Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Vĩnh Long (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Vĩnh Long (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH LONG NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: TOÁN (chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa thi ngày: 04/6/2022 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2.0 điểm) x 3 x 2 1 1 a) Cho biểu thức P : với x 0 và x 4 . Rút gọn biểu thức x x 8 x 2 x P và tìm giá trị của P tại x 14 6 5 . 3 2 2 3 2 2 b) Tính giá trị biểu thức . 17 12 2 17 12 2 Câu 2. (1.0 điểm) Cho phương trình x2 (m 2)x m 3 0 ( x là ẩn số, m là tham số). 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức A 2x1x2 x1 x2 3 đạt giá trị lớn nhất. Câu 3. (1.5 điểm) a) Giải phương trình x 1 2x 1 5 . x(x 3)(2x y) 30 b) Giải hệ phương trình . 2 x 5x y 13 Câu 4. (1.5 điểm) a) Cho A 2 12023 22023 20222023 . Chứng minh rằng A chia hết cho 2022 . b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2x2 5y2 4x 21. Câu 5. (2.0 điểm) Cho đường tròn O đường kính AB . Gọi H là điểm thuộc đoạn thẳng AO ( H A, H O ). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng này cắt đường tròn O tại C và D . Hai đường thẳng BC và AD cắt nhau tại M . Gọi N là hình chiếu của M trên đường thẳng AB . a) Chứng minh ·ACN ·AMN . b) Chứng minh CH 2 NH.OH . c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC tại E . Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH . Câu 6. (1.0 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn O;R , trên dây cung DC lấy điểm E sao cho DC 3DE , đường thẳng AE cắt cung nhỏ DC tại M . Gọi I là giao điểm của BM và DC , vẽ OH vuông góc với DM tại H . Tính độ dài các đoạn thẳng AE và DI theo R . Câu 7. (1.0 điểm) Cho hai số thực không âm a , b . a) Chứng minh a b 2 a2 b2 . 2ab b) Biết a2 b2 6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . a b 2 - HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: SBD:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH LONG NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN (chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1. (2.0 điểm) x 3 x 2 1 1 a) Cho biểu thức P : với x 0 và x 4 . Rút gọn biểu thức P và x x 8 x 2 x tìm giá trị của P tại x 14 6 5 . 3 2 2 3 2 2 b) Tính giá trị biểu thức . 17 12 2 17 12 2 Câu Điểm 1 2.0 Với x 0; x 4, ta có: x 3 x 2 1 1 P : x x 8 x 2 x 0.25 x 3 x 2 x 2 x 4 . x x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 4 x 2 x . x . 0.25 x 2 x 2 x 4 x 2 x 4 2 2 Ta có x 14 6 5 9 2.3. 5 5 3 5 x 3 5 3 5 3 5. 0.25 3 5 3 5 3 5 1 Khi đó, ta có: P . 0.25 14 6 5 2. 3 5 4 24 8 5 8. 3 5 8 3 2 2 3 2 2 1 1 b) 2 2 0.5 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 2 (vì 2 1 0 ) 0.5 2 1 2 1 2 1 2 1 Câu 2. (1.0 điểm) Cho phương trình x2 (m 2)x m 3 0 ( x là ẩn số, mlà tham số). Tìm 2 m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức A 2x1x2 x1 x2 3 đạt giá trị lớn nhất. 2 1.0 Ta có m 2 2 4(m 3) m2 8m 16 m 4 2 0 0.25 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 (m 4)2 0 m 4 x1 x2 2 m Theo định lí vi-ét ta có 0.25 x1x2 m 3 1
3. 2 2 2 A 2x1x2 x1 x2 3 6x1x2 x1 x2 3 m 10m 19 0.25 A 6 (m 5)2 6, m . Dấu đẳng thức xảy ra khi m 5 0 m 5 (thỏa điều kiện m 4 ) 0.25 Vậy A đạt giá trị lớn nhất là Max A 6 khi m 5 . Câu 3. (1.5 điểm) a) Giải phương trình x 1 2x 1 5 . x(x 3)(2x y) 30 b) Giải hệ phương trình . 2 x 5x y 13 3 1.5 Ta có x 1 2x 1 5 x 1 0.25 3x 2 2 (x 1)(2x 1) 25 x 1 1 x 9 . 0.25 2 2 2 2 2x 3x 1 27 3x 4(2x 3x 1) (27 3x) 1 x 9 x 5 . 2 0.25 x 150x 725 0 (x2 3x)(2x y) 30 b) Hệ đã cho tương đương với 2 x 3x 2x y 13 2 2 t 10 Suy ra x 3x và 2x y là 2 nghiệm của phương trình t 13t 30 0 0.25 t 3 x2 3x 10 x2 3x 3 Vậy hệ đã cho tương đương với (I) hoặc (II) 2x y 3 2x y 10 2 2 x 2 y 1 Giải (I): x 3x 10 x 3x 10 0 x 5 y 13 3 21 x y 13 21 2 2 Giải (II): x 3x 3 0 3 21 0.5 x y 13 21 2 3 21 3 21 2; 1 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm ;13 21 ; ;13 21 ; ; 2 2 5;13 . Câu 4. (1.5 điểm) a) Cho A 2 12023 22023 20222023 . Chứng minh rằng A chia hết cho 2022 . b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2x2 5y2 4x 21. 4 1.5 a) Với 2 số nguyên dương a,b bất kì ta có: a2023 b2023 (a b). Ta có: 2
4. 2023 2023 2 1 2021 2022 0.25 2023 2023 2 2 2020 2022 2023 2023 2 1010 1012 2022 Và 2.10112023 2022 ; 20222023 2022 0.25 Suy ra A 2 12023 22023 20222023 2022 0.25 b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 5y2 4x 21 (1) 0.25 2x2 5y2 4x 21 2 x 1 2 5 4 y2 2 Mà 2 x 1 0 5 4 y2 0 y2 4 y2 1;4 0.25 2 2 x 2 + y 1vào (1) tìm được 2x 4x 16 0 x 4 2 6 x 2 2 2 0.25 + y 4 vào (1) tìm được 2x 4x 1 0 2 6 x 2 Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là: 2,1 ; 2, 1 ; 4,1 ; 4, 1 . Câu 5. (2.0 điểm) Cho đường tròn O đường kính AB . Gọi H là điểm thuộc đoạn thẳng AO ( H A, H O ). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng này cắt đường tròn O tại C và D . Hai đường thẳng BC và AD cắt nhau tại M . Gọi N là hình chiếu của M trên đường thẳng AB . a) Chứng minh ·ACN ·AMN . b) Chứng minh CH 2 NH.OH . c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC tại E . Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH . 5 2.0 a) Tứ giác MNAC có M· NA M· CA 90o 90o 180o 0.25 nên MNAC là tứ giác nội tiếp. 0.25 ·ACN ·AMN . 0.25 3
5. b) Ta có: ·ACN ·AMN ·AMN ·ADC (do MN//DC vì cùng vuông góc với AB) 0.25 AB  CD suy ra H là trung điểm của CD . Tam giác ACD là tam giác cân do AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến. 0.25 Suy ra ·ADC ·ACD . Từ đó ta có: ·ACN ·ACD . Ta có: N· CO ·ACN ·ACO ·ACD O· AC 90O . Suy ra CN  CO . 0.25 NCO vuông tại C CH 2 NH.OH . 1 c) ·ACE E· AC (cùng bằng sd »AC ). AEC cân tại E E thuộc đường trung 2 trực của AC . Gọi F AE  BM 0.25 Ta có C thuộc đường tròn đường kính FA . Nên đường trung trực của AC phải cắt đường kính FA tại tâm của đường tròn này. Suy ra E là trung điểm của FA . CK KH BK Gọi K CH  BE . Ta có: CH / /FA nên . FE EA BE 0.25 Mà FE EA nên CK KH . Vậy BE đi qua trung điểm của CH . Câu 6. (1.0 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn O; R , trên dây cung DC lấy điểm E sao cho DC 3DE , đường thẳng AE cắt cung nhỏ DC tại M . Gọi I là giao điểm của BM và DC , vẽ OH vuông góc với DM tại H . Tính độ dài các đoạn thẳng AE và DI theo R . 6 1.0 R 2 2R2 2 5 Ta có AD R 2 ; DE ; AE AD2 DE 2 2R2 R . 0.25 3 9 3 Tam giác DOM cân tại O mà OH  DM 1 1 Suy ra D· OH D· OM sd D¼M D· AM 2 2 0.25 DH DE R 10 R 10 OHD ∽ ADE DH DM OD AE 10 5 ME DE MD Ta có DEM ∽ AEC (g-g) CE AE AC 0.25 ME DE MD2 1 ME 1 ME 1 . AE CE AC 2 10 AE 5 AM 6 4
6. EI ME 1 1 R 2 EI //AB EI AB AB AM 6 6 6 0.25 R 2 R 2 R 2 DI DE EI . 3 6 2 Câu 7. (1.0 điểm) Cho hai số thực không âm a , b . a) Chứng minh a b 2 a2 b2 . 2ab b) Biết a2 b2 6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . a b 2 7 1.0 2 a) Ta có: 2ab a2 b2 a b 2 a2 b2 a b 2 a2 b2 . 0.25 2 2 2 2 2ab a b a b a b 4 2 2 b) P a b 2 0.25 a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 2 1 a b 2 3 a b 2 2 2 3 a b 2 1 3 0.25 1 3 3 3 Vậy P 2 3 2 . 1 3 2 a2 b2 6 Dấu “ ” xảy ra khi a b 3 . a b 0.25 3 3 3 Vậy Max P khi a b 3 . 2 - HẾT - 5