Kỳ thi khảo sát thi vào Lớp 10 - Năm học 2023-2024 - Trường THPT chuyên Lam Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi khảo sát thi vào Lớp 10 - Năm học 2023-2024 - Trường THPT chuyên Lam Sơn (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT THANH HÓA KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/4/2023 Đề thi có: 01 trang gồm 05 câu 1 1 x 1 Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức A : , với 0 x 1. x x x 1 x x 2 x x 1. Rút gọn biểu thức A . 2. Tính giá trị của biểu thức BA 2023 2 khi x 2024 2 2023 . Câu II. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng ():d y ax b đi qua điểm M 1;2 và song song với đường thẳng (d ') : y 2 x 3. Tìm các hệ số a và b . 6 5 3 x y 2. Giải hệ phương trình . 9 10 1 x y Câu III. (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 3 x m 2 0 , với m là tham số. 1. Giải phương trình khi m 2 . 2. Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x 2 thoả mãn điều kiện 2 2 2 x1 x 1 x 2 3 x 2 m 2 m 1 6 m . Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác đó là AD, BE cắt nhau tại H với D BC, E AC . 1. Chứng minh CDHE là tứ giác nội tiếp một đường tròn, tìm vị trí tâm I của đường tròn đó. 2. Chứng minh HA HD HB HE . 3. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE (với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE ). Câu V. (1,0 điểm) Cho ba số dương a,, b c thỏa mãn a2 b 2 c 2 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a2 b 5 c thức P . bc ca ab Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:
2. SỞ GD & ĐT THANH HÓA KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/4/2023 Đáp án đề thi có: 03 trang 1 1 x 1 Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức A : , với 0 x 1. x x x 1 x x 2 x x 1. Rút gọn biểu thức A . 2. Tính giá trị của biểu thức BA 2023 2 khi x 2024 2 2023 . Giải. 1 1x 1 1. (1,0 điểm) Khi 0 x 1 ta có A : (0,5 điểm) x x 1x 1 x x 2 x 1 1 x x x 2 x 1 . x 1 . Vậy A x 1 (0,5 điểm) x x 1 x 1 2. (1,0 điểm) Theo ý 1 thì A x 1 . Khi x 2024 2 2023 ta có 2 A 2024 2 2023 1 2023 1 1 2023 2 (0,5 điểm) từ đó suy ra B 2023 2 2023 2 2019 (0,5 điểm) Câu II. (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng ():d y ax b đi qua điểm M 1;2 và song song với đường thẳng (d ') : y 2 x 3. Tìm các hệ số a và b . Giải. Đường thẳng ():d y ax b song song với đường thẳng (d ') : y 2 x 3 nên a 2 và b 3 . (0,5 điểm) Vì đường thẳng ():d y ax b đi qua điểm M 1;2 nên ta có 2 2.1 b b 0 (thỏa mãn vì b 3 ). Vậy a 2, b 0 là các giá trị cần tìm. (0,5 điểm) 6 5 3 x y 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình . 9 10 1 x y 1 1 Giải. Đặt ẩn phụ u , v . x y 1 u 6u 5 v 3 12 u 10 v 6 3 Hệ phương trình trở thành . (0,5 điểm) 9u 10 v 1 9 u 10 v 1 1 v 5 x 3 Thay ngược trở lại ta được . y 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm là x; y 3;5 . (0,5 điểm) 1
3. Câu III. (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 3 x m 2 0 , với m là tham số. 1. Giải phương trình khi m 2 . 2. Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x 2 thoả mãn điều kiện 2 2 2 x1 x 1 x 2 3 x 2 m 2 m 1 6 m . Giải. 1. (1,0 điểm) Khi m 2 ta có phương trình x2 3 x 2 0 . (0,5 điểm) Do a b c 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 1, x 2 2 . (0,5 điểm) 2 2. (1,0 điểm) Phương trình có hai nghiệm x1, x 2 0 9 4m 0 9 3 3 m2 m (*) (0,25 điểm) 4 2 2 x x 3 Khi đó theo định lý Vi-et, ta có 1 2 . 2 x1 x 2 m 2 2 2 2 2 2 Vì x1 là nghiệm của phương trình x 3 x m 0 nên ta có x1 3 x 1 m 0 x 1 3 x 1 m 3 3 Khi đó với m thì 2 2 2 2 2 2 2 2 xxxxmm1 1 2 3 2 2 1 6 m 3 xmxxxmm 1 1 2 3 2 2 1 6 m 2 2 2 2 2 3 xxxxmm1 2 1 2 2 2 1 6 m 9 mmm 2 2 1 6 m m2 2 m 8 6 m 2 m 4 2 m 6 m 2 (0,25 điểm) m 4 2 m 6 m2 m 4 2 m 6 m 2 m2 2 m 8 6 m 2 m 1 (0,25 điểm) 3 Kết hợp với điều kiện (*) ta có m 1. (0,25 điểm) 2 Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác đó là AD, BE cắt nhau tại H với D BC, E AC . 1. Chứng minh CDHE là tứ giác nội tiếp một đường tròn, tìm vị trí tâm I của đường tròn đó. 2. Chứng minh HA HD HB HE ; 3. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE (với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE ). Giải. A E O H I C B D 1. (1,0 điểm) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp AD BC 0 Ta có: AD, BE là hai đường cao của ABC ADC BEC 90 (0,5 điểm) BE AC Xét tứ giác CDHE ta có HDC HEC 900 90 0 180 0 CDHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính HC . (0,25 điểm) Như vậy tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE là trung điểm của HC . (0,25 điểm) 2
4. 2. (1,0 điểm) Chứng minh HA HD HB HE Xét AHE và BHD ta có: AHE BHD (đối đỉnh); AEH BDH 900 nên AHE đồng dạng với BHD (0,5 điểm) HA HE HA HD HB HE (ĐPCM) (0,5 điểm) HB HD 3. (1,0 điểm) Xét tứ giác ABDE ta có ADB AEB 900 , mà hai đỉnh DE, là hai đỉnh liên tiếp của tứ giác nên ABDE là tứ giác nội tiếp. Lại có AEB vuông tại E nên ABDE,,, cùng thuộc đường tròn tâm O đường kính AB và cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE . (0,25 điểm) Ta có ABDE là tứ giác nội tiếp suy ra EDC BAE (1) 1 ECH vuông tại E có đường trung tuyến EI EI HI HC 2 HEI cân tại I IEH IHE hay IEH EHC (2) (0,25 điểm) Tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp CDE CHE (3) Từ (1), (2), (3) suy ra EDC BAE HEI ; BOE cân tại O OB OE OEB OBE (0,25 điểm) Hay BAE OEA mà OBE BAE 900 OEB HEI 90 0 OE  EI EI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE (ĐPCM). (0,25 điểm) Câu V. (1,0 điểm) Cho ba số dương a,, b c thỏa mãn a2 b 2 c 2 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b 5 c P . bc ca ab bc3 ca 3 ab 3 1 1 1 2 2 2 Giải. Đặt ,, khi đó x, y , z 0; 9 a b c 9 a x b y c z xy yz zx x y x y z xyz z (0,25 điểm) xy 1 1 5 x y P x 2 y 5 z 3 P x 2 y 5 z x 2 y 3xy 1 2 2 5 2 5 x y 5 7 2 xy 1 5 x 1 x 2 y x (0,25 điểm) x x x xy 1 x x x x xy 1 Theo bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta có: 2 2 7 2 xy 1 5 x 1 7 1 7 1 3P x 2  x 2 10 1 x 2 32 1 2  1 2 2 x x x xy 1 x x x x Áp dụng bất đẳng thức a2 b 2 c 2 d 2 ac bd 2 và bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta có: 7 1 9 9 3P x 2 3 x 6 2x  6 12 P 4 . (0,25 điểm) x x x x 3 2 6 Khi x 3, y 2, z 1 tức là a , b 3, c thì P 4 . 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4. (0,25 điểm) Hết 3