Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Hà Nam (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Hà Nam (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề  1 xx  Câu I. (1,5 điểm) Cho biểu thức P =+− :1  (với xx≥≠0, 1).  xx−−11x −1  1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình xx2 −+4 2 3 = 0.  1 21x −+ = 4  y 2. Giải hệ phương trình  . 1  x −−11 =−  y Câu III. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ()P có phương trình yx= 2 và đường thẳng (d ) có phương trình y=22 mx − m2 −− m (với m là tham số). 1. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) biết điểm M có hoành độ bằng −3. 2. Tìm điều kiện của m để đường thẳng (d ) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi Ax( 11;, y) Bx( 2 ; y 2) là hai giao điểm của đường thẳng (d ) và parabol (P), xác định m 3 để xy12+=+ xy 21 2 m 6. Câu IV. (1,0 điểm) Trong tháng 4 năm 2023, hai hộ gia đình bác An và bác Bình dùng hết tổng cộng 500 nghìn đồng tiền điện. Sang tháng 5 năm 2023, do tăng cường thực hiện việc sử dụng điện an toàn, tiết kiệm và hiệu quả; nhà bác An giảm được 15% tiền điện và nhà bác Bình giảm được 10% tiền điện; kết quả là cả hai hộ gia đình tiết kiệm được tổng cộng 65 nghìn đồng tiền điện so với tháng 4 năm 2023. Hỏi trong tháng 4 năm 2023, mỗi hộ gia đình dùng hết bao nhiêu đồng tiền điện? Câu V. (3,5 điểm) Cho đường tròn (OR; ) và một điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn ( AB, là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua S (không đi qua tâm O ) cắt đường tròn (OR; ) tại hai điểm M và N với M nằm giữa S và N. 1. Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp. 2 2. Chứng minh SB= SM SN 3. Cho SO= R 5 và MN= R 2 . Gọi E là trung điểm MN . Tính độ dài đoạn thẳng OE và diện tích tam giác SOM theo R. 4. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (OR; ) cắt SA, SB lần lượt tại PQ,. Gọi giao điểm của OQ, OP với AB lần lượt là I và H . Chứng minh ba đường thẳng OM,, QH PI đồng quy. Câu VI. (0,5 điểm) Cho abc,, là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện abc++=1. Tìm giá trị ab bc ca lớn nhất của biểu thức P =++. c+++ ab a bc b ca HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi số 1 Cán bộ coi thi số 2
2. UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2023-2024 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Lưu ý: - Các cách giải đúng khác đáp án cho điểm tương ứng theo hướng dẫn chấm. - Tổng điểm toàn bài không làm tròn. Câu Ý Nội dung Điểm  1 xx  Cho biểu thức P =+− :1  (với xx≥≠0, 1).  xx−−11x −1  1. Rút gọn biểu thức P . xx++11 P = : 0,5 ( xx−+11)( ) x −1 1 21x + 1,0 điểm Px= .1( − ) 0,25 ( xx−+11)( ) Câu I 21x + P = . 0,25 1,5 điểm x +1 2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. 1 1 P =2. − Biểu thức P nhận giá trị nguyên là số nguyên x +1 x +1 0,25 2 ⇔+x 1 là ước nguyên của 1 0,5 điểm  x +=11  x = 0 ⇔ ⇔ ⇒=x 0.  +=−  x= −2 VN 0,25  x 11 ( ) Vậy x = 0 thỏa mãn. 1. Giải phương trình: xx2 −+4 2 3 = 0. 2 2 1 Do ∆=′ ( −2) − 1.2 3 = 4 − 2 3 = 3 − 1 0,5 1,0 điểm ( ) Nên phương trình có 2 nghiệm xx12=+=−1 3, 3 3. 0,5  1 21x −+ = 4  y 2. Giải hệ phương trình:  1  x −−11 =−  II  y 2,0 điểm Điều kiện xác định xy≥≠1; 0 0,25 1 24ab+= 2 Đặt axa=−≥1( 0;) b =. Hệ trở thành  0,25 1,0 điểm y ab−=−1 a =1 ⇔  0,25 b = 2 x = 2  1 ⇒  1 .Vậy hệ có một nghiệm ( xy;) =  2; 0,25 y = 2  2 1
3. 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ()P có phương trình yx= và đường thẳng ()d có phương trình y=22 mx − m2 −− m (với m là tham số). 1. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) biết điểm M có hoành độ bằng −3. 1 xy=−⇒=39 0,25 0,5 điểm Vậy M (−3; 9) . 0,25 2. Tìm điều kiện của m để đường thẳng (d ) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi Ax( 11;, y) Bx( 2 ; y 2) là hai giao điểm của đường thẳng (d ) và parabol 3 (P), xác định m để xy12+=+ xy 21 2 m 6. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d ) và (P) là III x2=2 mx − m 2 − m −⇔2 x 22 − 2 mx + m + m +=2 01( ) 0,25 (1,5 điểm) 2 ∆=′ ( −m) −( mm2 + +22) =− m − 2 (d ) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 0,25 1,0 điểm (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔∆′ >0 ⇔−mm − 2 > 0 ⇔ <− 2*( ) 2 Ta có x1+ x 2 =2, m xx12 = m ++ m 2 22 2 0,25 xy12+= xy 21 xx 12 + xx 21 = xx 12( x 1 + x 2) =22mm( ++ m ) =++224mmm32 32 3 2 m =1 224262460mmmm+ + = +⇔ mm + −=⇔ 0,25 m = −3 Đối chiếu (*) vậy m = −3 . Trong tháng 4 năm 2023, hai hộ gia đình bác An và bác Bình dùng hết tổng cộng 500 nghìn đồng tiền điện. Sang tháng 5 năm 2023, do tăng cường thực hiện việc sử dụng điện an toàn, tiết kiệm và hiệu quả; nhà bác An giảm được 15% tiền điện và nhà bác Bình giảm được 10% tiền điện; kết quả là cả hai hộ gia đình tiết kiệm được tổng cộng 65 nghìn đồng tiền điện so với tháng 4 năm 2023. Hỏi trong tháng 4 năm 2023, mỗi hộ gia đình dùng hết bao nhiêu đồng tiền điện? Gọi số tiền điện trong tháng 4 của nhà bác An là x (nghìn đồng), đkiện 0<<x 500 0,25 Gọi số tiền điện trong tháng 4 của nhà bác Bình là y (nghìn đồng), đkiện 0<<y 500 Vì trong tháng 4 cả hai gia đình dùng hết 500 nghìn tiền điện nên ta có phương trình IV xy+=500 (1) 0,25 1,0 điểm Vì sang tháng 5 nhà bác An giảm 15% và nhà bác Bình giảm 10% và cả hai nhà giảm được 65 nghìn đồng nên ta có phương trình 0,25 15%x+ 10% y =⇔+= 65 0,15 xy 0,1 65 (2) xy+=500 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  0,15xy+= 0,1 65 x = 300 0,25 Giải hệ ta được  . Vậy trong tháng 4 nhà bác An dùng hết 300 nghìn đồng y = 200 tiền điện, nhà bác Bình dùng hết 200 nghìn đồng tiền điện. Cho đường tròn (OR; ) và một điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến SA, SB V với đường tròn ( AB, là tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua S (không đi qua tâm O ) cắt 3,5 điểm đường tròn (OR; ) tại hai điểm M và N, với M nằm giữa S và N . 2
4. 1. Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp. 1 0,25 1,0 điểm SAO =90 ° vì SA là tiếp tuyến của đường tròn SBO =90 ° vì SB là tiếp tuyến của đường tròn 0,25 ⇒+=°SAO SBO 180 0,25 Vậy tứ giác SAOB nội tiếp. 0,25 2. Chứng minh SB2 = SM. SN .  2 Xét hai ∆SBM và ∆SNB :Có S chung. 0,25 0,75 điểm Có MBS= MNB (cùng chắn MB ) ⇒∆SBM đồng dạng ∆SNB 0,25 SB SM ⇒= ⇔SB2 = SM. SN 0,25 SN SB 3. Cho SO= R 5 và MN= R 2 . Gọi E là trung điểm MN . Tính độ dài đoạn thẳng OE và diện tích tam giác SOM theo R . 0,25 3 1,0 điểm Ta có OE⊥ MN R 2 MN= R2, ⇒= ME 2 R 2 OM= R ⇒=OE OM22 − ME = 2 2RR2 32 SO= R 5, SE= SO22 −= OE5 R 2 −= 0,25 42 =−= 0,25 SM SE ME R 2. 1 12RR2 Vậy S= OE. SM = . .2 R = 0,25 SOM 2 22 2 3
5. 4. Tiếp tuyến tại M của đường tròn ()OR; cắt SA, SB lần lượt tại PQ, . Gọi giao điểm của OQ, OP với AB lần lượt là I và H . Chứng minh ba đường thẳng OM,, QH PI đồng quy. 4 Vì QM, QB là hai tiếp tuyến của ()O nên BOQ= QOM 0,75 điểm 0,25 PM, PA là hai tiếp tuyến của ()O nên AOP= POM 1 1 QOM + POM =+= BOQ AOP AOB ⇒=POQ AOB 2 2 1 Mà QBH = AOB (cùng chắn AB ) nên QBH = POQ 2 Suy ra tứ giác OBQH nội tiếp ⇒==°QHO QBO 90 ⇒⊥QH OP ()1 0,25 Chứng minh tương tự ta có tứ giác OAPM nội tiếp ⇒=PIO PAO =°90 ⇒⊥PI OQ ()2 Ta có OM⊥ PQ ()3 Từ (1), (2) và (3) suy ra ba đường thẳng OM,, QH PI là ba đường cao 0,25 của tam giác OPQ nên chúng đồng quy. Cho abc,, là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện abc++=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu ab bc ca thức P =++. c+++ ab a bc b ca Có abc++=1 ⇒=ccabc() ++ ⇒+ cabcabcabcacb =()()() ++ + = + + xy+ Áp dụng BĐT AM - GM với hai số dương xy, ta có: xy ≤ . 2 Dấu “=” xảy ra khi xy= 0,25 11 + 1 1 ca++ cb ab ab 11 VI ⇒= ≤ ⇒≤ +()1 0,5 điểm c++ ab ()()cacb++ 22c ab ca++ cb Tương tự: bc bc 11 ca ca 11 ≤+()2 ≤+()3 a+ bc 2 bc++ ba b+ ca 2 bc++ ba Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có: ab bc ca bc+ ca ca + ab ab + bc a ++ b c 1 0,25 P =++ ≤++= = c+++ ab a bc b ca 2()ab+++ 2() bc 2() ca 22 1 1 Từ đó giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi abc= = = . 2 3 4