Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi có: 01 trang Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho phương trình x2 8x 4 8m 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 x1 x2. b) Gọi a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 ab bc ca và a b c 3. Tính giá trị biểu thức A a2 1 3bc. Câu 2 (2,0 điểm). a) Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P x x3 ax2 bx c. Biết P 2 29, P 1 5 và P 3 1. b) Cho n là số nguyên dương sao cho 4n 13 và 5n 16 là các số chính phương. Chứng minh rằng 2023n 45 chia hết cho 24. Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình: 2 17x2 6 x2 4x 3 2x 5 2x 3x2 22 . b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 146;2022 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox. Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác OAH. (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên). Câu 4 (3,0 điểm). Cho hai đường tròn O; R và O ; R cắt nhau tại hai điểm A và B ( R R và O, O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB ). Đường thẳng AO cắt O và O lần lượt tại C và M , đường thẳng AO cắt O và O lần lượt tại N và D (C, D, M , N khác A ). Gọi K là trung điểm của CD; H là giao điểm của CN và DM. a) Chứng minh rằng năm điểm M , N, O, K, B cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi I là đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E là điểm đối xứng của C qua B; P là giao điểm của AE và HD; F là giao điểm của BH với I ( F khác H ); Q là giao điểm của CF với BP. Chứng minh rằng BP BQ. c) Chứng minh rằng I·BP 90. Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x4 y4 z4 P . x y 4 y z 4 z x 4 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC Hướng dẫn chấm có 06 trang Lưu ý khi chấm bài - Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. Câu 1 (2,0 điểm). 2 a) Cho phương trình x 8x 4 8m 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 x1 x2. b) Gọi a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 ab bc ca và a b c 3. Tính giá trị biểu thức A a2 1 3bc. Nội dung Điểm a) Cho phương trình x2 8x 4 8m 0 1 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 x1 x2. 0,25 3 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt 0 12 8m 0 m . 2 0,25 x1 x2 8 Vì x1, x2 là nghiệm của 1 nên . 0,25 x1x2 4 8m x1 1 x2 1 0 x1 x2 2 Ta có 1 x1 x2 0,25 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 8 2 3 8m 3 0 m . 4 8m 8 1 0 8 0,25 3 3 Vậy m là các giá trị cần tìm. 2 8
3. b) Gọi a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 ab bc ca và a b c 3. Tính 1,0 giá trị biểu thức A a2 1 3bc. Ta có a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0,25 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b c. 0,25 Mà a b c 3 a b c 3. 0,25 Suy ra A a2 1 3bc 11. 0,25 Câu 2 (2,0 điểm). c) Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P x x3 ax2 bx c. Biết P 2 29, P 1 5 và P 3 1. d) Cho n là số nguyên dương sao cho 4n 13 và 5n 16 là các số chính phương. Chứng minh rằng 2023n 45 chia hết cho 24. Nội dung Điểm a) Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P x x3 ax2 bx c biết P 2 29, P 1 5, P 3 1. 1,0 Vì P 2 29 nên ta có 8 4a 2b c 29 4a 2b c 21. Vì P 1 5 nên ta có 1 a b c 5 a b c 6. 0,5 Vì P 3 1 nên ta có 27 9a 3b c 1 9a 3b c 26. 4a 2b c 21 a 3 Ta có hệ phương trình a b c 6 b 2 . 0,25 9a 3b c 26 c 5 Vậy a 3; b 2; c 5. 0,25 b) Cho n là số nguyên dương sao cho 4n 13 và 5n 16 là các số chính phương. Chứng 1,0 minh rằng 2023n 45 chia hết cho 24. Giả sử 4n 13 a2 và 5n 16 b2 a, b ¥ * . Từ 4n 13 a2 a là số lẻ. 0,25 Ta có 4n 13 a2 4 n 3 a2 1 4 n 3 a 1 a 1 . Vì a là số lẻ nên a 1 và a 1 là hai số chẵn liên tiếp, do đó a 1 a 1 8 n 3 2 n là số lẻ.
4. Suy ra b2 5n 16 là số lẻ. 2 Lại có 5n 16 b 5 n 3 b 1 b 1  8. 0,25 Mà 5;8 1 n 3  8 1 Ta có a2 b2 9n 29  2 mod 3 mà a2  0;1 mod 3 ; b2  0;1 mod 3 a2  b2  1 mod 3 0,25 4n 13  1 mod 3 n 3  0 mod 3 2 . 5n 16  1 mod 3 Vì 3;8 1 nên từ (1) và (2) suy ra n 3  24 . 0,25 Từ đó 2023n 45 2016n 7 n 3 24  24 (đpcm). Câu 3 (2,0 điểm). c) Giải phương trình: 2 17x2 6 x2 4x 3 2x 5 2x 3x2 22 . d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 146;2022 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox. Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác OAH. (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên). Nội dung Điểm a) Giải phương trình 2 17x2 6 x2 4x 3 2x 5 2x 3x2 22 1 . 5 + Điều kiện 2x 5 0 x . 2 Phương trình 1 6x3 34x2 44x 12 x2 4x 3 2x 5 0 0,25 2 x 3 6x 16x 4 x 1 2x 5 0 x 3 2 . 6x 16x 4 x 1 2x 5 0 2 2 0,25 Phương trình 2 6 x 1 2 2x 5 x 1 2x 5 0 3 . + Khi x 1: Không thỏa mãn phương trình 3 .
5. 2x 5 3 2x 5 2x 5 + Khi x 1 2 x 1, 3 2 2 6 0 . x 1 x 1 2x 5 2 x 1 0,25 2x 5 3 x 1 13 2 67 • 2 x . x 1 2 9x 26x 11 0 9 2x 5 x 1 5 29 • 2 2 x . x 1 4x 10x 1 0 4 0,25 13 2 67 5 29  Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x 3; ; . 9 4  b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 146;2022 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox. Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác OAH. (Điểm nguyên là 1,0 điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên). Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox nên H 146;0 . Gọi B là hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy, suy ra B 0;2022 . Gọi C là trung điểm của đoạn OA, suy ra C 73;2011 . 0,25 Điểm M x0; y0 x0; y0 ¢ là điểm nguyên nằm trong OAH khi và chỉ khi điểm M x0 ; y0 x0 ; y0 ¢ đối xứng với điểm M qua C nằm trong OAB. Suy ra số điểm nguyên nằm trong OAH bằng số điểm nguyên nằm trong OAB. 1 Do đó số điểm nguyên nằm trong tam giác OAH bằng (số điểm nguyên nằm trong hình chữ 0,25 2 nhật ABOH trừ đi số điểm nguyên nằm trên đoạn thẳng OA). Số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật ABOH bằng 145.2021 293045. 1011 Phương trình đường thẳng OA là y x. Từ đó kiểm tra được số điểm nguyên trên đoạn 0,25 73 thẳng OA (trừ điểm O và A ) bằng 1.
6. 293045 1 Vậy số điểm nguyên trong OAH bằng 146522. 0,25 2 Câu 4 (3,0 điểm). Cho hai đường tròn O; R và O ; R cắt nhau tại hai điểm A và B ( R R và O, O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB ). Đường thẳng AO cắt O và O lần lượt tại C và M , đường thẳng AO cắt O và O lần lượt tại N và D (C, D, M , N khác A ). Gọi K là trung điểm của CD; H là giao điểm của CN và DM. d) Chứng minh rằng năm điểm M , N, O, K, B cùng thuộc một đường tròn. e) Gọi I là đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E là điểm đối xứng của C qua B; P là giao điểm của AE và HD; F là giao điểm của BH với I ( F khác H ); Q là giao điểm của CF với BP. Chứng minh rằng BP BQ. f) Chứng minh rằng I·BP 90. Nội dung Điểm (Xét thế hình như hình vẽ. Các thế hình khác chứng minh tương tự). a) Chứng minh rằng năm điểm M , N, O, K, B cùng thuộc một đường tròn. 1,0 Ta có A· NC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O ) AD  CH. C· MD 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O ) AC  DH. 0,25 Suy ra A là trực tâm tam giác HCD HA  CD H, A, B thẳng hàng. Dễ có tứ giác CDMN nội tiếp đường tròn tâm K M· KN 2M· CN (góc nội tiếp và góc ở 0,25 tâm cùng chắn M¼N ) và H· CM H· DN 1 .
7. Ta có tứ giác ABCN nội tiếp A· CN A· BN (góc nội tiếp cùng chắn cung »AN ). ¼ Tứ giác ABDM nội tiếp A· DM A· BM (góc nội tiếp cùng chắn cung AM ). 0,25 Kết hợp với 1 suy ra A· BN A· BM A· CN M· KN M· BN 2A· CN 2 . Ta có ·MON 2·ACN ·MBN 3 . 0,25 Từ 2 và 3 suy ra 5 điểm M , N, O, K, B cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi I là đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E là điểm đối xứng của C qua B; P là giao điểm của AE và HD; F là giao điểm của BH với I ( F khác H ); Q là giao 1,0 điểm của CF với BP. Chứng minh rằng BP BQ. Xét tứ giác ACFE có hai đường chéo CE  AF tại trung điểm B của CE 1 . 0,25 Ta có D· CM B· HD (cùng phụ với C· DH ). Mà B· HD D· CF (góc nội tiếp cùng chắn D»F ) D· CM D· CF (2). 0,25 Từ (1) và (2) suy ra ACFE là hình thoi. Xét hai BPE và BQC có ·BEP ·BCQ (so le trong), BE BC, ·EBP ·CBQ (đối đỉnh). 0,5 Suy ra BPE BQC (g-c-g) BP BQ (đpcm). c) Chứng minh rằng I·BP 90. 1,0 Gọi S, T là giao điểm của BQ và I (như hình vẽ). 0,25 Xét tứ giác ADEH có A· ED A· HD (cùng bằng A· CE ), suy ra tứ giác ADEH nội tiếp
8. PD.PH PA.PE PT.PS. Từ BPE BQC PE QC PA QF PA.PE QF.QC QS.QT. 0,25 Vậy QS.QT PT.PS QS. PQ PT PT. PQ QS QS.PQ QS.PT PT.PQ PT.QS QS.PQ PT.PQ QS PT B là trung 0,5 điểm của ST IB  ST I·BP 90 (đpcm).
9. Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x4 y4 z4 P . x y 4 y z 4 z x 4 Nội dung Điểm 1 1 1 Ta có P 4 4 4 . y z x 1 1 1 x y z y z x Đặt a ,b ,c a,b,c 0 và abc 1. x y z 1 1 1 P . a 1 4 b 1 4 c 1 4 1 1 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 . . a 1 4 16 16 a 1 4 2 a 1 2 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự có , . b 1 4 16 2 b 1 2 c 1 4 16 2 c 1 2 3 1 1 1 1 P . 2 2 2 16 2 a 1 b 1 c 1 1 1 1 Ta chứng minh với a, b 0. a 1 2 b 1 2 1 ab 1 1 1 Thật vậy: 0,25 a 1 2 b 1 2 1 ab 2 2 2 2 a 1 b 1 1 ab a 1 . b 1
10. a2 b2 2a 2b 2 1 ab ab a b 1 2 a2 b2 2a 2b 2 1 ab ab a b 2 2 ab a b 1 1 ab a2 b2 2ab a2b2 2 2 ab a b ab 1 0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra khi a b 1. 1 1 1 1 ab Tương tự có . 2 2 1 0,25 c 1 1 1 1 c 1 ab 1 ab Khi đó 1 1 1 1 3 1 1 ab 1 3 3 3 3 P 2 2 2 . 2 16 2 1 ab ab 1 4 16 8 16 16 a 1 b 1 c 1 0,25 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . Dấu “=” xảy ra khi a b 1 x y z. 16 HẾT