Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Chuyên Tin) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Chuyên Tin) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG TỈNH QUẢNG NAM THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TOÁN (Toán chuyên Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Khóa thi ngày: 14-16/6/2022 Câu 1. (1,5 điểm) a a a a Cho biểu thức A 1 1 với a 0, a 1. a 1 a 1 Rút gọn A và tìm a sao cho A2 A 0 . Câu 2. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để n4 3 n 2 1 là số nguyên tố. Câu 3. (1,0 điểm) Cho parabol (P ): y x2 và đường thẳng d : y 2 xm ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt sao cho một trong hai giao điểm đó có hoành độ bằng 1. Câu 4. (2,0 điểm) a) Cho phương trình x2 6 xm 0 . Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để 2 2 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 thoả mãn 2x1 xx 1 2 2 x 2 38 . 1 2x 4 y 5 x 2 y b) Giải hệ phương trình . x 2 y 3 x 2 y Câu 5. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O ) và điểm I nằm ngoài đường tròn đó. Từ điểm I kẻ hai tiếp tuyến IA, IB với đường tròn (O ) ( A, B là các tiếp điểm). a) Chứng minh tứ giác OAIB nội tiếp đường tròn. b) Qua A kẻ đường thẳng song song với IB cắt đường tròn (O ) tại điểm thứ hai là C (C khác A). Đường thẳng IC cắt đường tròn (O ) tại điểm thứ hai là E (E khác C). Đường thẳng AE cắt IB tại K. Chứng minh KB2 AKKE. . IE DE c) Đường thẳng IC cắt AB tại D. Chứng minh . IC DC Câu 6. (1,0 điểm) xy2 2 xy Chứng minh rằng 4 3 với mọi số thực x; y khác 0. yx2 2 yx HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG TỈNH QUẢNG NAM THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN TIN (Bản hướng dẫn này gồm 04 trang) * Lưu ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. Câu Nội Dung Điểm a a a a Cho biểu thức A 1 1 với a 0, a 1. Rút gọn A và a 1 a 1 1,5 tìm a sao cho A2 A 0 . a( a 1) a ( a 1) A 1 1 0,25 Câu 1 a 1 a 1 1a 1 a 0,25 Kết quả: A 1 a với a 0; a 1 0,25 0,25 + 2 A 0 1 a 0 a 1 A A 0 0,25 A 1 1 a 1 a 2 Đối chiếu điều kiện, chọn a 2 0,25 Tìm tất cả các số nguyên dương n để n4 3 n 2 1 là số nguyên tố. 1,0 2 B n43 n 2 1 n 2 1 n 2 n 2 n 1 n 2 n 1 . 0,25 Câu 2 Với n 1, ta có B 1 không phải là số nguyên tố. 0,25 Với n 2 , ta có B 5là số nguyên tố. 0,25 Với n 2 , mỗi thừa số của B đều lớn hơn 1 nên B là hợp số. 0,25 Vậy n 2 thoả đề. Cho parabol (P ): y x2 và đường thẳng d : y 2 xm ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt sao cho một 1,0 trong hai giao điểm đó có hoành độ bằng 1. 2 Câu 3 Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và d là x 2 xm 0 0,25 (P ) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt ' 1m 0 m 1 . 0,25 Gọi A là giao điểm có hoành độ bằng 1, A P nên A(1; 1) 0,25 Ad 1 2 mm 3 (thoả mãn). Vậy m 3. 0,25 Câu 4 a) Cho phương trình x2 6 xm 0 . Tìm tất cả các giá trị nguyên của 1,0
3. ( 2,0 ) tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 thoả 2 2 mãn 2x1 xx 1 2 2 x 2 38 . ' 9 m , 0,25 phương trình có 2 nghiệm phân biệt xx1; 2 9 m 0 m 9 . 0,25 2 34 2xxxx2 2 2 38 2 xxxx 5 38 2.6 2 5 m 38 m . 0,25 1 1 2 2 1 2 1 2 5 34 Vậy m 9 m 7; 8  do m là số nguyên. 0,25 5 1 2x 4 y 5 x 2 y b) Giải hệ phương trình . 1,0 x 2 y 3 x 2 y 1 u 2 v 5 Điều kiện x 2 y . Đặt u ; vxy 2 . Ta có hệ phương trình x 2 y uv 3 0,25 3 Giải tìm được u 3; v 1 hoặc u 2; v . 0,25 2 2 1 x 0,25 x 2 y 3 - Với u 3; v 1 , ta có 3 1 x 2 y 1 y 6 1 x 2 y x 1 3 2 - Với u 2; v , ta có 1 . 2 3 y x 2 y 4 2 2 0,25 x x 1 3 Đối chiếu điều kiện, hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm ; 1 1 y y 4 6 Nếu thiếu điều kiện x 2 y thì trừ 0,25 đ Cho đường tròn (O ) và điểm I nằm ngoài đường tròn đó. Từ điểm I kẻ hai tiếp tuyến IA, IB với đường tròn (O ) ( A, B là các tiếp điểm). a) Chứng minh tứ giác OAIB nội tiếp đường tròn. b) Qua A kẻ đường thẳng song song với IB cắt đường tròn (O ) tại Câu 5 điểm thứ hai là C (C khác A). Đường thẳng IC cắt đường tròn (O ) 3.5 tại điểm thứ hai là E (E khác C). Đường thẳng AE cắt IB tại K. Chứng minh KB2 AKKE. . IE DE c) Đường thẳng IC cắt AB tại D. Chứng minh . IC DC
4. A J C E D I H O K B 5a a) Chứng minh tứ giác OAIB nội tiếp đường tròn 1,0 Hình vẽ phục vụ câu a) 0,25 0 0,25 IAO 90 (tính chất tiếp tuyến) IBO 900 (tính chất tiếp tuyến) 0,25 Suy ra IAO IBO 1800 nên tứ giác OAIB nội tiếp đường tròn. 0,25 b) Qua A kẻ đường thẳng song song với IB cắt đường tròn (O ) tại điểm thứ hai là C (C khác A). Đường thẳng IC cắt đường tròn (O ) 5b 1,5 tại điểm thứ hai là E (E khác C). Đường thẳng AE cắt IB tại K. Chứng minh KB2 AKKE. . Hình vẽ phục vụ câu b) 0,25 Xét hai tam giác AKB và BKE, có KAB KBE (cùng bằng nửa số đo của cung EB), 0,25 góc K chung 0,25 nên chúng đồng dạng 0,25 AK KB suy ra . 0,25 BK KE KB2 AKKE. 0,25 IE DE c) Đường thẳng IC cắt AB tại D. Chứng minh . 1,0 IC DC 5c Xét hai tam giác AKI và IKE, có KAI KIE (cùng bằng góc ECA), góc K chung AK IK nên chúng đồng dạng, suy ra IK2 AKKE. . 0,25 IK KE Từ đó suy ra IK KB (1)
5. Qua E kẻ đường thẳng song song với IB, cắt AB tại H và cắt IA tại J, theo JE EH định lí Ta-lét ta có (2). 0,25 IK KB JE EH Từ (1) và (2) suy ra JE EH . 0,25 AC AC IE JE DE EH IE DE Theo định lí Ta-let và . Vậy . 0,25 IC AC DC AC IC DC xy2 2 xy Chứng minh rằng 4 3 với mọi số thực x; y khác 0. 1,0 yx2 2 yx Cách 1: 2 2 xy2 2 xy xyxy 4 4 4 2 2 3 x y 4 3 2 2 2 2 yx yx xy xy 0,25 x4 y 443 xy 2 2 xyx 2 y 2 ( doxy 2 2 0) 2 x2 y 2 x 2 yxy 2 2 xy 2 2 2 xyx 2 y 2 0 0,25 x2 y 2 x 2 y 2 xy 2 xyx 2 y 2 xy 0 0,25 2 2 2 2 x y xyx y2 xy 0 2 2 y 3 y 2 Câu 6 x xy 0 (*) 0,25 2 4 Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi số thực x; y khác 0. Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi số thực x; y khác 0. Cách 2: 2 2 2 x y 2 xy x y Đặt t . Ta có t 2 y x yx y2 x 2 2 2 x y 2 t 2 0,25 Theo Cô-si 2 2 2t 4 y x t 2 Bất đẳng thức đã cho trở thành tt2 3 2 0 tt 1 2 0 (*) 0,25 Với t 2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng 0,25 Với t 2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng 0,25