Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán (Chuyên Toán) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán (Chuyên Toán) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi có: 01 trang Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho phương trình xx2 8 4 8 m 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn 1 x1 x 2 . b) Gọi a,, bc là các số thực thỏa mãn a2 b 2 c 2 ab bc ca và a b c 3. Tính giá trị biểu thức A a2 1 3 bc . Câu 2 (2,0 điểm). a) Xác định các hệ số a,, b c của đa thức Px x3 ax 2 bxc. Biết P 2 29, P 1 5 và P 3 1. b) Cho n là số nguyên dương sao cho 4n 13 và 5n 16 là các số chính phương. Chứng minh rằng 2023n 45 chia hết cho 24. Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình: 2 17x2 6 xx 2 4 3 2 x 5 2 xx 3 2 22 . b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 146;2022 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox. Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác OAH. (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên). Câu 4 (3,0 điểm). Cho hai đường tròn O; R và O ; R cắt nhau tại hai điểm A và B ( R R và O, O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB ). Đường thẳng AO cắt O và O lần lượt tại C và M, đường thẳng AO cắt O và O lần lượt tại N và D (CDM, , , N khác A ). Gọi K là trung điểm của CD; H là giao điểm của CN và DM. a) Chứng minh rằng năm điểm M,,,, NOKB cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi I là đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E là điểm đối xứng của C qua B; P là giao điểm của AE và HD; F là giao điểm của BH với I ( F khác H ); Q là giao điểm của CF với BP. Chứng minh rằng BP BQ. c) Chứng minh rằng IBP 90  . Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y , z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x4 y 4 z 4 P . xy 4 yz 4 zx 4 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC Hướng dẫn chấm có 06 trang Lưu ý khi chấm bài - Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. Câu 1 (2,0 điểm). 2 a) Cho phương trình xx 8 4 8 m 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn 1 x1 x 2 . b) Gọi a,, bc là các số thực thỏa mãn a2 b 2 c 2 ab bc ca và a b c 3. Tính giá trị biểu thức A a2 1 3 bc . Nội dung Điểm a) Cho phương trình xx2 8 4 8 m 0 1 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn 1 x1 x 2 . 0,25 3 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt 0 12 8m 0 m . 2 0,25 x1 x 2 8 Vì x1, x 2 là nghiệm của 1 nên . 0,25 xx1 2 4 8 m x1 1 x 2 1 0 x1 x 2 2 Ta có 1 x1 x 2 0,25 x1 1 x 2 1 0 xx1 2 x 1 x 2 1 0 8 2 3 8m 3 0 m . 4 8m 8 1 0 8 0,25 3 3 Vậy m là các giá trị cần tìm. 2 8
3. b) Gọi a,, bc là các số thực thỏa mãn a2 b 2 c 2 ab bc ca và a b c 3. 1,0 Tính giá trị biểu thức A a2 1 3 bc . Ta có a2 b 2 c 2 abbcca2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 ab 2 bc 2 ca 0,25 2 2 2 ab bc ca 0 abc . 0,25 Mà abc 3 abc 3. 0,25 Suy ra A a2 1 3 bc 11. 0,25 Câu 2 (2,0 điểm). c) Xác định các hệ số a,, b c của đa thức Px x3 ax 2 bxc. Biết P 2 29, P 1 5 và P 3 1. d) Cho n là số nguyên dương sao cho 4n 13 và 5n 16 là các số chính phương. Chứng minh rằng 2023n 45 chia hết cho 24. Nội dung Điểm a) Xác định các hệ số a,, b c của đa thức P x x3 ax 2 bx c biết P 2 29, P 1 5, P 3 1. 1,0 Vì P 2 29 nên ta có 8 4abc 2 29 4 abc 2 21. Vì P 1 5 nên ta có 1 abc 5 abc 6. 0,5 Vì P 3 1 nên ta có 27 9abc 3 1 9 abc 3 26. 4a 2 b c 21 a 3 Ta có hệ phương trình a b c6 b 2 . 0,25 9abc 3 26 c 5 Vậy a 3; b 2; c 5. 0,25 b) Cho n là số nguyên dương sao cho 4n 13 và 5n 16 là các số chính phương. Chứng 1,0 minh rằng 2023n 45 chia hết cho 24. 2 2 * Giả sử 4n 13 a và 5n 16 b a, b . Từ 4n 13 a2 a là số lẻ. 0,25 Ta có 413n a2 43 n a 2 143 n a 11. a Vì a là số lẻ nên a 1 và a 1 là hai số chẵn liên tiếp, do đó a 1 a 1  8 n 3  2 n là số lẻ.
4. Suy ra b2 5 n 16 là số lẻ. 2 Lại có 5n 16 b 5 n 3 b 1 b 1  8. 0,25 Mà 5;8 1 n 3  8 1 Ta có a2 b 2 9 n 29  2 mod 3 mà a2 0;1 mod 3 ; b 2  0;1 mod 3  a 2 b 2 1 mod 3 0,25 4n 13  1 mod 3  n 3 0 mod 3 2 . 5n 16  1 mod 3 Vì 3;8 1 nên từ (1) và (2) suy ra n 3  24 . 0,25 Từ đó 2023n 45 2016 n 7 n 3 24 24 (đpcm). Câu 3 (2,0 điểm). c) Giải phương trình: 2 17x2 6 xx 2 4 3 2 x 5 2 xx 3 2 22 . d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 146;2022 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox. Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác OAH. (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên). Nội dung Điểm 2 2 2 a) Giải phương trình 2 17x 6 xx 4 3 2 x 5 2 xx 3 22 1 . 5 + Điều kiện 2x 5 0 x . 2 Phương trình 1 6xxx3 34 2 44 12 xx 2 4 3 2 x 5 0 0,25 2 x3 6 xx 16 4 x 1 2 x 5 0 x 3 2 . 6xx 16 4 x 1 2 x 5 0 2 2 0,25 Phương trình 2 6 x 1225 xxx 12503. + Khi x 1: Không thỏa mãn phương trình 3 .
5. 2x 5 3 2x 5 2 x 5 + Khi x 1 2 x 1, 3 22 6 0 . x 1 x 1 2x 5 2 x 1 0,25 2x 5 3 x 1 13 2 67 x . 2 x 1 2 9x 26 x 11 0 9 2x 5 x 1 5 29 2x . 2 x 1 4x 10 x 1 0 4 0,25 13 2 67 5 29  Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x 3; ;  . 9 4  b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 146;2022 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox. Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác OAH. (Điểm nguyên là 1,0 điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên). Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox nên H 146;0 . Gọi B là hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy, suy ra B 0;2022 . Gọi C là trung điểm của đoạn OA, suy ra C 73;2011 . 0,25 Điểm Mxy 0; 0 xy 0 ; 0 là điểm nguyên nằm trong OAH khi và chỉ khi điểm Mxy 0; 0 xy 0 ; 0 đối xứng với điểm M qua C nằm trong OAB. Suy ra số điểm nguyên nằm trong OAH bằng số điểm nguyên nằm trong OAB. 1 Do đó số điểm nguyên nằm trong tam giác OAH bằng (số điểm nguyên nằm trong hình chữ 0,25 2 nhật ABOH trừ đi số điểm nguyên nằm trên đoạn thẳng OA). Số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật ABOH bằng 145.2021 293045. 0,25 1011 Phương trình đường thẳng OA là y x. Từ đó kiểm tra được số điểm nguyên trên đoạn 73
6. thẳng OA (trừ điểm O và A ) bằng 1. 293045 1 Vậy số điểm nguyên trong OAH bằng 146522. 0,25 2 Câu 4 (3,0 điểm). Cho hai đường tròn O; R và O ; R cắt nhau tại hai điểm A và B ( R R và O, O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB ). Đường thẳng AO cắt O và O lần lượt tại C và M, đường thẳng AO cắt O và O lần lượt tại N và D (CDM, , , N khác A ). Gọi K là trung điểm của CD; H là giao điểm của CN và DM. d) Chứng minh rằng năm điểm M,,,, NOKB cùng thuộc một đường tròn. e) Gọi I là đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E là điểm đối xứng của C qua B; P là giao điểm của AE và HD; F là giao điểm của BH với I ( F khác H ); Q là giao điểm của CF với BP. Chứng minh rằng BP BQ. f) Chứng minh rằng IBP 90  . Nội dung Điểm (Xét thế hình như hình vẽ. Các thế hình khác chứng minh tương tự). a) Chứng minh rằng năm điểm M,,,, NOKB cùng thuộc một đường tròn. 1,0 Ta có ANC 90  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O ) AD  CH. CMD 90  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O ) AC  DH. 0,25 Suy ra A là trực tâm tam giác HCD HA  CD HAB,, thẳng hàng. Dễ có tứ giác CDMN nội tiếp đường tròn tâm K MKN 2 MCN (góc nội tiếp và góc ở 0,25
7. tâm cùng chắn MN ) và HCM HDN 1 . Ta có tứ giác ABCN nội tiếp ACN ABN (góc nội tiếp cùng chắn cung AN ). Tứ giác ABDM nội tiếp ADM ABM (góc nội tiếp cùng chắn cung AM ). 0,25 Kết hợp với 1 suy ra ABN ABM ACN MKN MBN 2 ACN 2 . Ta có MON 2 ACN MBN 3 . 0,25 Từ 2 và 3 suy ra 5 điểm M,,,, NOKB cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi I là đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E là điểm đối xứng của C qua B; P là giao điểm của AE và HD; F là giao điểm của BH với I ( F khác H ); Q là giao 1,0 điểm của CF với BP. Chứng minh rằng BP BQ. Xét tứ giác ACFE có hai đường chéo CE AF tại trung điểm B của CE 1 . 0,25 Ta có DCM BHD (cùng phụ với CDH ). Mà BHD DCF (góc nội tiếp cùng chắn DF ) DCM DCF (2). 0,25 Từ (1) và (2) suy ra ACFE là hình thoi. Xét hai BPE và BQC có BEP BCQ (so le trong), BE BC, EBP CBQ (đối đỉnh). 0,5 Suy ra BPE BQC (g-c-g) BP BQ (đpcm). c) Chứng minh rằng IBP 90  . 1,0 Gọi S, T là giao điểm của BQ và I (như hình vẽ). 0,25
8. Xét tứ giác ADEH có AED AHD (cùng bằng ACE ), suy ra tứ giác ADEH nội tiếp PDPH PAPE PTPS Từ BPE BQC PE QC PA QF PAPE QFQC QSQT 0,25 Vậy QSQT PTPS QS PQ PT PT PQ QS QSPQ QSPT PTPQ PTQS QSPQ PTPQ QS PT B là trung 0,5 điểm của ST IB ST IBP 90 (đpcm).
9. Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y , z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x4 y 4 z 4 P . xy 4 yz 4 zx 4 Nội dung Điểm 1 1 1 Ta có P 4 4 4 . y z x 1 1 1 x y z y z x Đặt a , b , c abc , , 0 và abc 1. x y z 1 1 1 P 4 4 4 . a 1 b 1 c 1 1 1 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 . . a 1 416 16 a 1 4 2 a 1 2 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự có , . b 1 416 2 bc 1 2 1 4 16 2 c 1 2 3 1 1 1 1 P . 2 2 2 16 2 a 1 b 1 c 1 1 1 1 Ta chứng minh với a, b 0. a 1 2 b 1 2 1 ab 1 1 1 Thật vậy: 0,25 a 1 2 b 1 2 1 ab 2 2 2 2 a1 b 1 1 ab a 1 . b 1
10. a2 b 2 2 a 2 b 2 1 ab ab a b 1 2 2 a2 b 2 2 a 2 b 2 1 ab ab a b 2 ab a b 1 1ab a2 b 2 2 ab a 2 b 2 2 2 ab a b ab 1 0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra khi a b 1. 1 1 1 1 ab Tương tự có . 2 2 1 0,25 c 1 1 1 1 c1 ab 1 ab Khi đó 11 1 1 311 ab 13333 P 2 2 2 . 2 16 2 1 ab ab 1 4 16 8 16 16 a 1 b 1 c 1 0,25 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . Dấu “=” xảy ra khi ab 1 xyz . 16 HẾT