Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Chuyên 1) - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Lào Cai (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Chuyên 1) - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Lào Cai (Có lời giải chi tiết)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÀO CAI NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn: Toán (Chuyên 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày: 03/06/2021 Đề thi gồm có 01 trang Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a 2 a) Cho biểu thức A : với a 0; a 1; a 2 . Tìm tất cả các giá trị a a a a a 2 nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên. b) Cho x 1 2021 . Tính giá trị biểu thức: x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021. Câu 2. (2,5 điểm) 1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút. Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h. Tính vận tốc dự định của người đó. 2) Cho phương trình x2 2 m 1 x 2m 5 0 (trong đó m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: 2 2 x1 2mx1 2m 1 x2 2mx2 2m 1 0. Câu 3. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội tiếp (I; r). Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E, F. Kéo dài AI cắt BC tại M và cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D). Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D). Chứng minh rằng: a) AF 2 AP.AD b) Tứ giác PQID nội tiếp và NB2 NM.NA. c) QA là phân giác của ·PQT d) ·ADF ·QDE Câu 4. (2,0 điểm)
2. 2 1 1 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của A 53x 53y . 3 x2 y2 b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa mãn: x2 y2 z2 3 . Chứng minh rằng: x4 y4 z4 x3 y3 z3 3 x y z . Câu 5. (1,0 điểm) a) Tìm tất cả các bộ số nguyên x ; y thỏa mãn phương trình: x2 2x 2y2 2 xy 1 b) Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương x ; y thỏa mãn x3 y3 p 6xy 8. Tìm giá trị lớn nhất của p . HẾT
3. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN – LÀO CAI (2021-2022) Câu 1. (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a 2 a) Cho biểu thức A : với a 0; a 1; a 2 . Tìm tất cả các giá trị a a a a a 2 nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên. b) Cho x 1 2021 . Tính giá trị biểu thức: x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021. Lời giải: a 0 a) Với: a 1,2 a 1 a a 1 a 1 a a 1 a a 1 a a 1 a 2 a 2 Ta có: A : : a a a a a 2 a a 1 a a 1 a 2 a a 1 a a 1 a 2 a 2 2a 4 8 A : 2 2 a a a 2 a 2 a 2 a 2 8 Để A ¢ 2 ¢ a 2 U 8 1; 2; 4; 8 a 2 a ¢ Do: a 2 5 a 2 8 a 6 TM a 1;2 Vậy a 6 A ¢ b) Đặt: M x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021 x5 2x4 2020x3 x3 2x2 2020x x2 2x 2020 1. M x3 x2 2x 2020 x x2 2x 2020 x2 2x 2020 1 x2 2x 2020 x3 x 1 1 Mà: x 1 2021 x 1 2021 x 1 2 2021 x2 2x 2020 0. M 1 Câu 2. (2,5 điểm) 1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút. Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h. Tính vận tốc dự định của người đó. 2) Cho phương trình x2 2 m 1 x 2m 5 0 (trong đó m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện:
4. 2 2 x1 2mx1 2m 1 x2 2mx2 2m 1 0. Lời giải: 1) Gọi vận tốc dự định của xe đạp là: x km / h ; x 0. Vận tốc sau khi tăng tốc là: x 3 km / h . 40 Thời gian dự định là: h . x Quãng đường từ lúc tăng tốc là: 40 20 20 km . 20 Thời gian lúc chưa tăng tốc là: h . x 20 Thời gian từ lúc tăng tốc là: h . x 3 20 1 20 40 x 12 TM Theo đề bài ta có: x 3 x 3 x x 15 KTM Vậy vận tốc dự định của xe đạp là: 12 (km/h) 2 2 2 2) a) Ta có: ' m 1 2m 5 m 4m 6 m 2 2 0 m => Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. x1 x2 2 m 1 b) Theo Vi-et ta có: x1 x2 2m 5 Do: x1 ; x2 là nghiệm của phương trình nên ta có: x2 2 m 1 x 2m 5 0 x2 2mx 2x 2m 1 4 0 x2 2mx 2m 1 4 2x 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 2 m 1 x 2m 5 0 x2 2mx 2x 2m 1 4 0 x2 2mx 2m 1 4 2x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Mà: x1 2mx1 2m 1 x2 2mx2 2m 1 0 4 2x1 4 2x2 0 16 8 x1 x2 4x1x2 0 3 16 8.2 m 1 4 2m 5 0 12 8m 0 m 2 Câu 3. (1,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội tiếp (I; r). Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E, F. Kéo dài AI cắt BC tại M và cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D). Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D). Chứng minh rằng:
5. a) AF 2 AP.AD b) Tứ giác PQID nội tiếp và NB2 NM.NA. c) QA là phân giác của ·PQT d) ·ADF ·QDE Lời giải: A 1 2 T P E Q F I O 2 B C 1 D M N 1 a) Xét AFP và ADF có: ·AFP ·ADF F»P ; ¶A Chung 2 AF AP AFP ∽ ADF g .g AF 2 AP.AD (đpcm) AD AF b) Vì: AF và AE là 2 tiếp tuyến của I AI là trung trực của FE AI  FE tại Q. AP AI A F 2 AQ.AI (hệ thức lượng) AQ.AI AP.AD A F 2 AQ AD AP AI Xét APQ và AID có: cmt ; ¶A Chung AQ AD APQ ∽ AID c.g .c ·AQP ·ADI PQID nội tiếp (vì: ·AQP là góc ngoài tại đỉnh Q) ¶ ¶ » » ¶ ¶ Ta có: A1 A2 (vì: AI là tia phân giác) NB NC B1 A2
6. ¶ ¶ · Xét ABN và BMN có: B1 A2 cmt ; N Chung AN BN ABN ∽ BMN g .g NB2 NA.NM (đpcm) BN MN ·IPD ·IDP IP ID r c) Ta có: ·IDP ·IQD · · 1 º IPD IQD ID 2 · · IDP AQP cmt Mà: ·AQP ·AQT đpcm · · AQT IQD doi dinh d) Gọi K là giao điểm của AI với I F»K E»K Mà: ·AQP ·AQT cmt K»P K»T F»P E»T ·FDP ·EDT đpcm Câu 4. (2,0 điểm) 2 1 1 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của A 53x 53y . 3 x2 y2 b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa mãn: x2 y2 z2 3 . Chứng minh rằng: x4 y4 z4 x3 y3 z3 3 x y z . Lời giải: 1 1 Co Si 1 1 a) Dự đoán điểm rơi: x y ax ax 3.3 ax ax 3.3 a2 ax a 27 3 x2 x2 x2 1 1 1 1 Ta có: A 53x 53y 2 2 27x 27x 2 27y 27y 2 x y x y x y Co Si 1 1 2 160 A 3.3 27x 27x  3.3 27y 27y  x y 27 27 x y 54 x2 y2 3 3 1 Dấu “=” xảy ra khi x y 3 160 1 Vậy Min A x y 3 3 b) Ta có: x4 1 2. x4 .1 2x2 ; y4 1 2. y4 .1 2y2 ; z4 1 2. z4 .1 2z2 x4 y4 z4 2 x2 y2 z2 3 VT 2 x2 y2 z2 3 x3 y3 z3 Tương tự: x3 x 2. x3 .x 2x2 ; y3 y 2. y3 . y 2y2 ; z3 z 2. z3 .z 2z2
7. x3 y3 z3 2 x2 y2 z2 x y z VT 2 x2 y2 z2 x y z 2 x2 y2 z2 3 VT x2 y2 z2 x y z 3 x2 y2 z2 3 x2 y2 z2 x y z 3.3 3 VT x2 y2 z2 x y z 6 Mà: x2 1 2. x2 .1 2x ; y2 1 2. y2 .1 2y ; z2 1 2. z2 .1 2z x2 y2 z2 2 x y z 3 VT 2 x y z 3 x y z 6 x y z 3 (đpcm) Câu 5. (1,0 điểm) a) Tìm tất cả các bộ số nguyên x ; y thỏa mãn phương trình: x2 2x 2y2 2 xy 1 b) Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương x ; y thỏa mãn x3 y3 p 6xy 8. Tìm giá trị lớn nhất của p . Lời giải: a) Ta có: x2 2x 2y2 2 xy 1 x2 2x 2y2 2xy 2 x2 2xy y2 y2 2x 2 x y 2 2x y2 2y 1 2y 3 x y 2 2 x y y 1 2 3 x y 2 2 x y 1 y 1 2 4 x y 1 2 y 1 2 4 02 22 x y 1 0 x y 1 0 y 1 0 y 1 0    y 1 2 y 1 2 x y 1 2 x y 1 2 x 4 x 0 y 1 y 1    y 3 y 1 x 0 x 4 Vậy x ; y 4 ; 3 ; 0; 1 ; 0 ; 1 ; 4 ; 1 . b) Ta có: x3 y3 p 6xy 8 p x3 y3 6xy 8 p x y 3 3xy x y 6xy 8 p x y 3 8 3xy x y 2 p x y 2 x y 2 2 x y 4 3xy x y 2 1 2 Do p là số nguyên tố nên: 2 x y 2 x y 4 3xy 1 x y 2 x y 4 3xy 1 (Vì: x; y ¢ x y 2 4 ) x y 2 2 x y 4 3xy 1 x2 2xy y2 2x 2y 3xy 3 x2 xy y2 2x 2y 3 4x2 4xy 4y2 8x 8y 12 2x y 2 3y2 4 2x y 4 12y 12 4
8. 2x y 2 2 3 y 2 2 4 12 3.12 2x y 2 1 2x y 2 1 2x y 2 1 2x y 2 1    y 2 1 y 2 1 y 2 1 y 2 1 x 3 x 2 x 2 x 1    y 3 y 1 y 3 y 1 x 3 TH1: p 8 KTM y 3 x 2 TH2: p 5 TM y 1 x 2 TH3: p 7 TM y 3 x 1 TH4: p 4 KTM y 1 Vì: p là số nguyên tố lớn nhất p 7 Vậy p 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán. ___ THCS.TOANMATH.com ___