Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Phú Yên (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Phú Yên (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2023-2024 Môn thi: TOÁN (chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,00 điểm) xxx 211 a) Cho biểu thức A  : xxxxxx 1111 625625 Rút gọn biểu thức A; tính giá trị của A, biết x  26252625 11 b) Cho biết 21,1. ab Chứng minh rằng ababab 112222 . ab Câu 2. (6,00 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau: 333 a) xxx 353520 . 3 xyxyy 32632 b) 32 32.xyy Câu 3. (3,00 điểm) Cho đoạn thẳng AB, với M là trung điểm. Trên đường trung trực Mt của đoạn thẳng AB lấy điểm I bất kì. Vẽ tia Ax sao cho AI là phân giác góc BAx. Đường thẳng BI cắt Ax tại N. Gọi C là điểm đối xứng của A qua N, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. a) Chứng minh rằng tam giác NHB cân. b) Chứng minh đẳng thức: BHHIBN2 c) Khi điểm I di chuyển trên đường trung trực Mt đến vị trí làm cho tam giác ABC AB vuông tại C, hãy tính tỉ số  AC Câu 4. (1,00 điểm) Cho phương trình axbxc2 0 ( 0a ) , với abc,, là số thực thỏa 2a b c 0. Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm không thể đều dương. Câu 5. (3,00 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của AB, H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng DC. Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại E. Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng DC. a) Chứng minh BH vuông góc với AI. b) Đường thẳng qua B vuông góc với BH cắt đường thẳng DC tại K. Chứng minh tứ giác BCEK nội tiếp. Câu 6. (3,00 điểm) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: xy 1,0 1. Chứng minh rằng: 11 xy  x 11 y x22 y y x Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ;Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: ;Chữ kí giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn thi: TOÁN (chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Gồm có 04 trang) 1. Hướng dẫn chung - Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. - Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. - Điểm bài thi không làm tròn số. 2. Đáp án và thang điểm CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 4,00 đ xxx 211 a) Rút gọn, tính giá trị A : , xxxxxx 1111 2,50 đ 625625 biết x  26252625 - Rút gọn A: Với điều kiện xx 0,1 , ta có: 2 xxxxx 211 x 1 x 1 xx 111,00 đ A :  xxx 11xxxxx 111 6 2 56 2 56 2 56 2 516 - Lại có: x  4 1,00 đ 26 2 526 2 5 25 1 25 1 4 413 Do đó: A  0,50 đ 441 7 11 b) Biết 21,1 ab . CMR: aba bab112222 . 1,50 đ ab 11 Vì ab 1,1 nên: 2 a b 2 ab a2 b 2 2 a 2 b 2 2 ab . 0,50 đ ab Khi đó: B ab 1 a2 b 2 2 a 2 b 2 2 ab ab ab 1 2 . 0,50 đ Vì a 1, b 1 ab 1 nên B ab ab 11 (điều phải chứng minh). 0,50 đ 2 Giải các phương trình, hệ phương trình 6,00 đ 3 3 3 a) x 3 x 5 3 5 2 x 0 3,00 đ Đặt u x 3, v x 5 , khi đó 3 5 2x u v . 1,00 đ 1
3. uv 0 33 3 PTĐC viết lại là: u v u v 0 3 u v uv 0 u 0 1,00 đ v 0 35 (1):uvxxx 0350 2 (2): ux 0 3; (3): vx 05 . 1,00 đ  35 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ;3;5 . 2 Cách 2: Đặt axbxcx 3,5,352 . Khi đó: abcabc333 3 (chứng minh). Từ đó ta có nghiệm như cách 1. 3 32 xyxyy 326(1) b) 3,00 đ 32 32(2)xyy u x y y2 2 Đặt 2 . Dễ thấy y 0 . Từ (2) suy ra 30xy 2 , do đó ta luôn có vy y 0,50 đ uv 0,0 (3). uuvv3 326(4) Ta có hệ phương trình mới: 32(5).uvv 0,50 đ u3 4 Thế (5) và (4) ta được: v (6). 5 Thế (6) vào (5) ta được: 4332 3121401uuuuuuu 322140 (7). 1,00 đ Đối chiếu với điều kiện (3) thì 322140uuu32 nên (7) có nghiệm u 1. Với , từ (6) suy ra v 1 hay yyx2 111 . 1,00 đ Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: xy;1;1 và xy;1;1 . 3 3,00 đ a) Chứng minh NHB cân 1,00 đ t AHC vuông tại H có HN là trung tuyến nên NA = NC = NH nên HNA x 0,50 đ cân tại N, suy ra NHA NAH , do đó C NHAIABIBHNBH 222 (1). N Theo tính chất góc ngoài của tam giác I thì NHA HNB HBN (2). 0,50 đ Từ (1) và (2) suy ra HNB HBN A B M H hay NHB cân tại H. 2
4. b) Chứng minh B H H2 I B N . 1,00 đ 1 Theo a) NHB cân tại H suy ra HB HN AC (3). 0,25 đ 2 Xét A N I và BHI có IANIBH IAIBANIBHIINIH ANBHHN () 0,50 đ dẫn đến N I H cân tại I IHNINHNHBNIH (hai tam giác cân có góc ở đáy bằng nhau) BHHI BH HNHI BNBHHI BN 2 . 0,25 đ BNHN AB c) Tính tỉ số khi ABC vuông 1,00 đ AC Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Pytago ta có BCBH22222 BAABACABBH 0 BAAC (4). 0,50 đ Từ (3) và (4) ta có 2.20ABABACAC22 (5). AB Vì AC > 0, chia 2 vế cho AC 2 ta được phương trình bậc 2 với x là: AC 1 17 x 2xx2 2 0 4 1 17 0,50 đ x  4 117 1 17 AB 1 17 Do 0 (loại) nên ta chọn x , hay  4 4 AC 4 4 1,00 đ Ta có biệt thức: b24 ac b 2 4 a ( b 2 a ) 2 a b 2 4 a 2  0, a 0 ; do 0,75 đ đó, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. b xx12 a Giả sử 2 nghiệm đã cho là: xx12, . Theo định lí Vièt, ta có: c xx  12 a bc 0,25 đ Từ giả thiết 202abc , do đó aa x121xx 212 xxx 2111 (*).Nếu 2 nghiệm đều dương thì xx12 11 >1, mâu thuẫn với (*). Vậy 2 nghiệm của phương trình không thể đều dương. 3
5. 5 3,00 đ a) Chứng minh B H A I 1,50 đ Gọi M là giao điểm của EI và AC, ta có M là trực tâm của tam giác ECD 0,50 đ D M C E DM // BC. Tam giác ABC có DA = DB, DM // BC MA MC . Tam giác AHC có MA = MC, MI // AH I H I C . 0,50 đ Gọi N là trung điểm của AH ta có IN // AC I N A D . Tam giác ADI có AHDIINAD, do đó N là trực tâm D N A I 0,50 đ mà DN // BH B H A I . b) Chứng minh tứ giác BCEK nội tiếp 1,50 đ Từ B H A I AI // KB I A D K B D . Xét KBD và IAD có: 0,50 đ IADKBDDADBADIBDK ,, KBD IAD DK DI (1). DADC Vì DACDIE g gDA( . DEDI ) DC (2). 0,50 đ DIDE Từ (1) và (2) kết hợp với DA = DB suy ra DB.DE = DK.DC DK DB 0,50 đ DEK DCB DEK DCB dẫn đến BCEK nội tiếp . DE DC Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: xy 1,01 . Chứng minh rằng: 6 11 xy 3,00 đ  xyxyyx 1122 1 x 1 y Với giả thiết đã cho, ta sẽ chứng minh 2 (1) và 2 (2). 0,50 đ y 1 x y xyx 1 Ta có: ( 1 ) xyxxyy xxx2 0(1)(1)0 0,50 đ (1)()0xyx (3). (3) đúng vì xy 1,01 . 0,50 đ Dấu đẳng thức xảy ra khi xy 1,01 . Ta cũng có: (2)0() xy () y 0 y2 xy x yx y 0,50 đ ()(1)0xyy (4). (4) đúng vì xy 1,0 1. 0,50 đ Dấu đẳng thức xảy ra khi xy 1. Cộng theo vế (1) và (2) ta được 0,50 đ Dấu đẳng thức xảy ra khi xy 1. 4