Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo An Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo An Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT AN GIANG Năm học 2022-2023 Khóa ngày 07/6/2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN CHUYÊN (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (2,5 điểm) Cho = 4+ +2√3+ − 101+ √3+ a. Tính giá trị biểu thức khi =2√2. b. Tìm biết = −9. Câu 2. (2,0 điểm) Cho Parabol (푃): = −2 và hai điểm (−1;0), (1;−2). a. Vẽ đồ thị (푃) và hai điểm ; trên cùng hệ trục tọa độ. b. Viết phương trình đường thẳng ( ) song song với và tiếp xúc (푃). Câu 3. (1,0 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn , 푛 là tham số: 푛 −2(푛 +1) + 푛 =0. a. Tìm 푛 để phương trình có hai nghiệm phân biệt ; . b. Chứng minh rằng | − | ≤2√3 với mọi số 푛 nguyên dương. Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác vuông tại ( > ), =2. Biết rằng đường tròn ( ) qua ba điểm , , ( là trung điểm của ) cắt tại 퐿 với 퐿 là tia phân giác của góc . a. Chứng minh . 퐿 =2. b. Chứng minh . 퐿 = . 퐿 . c. Tính độ dài cạnh . Câu 5. (1,0 điểm) Một nông dân thu hoạch 100 trái dưa lưới có khối lượng trung bình là 1,5 kg. Trong 100 trái này có các trái dưa lưới nặng hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,73 kg, các trái dưa lưới nhẹ hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,33 kg và các trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg. a. Tìm biểu thức liên hệ giữa số trái dưa lưới theo khối lượng của chúng. b. Có ít nhất bao nhiêu trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg ? Hết Số báo danh: Phòng thi:
2. Lược giải đề TS10 An Giang 2022 Môn: TOÁN CHUYÊN LƯỢC GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH 10 AN GIANG Môn: TOÁN CHUYÊN Năm học: 2022 – 2023 Đặng Lê Gia Khánh Câu 1. (2,5 điểm) Cho = 4+ +2√3+ − 101+ √3+ . a. Tính giá trị biểu thức khi =2√2. b. Tìm biết = −9. LỜI GIẢI Với điều kiện 3+ ≥0⇔ ≥ −3 = 1+ √3+ − 101+ √3+ = 1+ √3+ − 101+ √3+ . 1a. Với =2√2 thì 3+ =3+2√2 = 1+ √2 ⇒ √3+ =1+ √2. Suy ra = 2+ √2 − 102+ √2 = 2+ √2 2+ √2 − 10. Do 2+ √2 =6+4√2 ⇒ = 6+4√2−4+4√2 =8+8√2. 1b. Đặt 푡 =1+ √3+ (푡 ≥1). Biểu thức trở thành = 푡 − 10푡 푡 = ±1 =−9⇔ 푡 − 10푡 +9=0⇔ (푡 −1)(푡 −9) =0⇔ 푡 = ±3 Do 푡 ≥1 nên 푡 =1 hoặc 푡 =3. Với 푡 =1⇒1+ √3+ =1⇔ √3+ =0⇔ = −3 (nhận). Với 푡 =3⇒1+ √3+ =3⇔ √3+ =2⇔3+ =4⇔ =1 (nhận). Vậy = −9 tìm được các giá trị là −3;1. Câu 2. (2,0 điểm) Cho Parabol (푃): = −2 và hai điểm (−1; 0), (1; −2). a. Vẽ đồ thị (푃) và hai điểm ; trên cùng hệ trục tọa độ. b. Viết phương trình đường thẳng ( ) song song với và tiếp xúc (푃). LỜI GIẢI 2a. Bảng giá trị (푃): −2 −1 0 1 2 = −2 −8 −2 0 −2 −8 Đặng Lê Gia Khánh 1
3. Lược giải đề TS10 An Giang 2022 Môn: TOÁN CHUYÊN y O x (푃): = −2 2b. Gọi ( ): = + là phương trình đường thẳng qua hai điểm (−1;0), (1;−2). 0=− + = −1 Khi đó ⇔ ⇒ ( ): =− −1. −2 = + = −1 Phương trình đường thẳng ( )//( ) có dạng =− + ( là hằng số) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (푃), ( ): −2 =− + (∗). (푃), ( ) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình (∗) có nghiệm kép 1 ⇔ ∆=1−4(−2)(− ) =0⇔ = . 8 1 Vậy ( ): =− + là phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. 8 Câu 3. (1,0 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn , 푛 là tham số: 푛 −2(푛 +1) + 푛 =0. a. Tìm 푛 để phương trình có hai nghiệm phân biệt ; . b. Chứng minh rằng | − | ≤2√3 với mọi số 푛 nguyên dương. LỜI GIẢI Phương trình 푛 −2(푛 +1) + 푛 = 0 (1) là phương trình bậc hai ẩn nên 푛 ≠0. 3a. Biệt thức Δ = (푛 +1) − 푛 =2푛 +1. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ; ⇔Δ >0⇔2푛 +1>0⇔ 푛 >− . Vậy với 푛 >− và 푛 ≠ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ; . 3b. Do 푛 nguyên dương ⇒ 푛 ∈ℕ∗, tức là 푛 ≥1. Từ câu 3a thấy với 푛 ≥ 1, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ; . Theo hệ thức Vi-ét, ta có: + =2+ và = 1. Đặng Lê Gia Khánh 2
4. Lược giải đề TS10 An Giang 2022 Môn: TOÁN CHUYÊN 4 8 ⇒ | − | = ( + ) −4 = + ≤ √4+8 =2√3. 푛 푛 Dấu “=” xảy ra khi 푛 =1. Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác vuông tại ( > ), =2. Biết rằng đường tròn ( ) qua ba điểm , , ( là trung điểm của ) cắt tại 퐿 với 퐿 là tia phân giác của góc . a. Chứng minh . 퐿 =2. b. Chứng minh . 퐿 = . 퐿 . c. Tính độ dài cạnh . LỜI GIẢI Xét ∆ 퐿 và ∆ có 퐿 = Tứ giác 퐿 nội tiếp 퐿 = (góc chung) Nên hai tam giác 퐿, đồng dạng. 퐿 퐿 ⇒ = = (1). 4a. là trung điểm ⇒ = ⇒ . = =2. Từ (1) ⇒ 퐿. = . = 2. 4b. Từ (1) ⇒ . 퐿 = . 퐿 . 4c. 퐿 là tia phân giác ⇒ 퐿 = 퐿 Mà , , 퐿, cùng thuộc một đường tròn nên 퐿 = 퐿 . Từ câu 4a ⇒ 퐿 = 퐿 = − 퐿 = − . 2 2 . 퐿 2. − ( −2) Từ câu 4b ⇒ = = = = − 2. 퐿 2 2 ∆ vuông tại ⇒ = + = +4= ( −2) +6= + 6 (2). Từ (2) ⇔ ( −3)( +2) =0⇒ =3 (vì > 0). Câu 5. (1,0 điểm) Một nông dân thu hoạch 100 trái dưa lưới có khối lượng trung bình là 1,5 kg. Trong 100 trái này có các trái dưa lưới nặng hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,73 kg, các trái dưa lưới nhẹ hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,33 kg và các trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg. a. Tìm biểu thức liên hệ giữa số trái dưa lưới theo khối lượng của chúng. b. Có ít nhất bao nhiêu trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg ? Đặng Lê Gia Khánh 3
5. Lược giải đề TS10 An Giang 2022 Môn: TOÁN CHUYÊN LỜI GIẢI 5a. Gọi , , lần lượt là số quả dưa nặng hơn 1,5 ; bằng 1,5 ; nhẹ hơn 1,5 . (trong đó , , là các số nguyên dương). Khi đó ta có 1,73 + 1,5 + 1,33 = 1,5.100 = 150 (1). 5b. Theo cách gọi ở câu 5a ⇒ + + = 100 ⇒ 1,5 + 1,5 + 1,5 = 150 (2). 17 Từ (1), (2) ⇒ 0,23 − 0,17 =0⇔ = . 23 Vì (17,23) =1 nên đặt = 23 ( ∈ℕ∗) ⇒ = 17 . Từ đó suy ra = 100− − = 100−40 . = 60 ≥0⇒100−40 ≥0⇔ ≤ 2,5 ⇒ =1;2⇒ = 20 Vậy có ít nhất 20 trái dưa lưới nặng đúng 1,5 . HẾT Đặng Lê Gia Khánh 4