Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Chung) - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Hà Nam (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Chung) - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Hà Nam (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán (Đề chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm 01 trang) Câu I. (2,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức A =−23 32777 ++ 43. 11x 2. Cho biểu thức P =−+ (với xx≥≠0, 4 ). 2xx−+ 42 4x − 4 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất cả các số nguyên x để P đạt giá trị nguyên. Câu II. (1,5 điểm) 1. Giải phương trình xx2 +−=2 15 0. x(42− y) =+− 7 y 2 xy 2. Giải hệ phương trình  . 2xy−= 14 2( − 3) Câu III. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ()P có phương trình yx= 2 , đường thẳng ()d có phương trình y=+−+2 xm2 49 m (với m là tham số) và đường thẳng (∆) có phương trình ya=−+( 34) x (với a là tham số). 1. Tìm a để đường thẳng ()d và đường thẳng (∆) vuông góc với nhau. 2. Chứng minh đường thẳng ()d luôn cắt parabol ()P tại hai điểm phân biệt AB, với mọi m . Gọi Ax( 11;, y) Bx( 2 ; y 2) (với xx12< ), tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho x1−2023 −+ x2 2023 =+− yy12 48. Câu IV. (4,0 điểm) Cho đường tròn (O) . Từ điểm M bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) ( AB, là các tiếp điểm). Lấy điểm C trên cung nhỏ AB (C không nằm chính giữa cung AB , C khác A và B ). Gọi DEF,, lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên các đường thẳng AB,, AM BM . 1. Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh rằng CDE = CFD . 3. Gọi I là giao điểm của AC và ED , K là giao điểm của CB và DF . Chứng minh CD⊥ IK. 4. Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CIE và CKF cắt nhau tại điểm thứ hai N ( N khác C ). Chứng minh đường thẳng NC đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB . Câu V. (1,0 điểm) Cho abc,, là các số không âm thỏa mãn abc++=1011. Chứng minh: 222 (bc−−−) (ca) (ab) 2022abc+++++2022 2022 ≤2022 2. 222 HẾT Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi không có chức năng soạn thảo văn bản và không có thẻ nhớ. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi số 1 Cán bộ coi thi số 2
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Năm học: 2023-2024 (Hướng dẫn chấm thi có 04 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (ĐỀ CHUNG) Ghi chú: - Điểm toàn bài không làm tròn. - Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương. Nội dung Điểm Câu I (2,0 điểm) . 1. (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A =−23 32777 ++ 43. 2 A =−+23 93 7( 2 + 3) 0,5 A =23 − 93 ++ 72( 3) 0,25 A =14 0,25 11x 2. (1,0 điểm) Cho biểu thức P =−+ (với xx≥≠0, 4 ). 2xx−+ 42 4x − 4 a) (0,5 điểm) Rút gọn biểu thức P. 8 x P = + 0,25 4xx−− 16 4 x + 21 P = = 0,25 x − 4 x − 2 b) (0,5 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x để P đạt giá trị nguyên. P đạt giá trị nguyên ⇔x −=±21 0,25 x−=⇔21 xx =⇔= 3 9(thỏa mãn điều kiện xx≥≠0, 4 ). 0,25 x−21 =−⇔ xx = 1 ⇔ = 1(thỏa mãn điều kiện xx≥≠0, 4 ). Câu II (1,5 điểm). 1. (0,75 điểm) Giải phương trình xx2 +−=2 15 0. ∆=' 1 + 15 = 16 > 0 0,25 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0,25 x1 =−+1 16 = 3 x2 =−−1 16 =− 5 0,25 x(42− y) =+− 7 y 2 xy 2. (0,75 điểm) Giải hệ phương trình  . 2xy−= 14 2( − 3) x(42− y) =+− 7 y 2 xy 4747xy−= xy −= ⇔⇔  0,25 2xy−= 14 2( − 3) 22x− y = 8 xy −= 4 33x = ⇔  0,25 xy−=4 x =1 ⇔  0,25 y = −3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( xy;) =( 1; − 3)
3. 2 Câu III. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ()P có phương trình yx= 2 , đường thẳng ()d có phương trình y=+−+2 xm2 49 m (với m là tham số) và đường thẳng (∆) có phương trình ya=−+( 34) x (với a là tham số). 1. (0,5 điểm) Tìm a để đường thẳng ()d và đường thẳng (∆) vuông góc với nhau. (da )⊥∆⇔( ) 2.( − 3) =− 1 0,25 5 ⇔=a . 0,25 2 2. (1,0 điểm) Chứng minh đường thẳng ()d luôn cắt ()P tại hai điểm phân biệt AB, với mọi m . Gọi Ax( 11;, y) Bx( 2 ; y 2) (với xx12 0 ∀ m 0,25 Vậy đường thẳng ()d luôn cắt ()P tại hai điểm phân biệt AB, với mọi m 2 ac.=−+ m2 4 m −=−− 9( m 2) − 2023 0 22 x1−2023 − x2 + 2023 = yy12 + − 48 ⇔−( xx12 +) = x 1 + x 2 −48 2 22 ⇔−( xx12 +) =( xx 12 +) −2 xx 12 . − 48 ⇔− 2 = 2 − 2( −m + 4 m − 9) − 48 0,25 2 m = 6 ⇔mm −4 −=⇒ 12 0 . m = −2 Câu IV. (4,0 điểm) Cho đường tròn (O) . Từ điểm M bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) ( AB, là các tiếp điểm). Lấy điểm C bất kì trên cung nhỏ AB (C khác A và B ). Gọi DEF,, lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên các AB,, AM BM . 1. (1,0 điểm) Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp đường tròn.
4. 3 DC⊥⇒ AD ADC =°90 0,25 AE⊥⇒ EC AEC =°90 0,25 ADC+=° AEC 180 0,25 ⇒ Tứ giác AECD nội tiếp đường tròn. 0,25 2.(1,0 điểm) Chứng minh rằng CDE = CFD . Tứ giác AECD nội tiếp ⇒=CDE CAE . 0,25 CDB + CFB =180 °⇒Tứ giác CDBF nội tiếp ⇒=CFD CBD . 0,25 Mà CBD = CAE ( Cùng chắn cung AC ) 0,25 ⇒=CDE CFD . 0,25 3.(1,0 điểm) Gọi I là giao điểm của AC và ED , K là giao điểm của CB và DF . Chứng minh CD⊥ IK. Tứ giác CDBF nội tiếp ⇒=CFD CBD . CDE = CFD (Chứng minh trên) ⇒ CDE = CBD hay CDI = CBA (1) 0,25 Tứ giác CDBF nội tiếp CDF = CBF Mà CBF = CAB (Cùng chắn cung BC ) ⇒=CDK CAB (2) (1,2) ( ) ⇒+=++ICK IDK ICK IDC CDK = ACB++= CBA CAB 1800 Từ 0,25 ⇒ Tứ giác CIDK nội tiếp Suy ra CIK = CDK Mà CDK = CAB (Chứng minh trên) 0,25 ⇒=CIK CAB ⇒ IK // AB 0,25 Mà CD⊥⇒⊥ AB CD IK. 4. (1,0 điểm) Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CIE và CKF cắt nhau tại điểm thứ hai là N . Chứng minh đường thẳng NC đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB . Gọi NC cắt IK, AB lần lượt tại PQ, CIK = CAB (Chứng minh trên). Tứ giác AECD nội tiếp đường tròn ⇒=CAD CED hay CAB = CEI
5. 4 ⇒=CEI CIK ⇒ IK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CIE Chứng minh tương tự: IK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CKF 0,25 Xét hai tam giác PIC, PNI có IPN chung, PIC = PNI (cùng chắn cung IC ) 0,25 ⇒∆PIC∽ ∆ PNI PI PC ⇒=⇒=PI2 PC. PN PN PI 0,25 Chứng minh tương tự: PK2 = PC. PN Vậy PI= PK IP CP PK IK // AB ⇒== AQ CQ QB 0,25 Mà PI=⇒= PK AQ QB Hay Q là trung điểm của AB Câu V. (1,0 điểm) Cho abc,, là các số không âm thỏa mãn abc++=1011 . Chứng minh rằng: 222 (bc−−−) (ca) (ab) 2022abc+++++2022 2022 ≤2022 2 222 Ta có: 22 2 (bc−+) (bc) (bc +) 2022a + =2022a + −≤2bc 2022 a + (vì bc ≥ 0) 22 2 0,25 22 (bc−−) (1011 a) ⇒ 2022aa+≤+2022 22 22 (bc−+) (1011 a) ⇒ 2022a +≤ 22 2 0,25 (bc− ) 1011+ a bc = 0 ⇒ 2022a +≤ dấu = xảy ra ⇔  2 2 abc++=1011 2 (ca− ) 1011+ b Tương tự: 2022b +≤ 2 2 0,25 2 (cb− ) 1011+ c 2022c +≤ 2 2 222 (bc−−−) (ca) (ab) 3.1011+++abc 2022abc+++++2022 2022 ≤ 2222 222 (bc−−−) (ca) (ab) 4.1011 ⇒ 2022abc+ +2022 + +2022 + ≤=2022 2 2222 0,25 abc++=1011 Dấu = xảy ra ⇔  ab= bc = ca = 0 (Khi trong ba số abc,, có một số bằng 1011 và hai số bằng 0). Hết