Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi môn Toán (Chuyên Toán) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi môn Toán (Chuyên Toán) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HẢI DƯƠNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2022 -2023 Môn thi: TOÁN (Chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 150 phút, không tính thời gian phát đề (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). x  x+2 xx ++ 32 5 a. So sánh biểu thức A=−1:  ++ với − . x+1  xx −+ 5 6 x − 23 − x 2 4xx2024 (+− 1) 2 x2023 + 2 x + 1 13 b. Tính giá trị của biểu thức B = tại x = − . 23xx2 + 23−+ 2 23 2 Câu 2 (2,0 điểm). x −1 a. Giải phương trình: 31xx−+ = 31 + 4x  x++ y xy =8  b. Giải hệ phương trình:  1 11 +=  22  x++2 xy 24 y Câu 3 (2,0 điểm). a. Tìm các cặp số nguyên (;xy ) thỏa mãn phương trình yy2−+=−5 62 ( yxy 2)22 + ( −+ 6 yx 8) . b. Cho đa thức Px() với các số nguyên thỏa mãn PP(2021). (2022)= 2023 . Chứng minh rằng đa thức Px( )− 2024 không có nghiệm nguyên. Câu 4 (3,0 điểm). 1. Cho đường tròn (O) và dây cung AB không đi qua tâm O. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; D là 1 điểm thay đổi trên cung lớn AB (D khác A và B); DM cắt AB tại C. a. Chứng minh rằng MB.BD = MD.BC; b. Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và khi điểm D thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên một đường thẳng cố định. 2. Cho hình thoi ABCD có AB = 2 . Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng RR12+≥2 . Câu 5 (1,0 điểm). Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn a22+46 b += c ab . Tìm giá trị nhỏ a28 ba33+ b nhất của biểu thức P = ++ . 2bc++ ac16 c HẾT .
2. Lời giải Câu 1 x ≥ 0  a. ĐKXĐ: x ≠ 4  x ≠ 9 x  x+2 xx ++ 32 A=−1:  ++ x+1  xx −+ 5 6 x − 23 − x  xx+−1 x+ 29 x− x− 4 ⇔=A : + − x +1 ( xx−−23)( ) ( xx −− 23)( ) ( xx −− 23)( )  1xx−− 32 ⇔=A : = xx++11( xx−−23)( ) 5xx−+ 252( xx−+ 25) ( + 1) 7 1 Ta có : A += += = 22x +1 21( xx++) 21( ) 55 Vì xA≥⇒00 + >⇒ A >− 22 5 Vậy A >− . 2 1 3 31− 31− b. Vì x = −= nên x = là nghiệm của đa thức 2xx2 +− 21 23−+ 2 23 2 2 2 2x2023 (221)2121 xx 2 +−++ x x + Do đó: B = = =33 − . (2xx2 + 2 −++ 1) x 1 x + 1 Câu 2.  x > 0  a. ĐKXĐ:  1 x ≥−  3 Phương trình đã cho đương đương với : 4xx (3− 1) + x −= 1 4 x 3 x + 1 ⇔12(31)431x2 − x += xx + 22  ba= Đặt a=2, xb = 3 x + 1 ta có phương trình 3a−= b 2 ab ⇔− ( b a )( b + 3 a ) =⇔ 0  ba= −3  3xx+= 12 Khi đó   31xx+=− 6 +) Với 3xx+= 12, điều kiện x > 0 , ta có
3.  x =1 22  312x+= x ⇔ 314 x += x ⇔ 4 xx − 310 −= ⇔ 1 x= − () KTM  4 1 +) Với 31xx+=− 6, điều kiện −≤<x 0 , ta có 3  3− 153  x = 2 72 3x+=− 1 6 x ⇔ 36 xx − 3 −= 1 0 ⇔   3+ 153 x = ()KTM  72 3− 153 Vậy phương trinh có hai nghiệm là x =1, x = . 72  x++ y xy =8  (xy+ 1)( += 1) 9   b. Ta có  1 11⇔  1 11 += +=  22  22  x++2 xy 24 y ( xy+−11) ( +− 11) 4 Đặt ux=+=+1, vy 1  uv = 9  u ≠±1 Hệ đã cho trở thành  1 11, điều kiện:  (∗) += ≠±  22 v 1 uv−−1 14  uv = 9 ⇔  2 2 22 2 2 4(u+−= v 2) uv −−+ u v 1 uv = 99 uv= u = v = 3 ⇔22 ⇔⇔ (TM ( ∗ )) u+ v =18  uv +=±6 uv ==−3 xx=24 = − Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là ; . yy=24 = − Câu 3. a. Ta có: yy2−+=−5 62 ( yxy 2)22 + ( −+ 6 yx 8) ⇔(yy22 −++=− 5 6) 56 ( yxy 2) +− ( 2)( yx − 4) ⇔−−+=−+−−(y 2)( y 3) 56 ( yxy 2)2 ( 2)( yx 4) ⇔(y − 2)( x2 + yx − 4 x −+ y 3) = 56 ⇔(x − 1)( y − 2)( xy +− 3) = 56 Nhận thấy (y− 2) + ( x −=+− 1) xy 3 , nên ta phải phân tích số 56 thành tích của 3 số nguyên mà tổng 2 số đầu bằng 2 số còn lại. Như vậy, ta có: 56=⇒= 1.7.8( xy ;) ( 2;9) 56=⇒= 7.1.8( xy ;) ( 8;3) 56=−( 8) .1.( −⇒ 7) ( xy ;) =−( 7;3) 56= 1.( − 8) .( −⇒ 7) ( xy ;) =( 2; − 6) 56=−( 8) .7.( −⇒ 1) ( xy ;) =−( 7;9) 56= 7.( − 8) .( −⇒ 1) ( xy ;) =( 8; − 6)
4. Vậy phương trình có 6 nghiệm trên. b. Giả sử đa thức Px( ) có 1 nghiệm nguyên là a. Ta có: Pa( ) −=−2024 ( x aQx) ( ) , (Qx( ) là đa thức có hệ số nguyên) Ta có: P(2021) −= 2024( 2021 −aQ) ( 2021) P(2022) −= 2024( 2022 −aQ) ( 2022) Mà PP(2021) .( 2022) = 2023 là số lẻ ⇒ PP(2021) ,( 2022) là số lẻ Do đó 2021− a , 2022 − a là các số lẻ ⇒(2021 −−aa) ( 2022 −) là số chẵn ⇒−1 là số chẵn (điều này vô lí) ⇒−Px( ) 2024 không có nghiệm nguyên. Câu 4. 1. a. Chứng minh MB.BD = MD.BC 1 Ta có: MBC = sd AM 2 1 MDB = sd MB 2 Mà: AM= MB ( vì M là điểm chính giữa cung AB ) ⇒=MBC MDB Xét MBC và MDB có BMC góc chung MBC = MDB () cmt Do đó, MBC∽ MDB(.) g g MB BC ⇒=hay MB BD = MD BC( dpcm). MD BD b. Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và khi điểm D thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên một đường thẳng cố định. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp BCD .
5. ⇒=BIC 22 BDC = MBC ( BIC là góc ở tâm chắn BC , BDC là góc nội tiếp chắn BC trong (I)) BIC ⇒=MBC 2 180 − BIC Ta có BIC cân tại I ⇒=IBC 2 BIC 180 − BIC ⇒MBC += IBC + =90o 22 ⇒MB ⊥⇒ BI MB là tiếp tuyến của (I), và I ∈ đường thẳng vuông góc với MB. Vì M, B cố định, nên đường thẳng vuông góc với MB cố định. Do đó, khi điểm D thay đổi thì tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên một đường thẳng cố định. 2. Đặt CAB =⇒=− x ABD900 x BC 2 Xét ABC , theo định lý sin, ta có: =2RR11 ⇒= sin CAB 2sin x AB 2 Tương tự, xét ABD , có: =2RR22 ⇒= 2sin( 900 − x) 2cx os 21 1 o ⇒RR12 + = +(0 <≤x 90 ) 2 sinx cosx Đặt sinx=tt( 0 << 1)
6. 21 1 ⇒+=RR12  + 2 t 1− t 2 11 1 2t =+ ⇒' =−− ft() f() t 2 tt1 −t2 2(1−−tt22 ) 1 2 ⇒ft' () = 0 ⇔= t 2 22 2 ⇒+≥RR12  + =2(dpcm ). 2 22 Câu 5. a28 ba33+ b Ta có: P = ++ 2bc++ ac16 c a28 b ab33+ ⇔P = ++11 ++ − 2 2bc++ ac16 c 11ab33+ 8 ⇔=P( a +22 bc +) + + − 2bc++ ac16 c Ta có: (xy−≥ )02 nên x22+≥ y2 xy xy+ 4 ⇒+(x y )42 ≥ xy ⇒ ≥ với xy;0> xy x+ y 11 4 ⇒+≥ x y xy+ Lại có: x22+−≥ y xy xy nên ()x+ y( x22 +− y xy) ≥ xy() x + y ⇒+≥x33 y xy() x + y 4a .2( ba+ 2) b ⇒≥P( a +22 bc +) + − 2bcac+++ 16 c 2(ab++ 2) 2 abab ( 2) ⇔≥P + abc++2 2 16 c Mặc khác: a22+46 b += c ab nên (a− 2) b2 += c 2 ab (ab+ 2)2 ⇒≤c2 ab ⇔ 4 a .2 b = 4 c ⇒≤ c 4 Đặt ta= + 2 b, ta có:
7. 2tt 2 4 t 4 t+ 22 P ≥ += += + − t 2 16tt++ 2 16 2 16 16 + t 2 4t 17 ⇒≥P 2. −= t + 2 16 8 8 74t + 2 P= khi = ⇔=t 6 min 8t + 2 16 a = 3 ab+=26 3 ⇔ab =2 ⇔= b 2  c= 2 ab c = 9 73 Vậy GTNN của P= khi a =3, b = , c = 9 . 82