Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT An Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT An Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT AN GIANG Năm học 2023-2024 Khóa ngày 03/6/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN CHUYÊN (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (1,0 điểm) Thực hiện phép tính √7 + 1 2√14 = − + √7 − 2√2. 3 − 2√2 √2 − 1 Câu 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình + √3 = 6 − 2√3 { . + = 2 Câu 3. (1,0 điểm) Phương trình 2 + + = 0 (với ; là các số nguyên) có một nghiệm là 5 + √21 . Tính nghiệm còn lại. Câu 4. (1,0 điểm) Hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm số ( ) = 2 và ( ) = − + ( ; là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành độ bằng 1. Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị. Câu 5. (1,5 điểm) Cho 3 + 3 = 189 và ( + )( + 1)( + 1) = 270 . Tính + . Câu 6. (3,5 điểm) Cho tam giác có ba góc đều nhọn, là đường cao kẻ từ ( ∈ ). Gọi , lần lượt là trung điểm của và , 퐹 là điểm đối xứng của điểm qua . a. Chứng minh rằng tứ giác 퐹 nội tiếp. b. Chứng minh 퐹 ̂ = 퐹 ̂. c. Chứng minh rằng 퐹 đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Câu 7. (1,0 điểm) Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm 37 ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng 10cm. Tính độ dài của một sợi dây đai để buột các ống thép lại với nhau. Hết Dây đai Số báo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Phòng thi:. . . . . .
2. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT AN GIANG Năm học 2023-2024 Khóa ngày: 03/6/2023 MÔN: TOÁN CHUYÊN Câu Lược giải Điểm √7 + 1 2√14 = − + √7 − 2√2 3 − 2√2 √2 − 1 0,25 √7 + 1 (√7 + 1)(3 + 2√2) + = = 3√7 + 2√14 + 3 + 2√2 Câu1 3 − 2√2 9 − 8 (1,0đ) 2√14 + = 2√14(√2 + 1) = 4√7 + 2√14 0,25 √2 − 1 ⇒ = 3√7 + 2√14 + 3 + 2√2 − (4√7 + 2√14) + √7 − 2√2 = 3 0,5 Vậy = 3. + 3 = 6 − 2 3 3 − = 4 − 2 3 (√3 − 1) = 4 − 2√3 { √ √ ⇔ {√ √ ⇔ { + = 2 + = 2 + = 2 0,5 4 − 2√3 (4 − 2√3)(√3 + 1) Câu2 ⇒ = = = −1 + √3 (1,0đ) √3 − 1 2 ⇒ = 2 − = 2 − (−1 + √3) = 3 − √3 0,5 Hệ có nghiệm = 3 − √3; = −1 + √3. Phương trình 2 + + = 0 (với ; là các số nguyên) có một nghiệm là 5 + √21 . Thay = 5 + √21 vào phương trình ta được 2 (5 + √21) + (5 + √21) + = 0 0,5 ⇔ 25 + 10√21 + 21 + 5 + √21 + = 0 ⇔ (10 + )√21 + 5 + + 46 = 0 Câu3 Vì , là các số nguyên nên (1,0đ) 10 + = 0 = −10 = −10 { ⇔ { ⇔ { 5 + + 46 = 0 −50 + + 46 = 0 = 4 0,5 Phương trình trở thành 2 − 10 + 4 = 0 do 1 + 2 = 10 ⇒ 2 = 10 − 1 = 10 − (5 + √21) = 5 − √21 Vậy nghiệm còn lại là 5 − √21. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là 2 = − + ⇔ 2 + − = 0 Dựa vào hình vẽ phương trình có một nghiệm Câu4 1 = 1 , nghiệm còn lại 1,0 (1,0đ) 1 + 2 = − = −1 1 + = −1 ⇔ = −2 2 2 Vậy giao điểm thứ hai có hoành độ = −2. 2
3. Cho 3 + 3 = 189 và ( + )( + 1)( + 1) = 270 . Tính + . Đặt 푆 = + ; 푃 = ta được 0,5 3 + 3 = ( + )( 2 − + 2) = 푆(푆2 − 3푃) = 푆3 − 3푆푃 ( + )( + 1)( + 1) = ( + )( + + + 1) = 푆(푆 + 푃 + 1) = 푆2 + 푆푃 + 푆 Câu5 Theo giả thiết ta có 0,5 (1,5đ) 3 { 푆 − 3푆푃 = 189 푆2 + 푆푃 + 푆 = 270 ⇒ 푆3 + 3푆2 + 3푆 = 999 ⇔ 푆3 + 3푆2 + 3푆 + 1 = 1000 0,5 ⇔ (푆 + 1)3 = 1000 ⇒ 푆 + 1 = 10 ⇔ 푆 = 9 Vậy + = 9. Ta có tam giác vuông tại , là trung điểm nên = = 0,5 (tính chất trung tuyến của tam giác vuông). Câu6a = 퐹 (do và 퐹 đối xứng nhau (1,5đ) qua ) ⇒ = = 퐹 = . Vậy tứ giác 퐹 nội tiếp trong đường 0,5 tròn có tâm . (Hình vẽ 0,5đ) Tứ giác 퐹 nội tiếp trong đường tròn có tâm 0,5 Suy ra 퐹 ̂ = 퐹 ̂ (cùng bù với 퐹 ̂) Câu6b (1,0đ) 퐹 ̂ = 퐹 ̂ (do 퐹, đối xứng qua ) 0,5 ⇒ 퐹 ̂ = 퐹 ̂ Giả sử là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 khi đó ̂ = ̂ và ngược lại, do là trung 2 điểm nên ̂ = ̂ = 900 − ̂ 0,5 Do đó ta chỉ cần chứng minh ̂ = 900 − 퐹 ̂ Câu6c thì 퐹 đi qua . (1,0đ) Thật vậy ̂ = ̂ (do song song ) ̂ = 900 − 퐹̂ = 900 − 퐹 ̂ = 900 − 퐹 ̂ (chứng minh câu b) 0,5 Vậy ̂ = 900 − 퐹 ̂. Điều phải chứng minh, hay đường thẳng 퐹 đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác . 3
4. Cách khác Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tứ giác nội tiếp trong đường tròn do ̂ = ̂ = 900 Mà = = nên ̂ = ̂ = 1800 − ̂ = 1800 − 퐹 ̂ Vậy tứ giác 퐹 nội tiếp hay các điểm , , 퐹, , cùng nằm trên một đường tròn. ⇒ ̂ = ̂ = 퐹̂ = 퐹̂ Vì là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên 1 ̂ = ̂ = ̂ 2 Vậy 퐹̂ = ̂ hay 퐹 đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Dây đai xem là hình giới hạn bởi 6 đoạn thẳng và 6 cung tròn bằng nhau như hình vẽ. Độ dài mỗi đoạn chính là khoảng cách giữa hai tâm đường tròn biên gồm 4 đường tròn tiếp xúc nhau và tiếp xúc với dây đai. Độ dài mỗi cạnh: 3 × 10 = 30cm Mỗi cung tròn có số đo cung bằng 600, độ dài Câu7 mỗi cung bằng: 푅푛 . 5.60 5 1,0 (1,0đ) = = cm 180 180 3 Độ dài dây đai là: 5 30 × 6 + × 6 = 180 + 10 ≈ 211,4cm. 3 (nếu học sinh xem dây đai là lục giác đều độ dài 6 cạnh, mỗi cạnh 40cm hoặc 30cm thì điểm tối đa là 0,25) Lưu ý: - Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Điểm tổng toàn bài giữ nguyên không làm tròn. 4