Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hà Tĩnh môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hà Tĩnh môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ THI CHÍNH TH Ứ C Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút. Câu 1. (2,0 điểm) 1 1 1 2 2 2 a) Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn + + = 2 và ab+ bc + ca = a b c . ab bc ca 1 1 1 Tính giá trị biểu thức A.= + + a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 b) Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a+ b + ab = 1. a b 1+ ab Chứng minh rằng 22+= . 1++ a 1 b 2( 1++ a22)( 1 b ) Câu 2. (2,5 điểm) 7 a) Giải phương trình 2( 3x+ 1) + = 5 2x + 7 . x x+ 1( 1 − 3y) − y + 3 = 0 b) Giải hệ phương trình y y− x + 1 + x = 0. ( ) Câu 3. (1,5 điểm) 2 a) Tìm số nguyên n để A=( n2 + 3n + 2) +( n + 2)2 là số chính phương. b) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn a− b + b − c + c − d + d − a = a2022 + 2023 . Tìm số dư khi chia a12 cho 16. Câu 4. (2,5 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, kẻ các tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (O',) trong đó E và F thuộc đường tròn F nằm trong đường tròn (O.) Hai đường thẳng AE và AF cắt đường tròn lần lượt tại P và Q ( P, Q khác A). Tia EF cắt PQ tại K. a) Chứng minh tam giác BKP đồng dạng với tam giác BFA . b) Gọi I và J lần lượt là giao điểm của AB với OO' và EF. Chứng minh IJE= IFM. c) Chứng minh PQ=− 2 OA22 OK . Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+ b + c = 3abc . 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.= + + 1+ a + 2bc 1 + b + 2ac 1 + c + 2ab Câu 6. (0,5 điểm) Lớp 9A có 34 học sinh, các học sinh lớp này đều tham gia một số câu lạc bộ của trường. Mỗi học sinh của lớp tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì của lớp này thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh rằng có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh lớp 9A tham gia. HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Chú ý: - Mọi cách giải đúng, ngắn gọn đều cho điểm tương ứng. - Điểm toàn bài không qui tròn. - Ban chấm thi có thể thống nhất để chia các ý có điểm lớn hơn 0.25 thành các ý 0.25 điểm. Câu Nội dung Điểm Câu 1a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có + + =2 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 + 2 = 4 1,0 đ ab bc ca a b b c c a ab c abc a bc 0,5 1 1 12(ab++ bc ca) 2abc2 2 2 + + =4 − = 4 − = 2. Vậy A = 2. abbcca222222 abc 222 abc 222 0,5 Câu 1b a b1+ ab (a++ b)(1 ab) 1+ ab = 1,0 đ 22+= 22 11++ab2 1++ab22 1 (11++ab)( ) 2 1++ab22 1 ( )( ) ( )( ) 0,5 2(a + b) =( 1 + a22)( 1 + b ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21(a + b) = + a + b + a b a + b +41 ab = + a b 22 0,5 (a + b) =( ab −1) đúng (vì a+ b =1 − ab ), điều phải chứng minh. Câu 2a 7 1,25 đ Điều kiện : xx −; 0. 2 0,25 Phương trình đã cho tương đương 6x2 + 2 x + 7 − 5 x 2 x + 7 = 0 2xx+= 7 3 (1) (3x − 2 x + 7)( 2 x − 2 x + 7) = 0 0,5 2xx+= 7 2 (2) x 0 Giải phương trình (1): 2x+ 7 = 3 x x = 1 (thỏa mãn). 0,25 9xx2 − 2 − 7 = 0 x 0 1+ 29 Giải phương trình (2): 2x+ 7 = 2 x 2 x = (thỏa mãn). 4xx− 2 − 7 = 0 4 0,25 1+ 29 Vậy phương trình có 2 nghiệm là xx==1; . 4 Câu 2b Điều kiện: x −1. Đặt t= x +1, t 0. Thay vào hệ phương trình đã cho, ta có 1,25 đ t(1− 3 y ) − y + 3 = 0 t − y − 3 ty + 3 = 0 0,25 2 2 2 y( y− t ) + t − 1 = 0 y − ty + t − 1 = 0
3. t− y =0 y = t (t− y ) − 3 ty + 3 = 0 3(t− y )2 + ( t − y ) = 0 2 suy ra 11 0,25 (t− y ) + ty − 1 = 0 t− y = − y = t + . 33 2 Với yt= , ta có 3tt− 3 = 0 = 1, do đó ta có xy==0; 1 (thỏa mãn). 0,25 1 −+1 33 1++ 33 1 33 Với yt=+ , ta có 9t2 + 3 t − 8 = 0 t = xy= −; = (thỏa mãn). 3 6 18 6 0,5 1++ 33 1 33 Vậy nghiệm (x; y) của hệ là (0; 1), − ; . 18 6 Câu 3a Ta có A=( n +2)22( n + 1) + 1 1,0 đ ( ) 0,5 Xét nn+2 = 0 = − 2, ta có A = 0 là số chính phương. Xét nn+2 0 − 2, để A là số chính phương khi (n+1)2 + 1 = a2 ( a ) . Do đó, ta có (n+1)2 − a2 =− 1( n +− 1 a)( n ++ 1 a) =− 1 na+11 − = − na+11 − = 0,5 xảy ra 2 TH sau: hoặc suy ra n =−1 (thỏa mãn). na+11 + = na+11 + = − Vậy n =−2 hoặc n =−1 thì A là số chính phương. Câu 3b Ta có x+= x2 x nếu x 0 , xx+=0 nếu x 0 , do đó xx+ 2 với mọi số nguyên x 0,5 đ Ta có a− b + b − c + c − d + d − a 0,25 =( abab −+−+−+−+−+−+) ( bcbc) ( cdcd) ( dada −+− ) chia hết cho 2 với mọi số nguyên a,,, b c d . Do đó a− b + b − c + c − d + d − a = a2022 + 2023 chia hết cho 2, suy ra a 2022 lẻ, do đó a lẻ, nên a 2 chia 8 dư 1, 6 6 0,25 suy ra a −1 chia hết cho 8 và a +1chia hết cho 2. Vậy a12=( a 6 −1)( a 6 + 1) + 1 chia cho 16 dư 1. Câu 4a M a) Ta có BPQ= BAQ (góc nội tiếp cùng 1,0 đ chắn BQ ), BAQ= BEK (góc nội tiếp cùng chắn BF ), 0,5 P A E suy ra BPQ= BEK , suy ra tứ giác BKPE nội tiếp. J F Do AEBF và BKPE là các tứ giác nội tiếp O' I O nên AFB= BKP (cùng bù với góc AEB ), K 0,5 suy ra BKP∽ BFA (đpcm). B Q Câu 4b b) Do O''' IM= O FM== O EM 90O nên các điểm OIFME', , , , cùng nằm trên đường 0,75 đ 0,5 tròn đường kính OM' . Suy ra IEJ= IMF (góc nội tiếp cùng chắn IF ) và EIJ= JIF (góc nội tiếp cùng chắn hai cung ME và MF bằng nhau) 0,25 suy ra IJE∽ IFM , do đó IJE= IFM (đpcm).
4. c) Ta có BAE = BQP (vì tứ giác ABQP nội tiếp) (1) Câu 4c AB AE 0,25 0,75 đ và AEB = BKQ (vì tứ giác BKPE nội tiếp), suy ra AEB ∽ QKB = (2) BQ QK Ta có QBP = QAP = EBF và EBF= EFM (góc nội tiếp cùng chắn EF ). Mặt khác, ta có EFM== EIM EIA (vì tứ giác EIFM nội tiếp), suy ra QBP = EIA . (3) AI AE AB AE Từ (1) và (3), ta có IAE ∽ BQP = = (4) BQ QP2 BQ QP 0,5 AE AE Từ (2) và (4), ta có = 2QK = QP K là trung điểm QP OKQ vuông tại K . 2QK QP PQ2 Do đó, ta có QK 2=−OQ 2 OK 2 =OQ22 − OK PQ =−2 OA22 OK (đpcm). 4 Câu 5 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 3abc= a + b + c 33 abc abc 1. 1,0 đ 1 1 1 0,25 Mặt khác, ta có a+ b + c =3 abc + + = 3. ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 1+a + 22 bc a + 222.2 bc a bc = 4.4 a bc bc 1 11111111111 = . 1 + 1 + 1 + = 3 + 0,5 1++a 2 bc4 bc 4bc 4 2 bc 8 2 bc 16 bc 1 1 1 1 1 1 Tương tự, ta có 3 + ; 3 + . 1+b + 2 ac 16 ac 1 + c + 2 ab 16 ab 1 1 1 1 3 Suy ra P 9, + + + = dấu ""= xảy ra khi abc= = =1. 16 ab bc ca 4 0,25 Lưu ý: Học sinh có thể trình bày 1+a + 2 bc = 1 + a + bc + bc 44 ab22 c = 44 bc . Câu 6 Giả sử các câu lạc bộ đều không có quá 8 học sinh của lớp 9A tham gia. 0,5 đ Gọi N là số câu lạc bộ có hơn 1 học sinh của lớp 9A. - Nếu N4 thì từ 5 trong số các câu lạc bộ này, ta chọn mỗi câu lạc bộ 2 học sinh của lớp 9A, khi đó 10 học sinh này sẽ không thỏa mãn bài toán. 0,25 - Nếu N4 thì tổng số học sinh của lớp 9A tham gia các câu lạc bộ này không quá 3.8= 24, nghĩa là còn có ít nhất 34−= 24 10 học sinh của lớp 9A, mỗi học sinh tham gia một câu lạc bộ mà mỗi câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh của lớp 9A. Chọn 10 học sinh này thì không thỏa mãn điều kiện bài toán. - Nếu N4= thì số học sinh của lớp 9A tham gia 4 câu lạc bộ này không quá 4.8= 32, nghĩa là còn có ít nhất 2 học sinh của lớp 9A, mỗi học sinh này tham gia một câu lạc bộ mà mỗi câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh lớp 9A. Chọn 2 học sinh trong số những học sinh còn lại này và 4 câu lạc bộ trên mỗi câu lạc bộ chọn 2 học sinh của lớp 9A, khi đó 10 học sinh của 0,25 lớp 9A được chọn không thỏa mãn điều kiện. Vậy điều giả sử ở trên sai, nghĩa là tồn tại một câu lạc bộ có ít nhất 9 học sinh của lớp 9A tham gia. HẾT.