng là 8 m 0,25 15 2 Diện tích giấy làm mũ: Rl 3,14 30 (HS viết dấu “=” vẫn cho đủ điểm) 0,25 2 (0,5) 706,5 cm2. (Các đáp số khác 706,5 không cho điểm: VD 225 , 706,8 ) 0,25 2 2 x 7 x 4 0 0,25 1 TH1: x 2 7 . Vô nghiệm 0,25 (1,0) TH2: x2 4 x 2 0,25 Tập nghiệm S 2; 2 0,25 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 0,25 III x2 m 1 x 2 x 2 m 1 x 2 0 2a (2,5) 2 0,75 m 1 8 0 , m phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. 0,25 Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m 0,25 Nhận xét: x1 x 2 2 0 và x1 x 2 x 10 x 2 . Vậy 2x1 2 x 1 và x2 x 2 0,25 2b 2x x 2 x x x 2 . Theo hệ thức Vi-ét: x x m 1 0,25 0,75 1 2 1 1 2 1 2 m 1 2 m 3. Vậy m 3. 0,25 H 0,25 K 1 Học sinh vẽ hình đúng hết câu 1 được 0,25 điểm IV AM là tiếp tuyến, suy ra AMO 90 . (3,0) 0,25 AN là tiếp tuyến, suy ra ANO 90 . Xét tứ giác AMON:  và 2 góc đối diện nhau. Suy ra tứ giác AMO ANO 180 0,25 nội tiếp. Kết luận: Vậy 4 điểm M, A, O, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO. 0,25 ME //AC MEN NIB (đồng vị). 0,25 MON 2 MEN (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MN) 0,25 2 MON 2 NIB AM, AN là hai tiếp tuyến cắt nhau OA là phân giác của góc MON (tc) 1 0,25 NOA NIA MON tứ giác AOIN nội tiếp. 2
4. Câu Nội dung Điểm AIO ANO 90 . OI BC tại I I là trung điểm BC 0,25 Gọi H là giao điểm của MN và AO. Chứng minh AI AK AH AO 0,25 2 Chứng minh AB AC AH AO AM AI AK AB AC 0,25 3 I là trung điểm BC, H là giao điểm của MN và AO 0,25 BI IC AB AI IB; AC AI IC AB AC 2 AI AB AC 2 1 1 AK AB AC (đpcm) 0,25 2 AK AB AC Áp dụng bất đẳng thức Cô – si: a a 1 b 1 c 1 0,25 ; ; a2 bc 2a bc 2 bc b2 ca 2 ca c2 ab 2 ab V 11 1 1 11111111 ab bc ca (0,5) P . 2 bc ca ab 4 b c c a a b 2 abc 0,25 1a2 b 2 c 2 1 1 . . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng khi a b c 3 . 2abc 2 2