Kỳ thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Lần thứ nhất) - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Kim Liên (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Lần thứ nhất) - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Kim Liên (Có hướng dẫn chấm)

1. TRƯỜNG THCS KIM LIÊN KỲ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC LẦN THỨ NHẤT Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (2,5 điểm) a) Rút gọn: A = 2 44 3 77 : 11 63 1 1 x 9 b) Chứng minh đẳng thức . 1, với x 0 và x  9. x 3 x 3 6 c) Lập phương trình đường thẳng (d) biết: (d) đi qua điểm A( 1; 5) và song song với đường thẳng y = 2x – 4 Câu 2. ( 2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x tham số m: x2 – 2(m – 1) x + m2 - 3 = 0 (1) a) Giải phương trình ( 1) khi m = 2 2 2 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ( 1). Tìm m để x1 + x2 < 10 Câu 3. ( 1,5 điểm) Hai tổ công nhân cùng làm một công việc. Nếu mỗi tổ làm riêng thì tổ A cần 20 giờ, tổ B cần 15 giờ. Người ta giao cho tổ A làm trong một thời gian rồi nghỉ, và tổ B làm tiếp cho xong. Biết thời gian tổ A làm ít hơn tổ B làm là 3 giờ 20 phút. Tính thời gian mỗi tổ đã làm? Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn O có dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A di động trên đường tròn O sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao BE và CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB) cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, đoạn thẳng KA cắt O tại điểm M. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. b) KMF KEA . c) Đường thẳng KH vuông góc với AI (I là trung điểm của BC). x y x y 2 Câu 5. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x2 y2 1 x 2 y 2 3 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Đáp án Điểm A = 2 44 3 77 : 11 63 = 2 44 : 11 3 77 : 11 63 0,25 a. 2 4 3 7 3 7 1,0 = 0,25 2 4 4 0,5 1 1 x 9 Với x 0 và x 9 , ta có VT = . 0,25 x 3 x 3 6 6 x 9 . 0,25 b. x 3 x 3 6 Câu 1. 1,0 6 x 9 2,5 điểm . 0,25 x 9 6 1 1 x 9 =1 = VP. Vậy . 1. 0,25 x 3 x 3 6 Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b. Do (d) đi qua A(1;5) nên a + b = 5 (1) c. Do (d) song song với đường thẳng y = 2x – 4 nên a = 2, b - 4 0,25 0,5 Thay a = 2 vào (1) tìm được b = 3 ( t/m) Vậy pt đường thẳng (d) là y = 2x + 3 0,25 a Thay m= 2 vào (1) giải đúng 1,0 Do a = 1 0 với mọi m nên (1) là phương trình bậc hai = (m - 1)2 – ( m2 – 3) = - 2m + 4 ' 0 m 2 (*) 0,25 x1 x2 2(m 1 Theo Vi – Ét ta có: x .x m 2 3 1 2 b 2 2 2 2 Nên: x1 + x2 < 10 (x1 + x2) – 2 x1.x2 < 10 0,25 4( m – 1)2 – 2( m2 -3) < 10 2m2 - 8m < 0 0 < m < 4 0,25 Kết hợp (*) ta có với 0 < m 2 thì x 2 + x 2 < 10 1 2 0,25 Đổi 3 giờ 20 phút = 10 giờ Câu 3. 3 1,5 điểm Mỗi giờ tổ A làm được 1 , tổ B làm được 1 công việc 20 15
3. Gọi thời gian tổ A làn là x (h) ĐK: x > 0 0,25 10 Thì thời gian tổ B làm là x + (h) 0,25 3 x 10 1 3x 10 Phần việc tổ A làm là , tổ B làm là (x + ). = 0,25 20 3 15 45 Do cả hai tổ cùng làm xong công việc nên ta có pt 0,25 x + 3x 10 = 1 20 45 20 Giải pt tìm được x = (t/m đk) 0,25 3 20 Vậy thời gian tổ A làm là giờ = 6 giờ 40 phút 3 0,25 Thời gian tổ B làm là 6 giờ 40 phút + 3 giờ 20 phút = 10 giờ 0,5 Chú ý: Học sinh vẽ hình đến hết câu a cho 0,25 điểm; vẽ hình đến hết câu b cho 0,5 điểm. Câu 4. 0 Xét tứ giác BCEF có: BEC 90 (GT) 0,25 3,0 điểm 0 BFC 90 (GT) 0,25 a. 0 BEC BFC 90 0,25 1,0 BCEF nội tiếp được một đường tròn (do hai đỉnh E và F nhìn cạnh BC dưới cùng một góc 900 ) suy ra bốn điểm B, C, E, F 0,25 cùng thuộc một đường tròn. Xét KBF và KEC có K chung; 0,25 KBF KEC (do tứ giác BCEF nội tiếp) KBF KEC (g. g) b. KB KF Suy ra hay KB.KC KE.KF (1) 0,25 1,0 KE KC Tương tự KMB KCA KB.KC KM.KA (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra KM.KA KE.KF . 0,25
4. KM KF KMF KEA vì K chung và (suy ra từ câu b)  KE KA KMF KEA Theo câu b) KMF KEA tứ giác MAEF nội tiếp. Dễ thấy tứ giác AEHF nội tiếp suy ra 5 điểm M,A,E,H,F cùng thuộc một 0,25 0 0 đường tròn AMHE nội tiếp AMH 90 (vì AEH 90 ) c. MH cắt (O) tại N suy ra AN là đường kính của đường tròn (O) 0,5 Ta có BH // NC (cùng  AC); Tương tự CH // NB, suy ra BNCH là hình bình hành. Suy ra I là trung điểm của NH nên M, H, I, N thẳng hàng. Do đó IM  AK. 0,25 Lại có AH BC (H là trực tâm của tam giác ABC); Suy ra H cũng là trực tâm của tam giác KAI nên KH  AI. x y x y 2 1 Câu 5. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x2 y2 1 x 2 y 2 3 2 x y 0 Điều kiện: x y 0 Đặt a = x+y; b = x – y (a,b 0) (xy )(2 xy ) 2 a2 b 2 Ta có x2 +y2 = = 0,25 2 2 a b 2 3 Nên hệ pt trở thành 2 2 Câu 5. a b 2 0,25 ab 3 4 1,0 điểm 2 Từ (3) suy ra Đk a b và bình phương hai về ta được a + b = 2ab 4 (5) Thế vào (4) ta được (4) ab 8 ab 9 ab 3 0,25 ab 8 ab 9 ab 3 a 0 ab = 0 b 0 +) Với a = 0 b= 4 (loại) +) Với b = 0 a = 4 0,25 x y 4 Nên x y 2 (T/mđk) x y 0 Hết Chú ý: Mọi cách giải khác giám khảo cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm. Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai ở câu 4 thì không chấm điểm câu 4.