Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Cà mau (Có hướng dẫn giải)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Cà mau (Có hướng dẫn giải)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TỈNH CÀ MAU Năm học: 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN (không chuyên) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1. (1,0 điểm) 2 a) Tính giá trị biểu thức: A 7 3 16 6 7 2 x x x 2 x x b) Rút gọn biểu thức B (Với x 0, x 1) 1 x 1 x Bài 2. (1,0 điểm) a) Giải phương trình: x 2x 3 0 x 2 y a b b) Cho hệ phương trình: y 1 x b a Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 3;2 . Bài 3. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho parabol P : y x2 a) Vẽ P . b) Tìm m đề đường thẳng d : y m 1 x m 4 cắt P tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. Bài 4. (1,5 điểm) Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe. Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bươc tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi). Bài 5. (1,5 điểm) Cho phương trình: x2 (2m 1)x m2 4m 7 0. ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt. Bài 6. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M , tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm D. a) Chứng minh rằng tứ giác OBMC nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh MB2 MD.MA c) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AD; tia CE cắt đường tròn (O) tại điểm F. Chứng minh rằng: BF / / AM. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. (1,0 điểm) 2 a) Tính giá trị biểu thức: A 7 3 16 6 7 2 A 7 3 16 6 7 2 7 3 32 2.3 7 7 2 3 7 3 7 3 7 3 7 2 7 Vậy A 2 7. 2 x x x 2 x x b) Rút gọn biểu thức B (Với x 0, x 1) 1 x 1 x 2 x x x 2 x x B (ĐKXĐ: x 0, x 1) 1 x 1 x x x 1 x 4 x 4 x x 1 x 1 x 1 x x 5 x 4 1 x 1 x 4 x 4 4 1 x 1 x 1 x 4 Vậy B 4. Bài 2. (1,0 điểm) a) Giải phương trình: x 2x 3 0 3 ĐKXĐ: x 2 x 2x 3 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 2x 3 x 3(tm) 2 2 x 3 x 2x 3 x 2x 3 0 x 3 x 1 0 x 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S {3}. x 2 y a b b) Cho hệ phương trình: y 1 x b a
3. Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 3;2 . Điều kiện: a 0;b 0 Hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 3;2 nên ta có hệ phương trình: 3 2 3 2 2 2 a b a b 2 1 1 2 3 3 b a a b 1 1 Đặt u ;v . Hệ phương trình trở thành: a b 5 5 1 5 2 u u a (tm) 3u 2v 2 2u 5 2 2 a 2 5 u 2v 3 u 2v 3 u 3 11 1 11 4 v v b (tm) 2 4 b 4 11 2 4 Vậy a ;b . 5 11 Bài 3. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho parabol P : y x2 a) Vẽ P . Ta có bảng giá trị: x 2 1 0 1 2 y x2 4 1 0 1 4 Vậy đồ thị hàm số P : y x2 là đường cong đi qua các điểm 2;4 , 1;1 , 0;0 , 1;1 và 2;4 . y y=x2 4 3 2 1 x -2 -1 0 1 2 b) Tìm m đề đường thẳng d : y m 1 x m 4 cắt P tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số d : y m 1 x m 4 và P : y x2 , có: m 1 x m 4 x2 x2 m 1 x m 4 0 (*) Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số P tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung (*) có hại nghiệm trái dấu 1.( m 4) 0 m 4 0 m 4 Vậy m 4 thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài 4. (1,5 điểm) Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe. Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất
4. 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bước tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi). Giải - Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là x (bước) (x ¥ *) - Số bước chị Hà đi trong 1 phút là y (bước) - Vì nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước nên ta có phương trình: 2x 2y 20 x y 10 (1) - Vì chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên ta có phương trình: 5y 3x 160 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x y 10 x y 10 3x 3y 30 x y 10 x y 10 x 105 (tm) 5y 3x 160 3x 5y 160 3x 5y 160 2y 190 y 95 y 95 Vậy mỗi ngày số bước anh Sơn đi bộ trong 1 giờ là: 105.60 6300 (bước) Và mỗi ngày số bước chị Hà đi bộ trong 1 giờ là: 95.60 5700 (bước) Bài 5. (1,5 điểm) Cho phương trình: x2 (2m 1)x m2 4m 7 0. ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. Xét phương trình x2 (2m 1)x m2 4m 7 0 Phương trình đã cho có nghiệm 0 2m 1 2 4(m2 4m 7) 0 4m2 4m 1 4m2 16m 28 0 12m 27 9 m 4 9 Vậy với m thì phương trình đã cho có nghiệm. 4 b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt. 0 b Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt 0 a c 0 a 9 9 9 m m m 4 4 4 1 9 (2m 1) 0 2m 1 0 m m 2 4 m2 4m 7 0 (m2 4m 4) 3 0 (m 2)2 3 0m
5. 9 Vậy m thỏa mãn đề bài. 4 Bài 6. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M , tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm D. a) Chứng minh rằng tứ giác OBMC nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh MB2 MD.MA c) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AD; tia CE cắt đường tròn (O) tại điểm F. Chứng minh rằng: BF / / AM. A F O E B D C M a) Xét (O) có: MB, MC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên: M· BO 90o ;M· CO 90o M· BO M· CO 90o 90o 180o OBMC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM (đpcm). MB MD b) MBD∽ MAB (g.g) MB2 MD.MA (dpcm) MA MB c) E là trung điểm của AD nên OE  AD O· EM 90o Tứ giác OEMC nội tiếp C· EM C· OM (cùng chắn M¼ C ) 1 Mà B· OM C· OM B»C (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 2 1 Và B· FC B»C (tính chất góc nối tiếp) 2 M· EC B· FC mà hai góc này ở vị trí đồng vị BF / / AM (đpcm).