Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Nghệ An (Có hướng dẫn giải)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Nghệ An (Có hướng dẫn giải)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NGHỆ AN NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2,5 điểm). a) Tính A 64 16 2 36 . b) Xác định các hệ số a,b của đường thẳng y ax b, biết đường thẳng này đi qua điểm M(1;9) và song song với đường thẳng y 3x . 1 2 x x c) Rút gọn biểu thức P  , với x 0 và x 1. x 1 x 1 x Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình 2x2 5x 2 0. 2 b) Cho phương trình x 12x 4 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1 ,x2 . Không giải x2 x2 phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức T 1 2 x1 x2 Câu 3 (1,5 điểm). Vào tháng 5 năm 2021 , chỉ sau 26 giờ phát hành sản phẩm âm nhạc MV "Trốn tìm" của rapper Đen Vâu đã chính thức dành Top 1 trending của YouTube Việt Nam. Giả sử trong tất cả những người đã xem MV , có 60% số người đã xem 2 lượt và những người còn lại mới chỉ xem 1 lượt. Hỏi đến thời điểm nói trên có bao nhiêu người đã xem MV, biết rằng tổng số lượt xem là 6,4 triệu lượt? Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC(AB AC) nội tiếp đường tròn tâm O , các đường cao AD,BE và CF(D BC,E AC và F AB) cắt nhau tại H . a) Chứng minh BCEF là tứ giác nội tiếp. b) Gọi N là giao điểm của CF và DE . Chứng minh DN.EF HF.CN c) Gọi M là trung điểm của BC , tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng OM tại P . Chứng minh O· AM ·DAP.
2. x 3y 2 xy 4( x y) Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình (x,y ¡ ) (x 1) y xy x2 x 4 HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.
3. a) A 64 16 2 36 8 4 2.6 0 b) Đường thẳng y ax b song song với đường thẳng y 3x . Suy ra a 3;b 0 . Đường thẳng y ax b đi qua M(1;9) . Suy ra: 9 a.1 b 9 3.1 b b 6 (Thỏa mãn). Vậy a 3;b 6 . c) Với x 0; x 1 1 2 x x P  x 1 x 1 x 1 x 2 x x x  x(1 x) 1 x 1 x x x  x x 1 x 1 Câu 2. a) 2x2 5x 2 0 Xét b2 4ac ( 5)2 4.2.2 9 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: b 5 9 b 5 9 1 x 2 x 1 2a 2.2 2 2a 2.2 2 1 Vậy phương trình có hai nghiệm là 2 và . 2 b) x2 12x 4 0 2 2 Xét b ac ( 6) 1.4 32 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 x x 12 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 x1x2 4 x1 0,x2 0 Ta có:
4. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x1 x2 2x1x2 12 2.4 2 x x 1 2 T 1 2 1156 2 x1 x2 x1 x2 2 x1x2 12 2 4 x1 x2 2 2 Nhận xét x1 x2 0 và x1 x2 0 với mọi x1 ,x2 0 suy ra T 0 T T 2 1156 34 Vây T 34 . Câu 3. Gọi số người xem MV là x (triệu người) (x 0) Theo đề bài có 60% số người đã xem 2 lượt, 40% số người đã xem 1 lượt và tổng lượt xem MV là 6,4 triệu lượt nền ta có phương trình: 2x 60% x  40% 6,4 120 40 x 6,4 100 100 x 4(TM) Vậy số người xem MV "Trốn tìm" của Đen Vâu là 4 triệu người. Câu 4.
5. a) Xét tứ giác BCEF ta có: B· FC 90 (CF là đường cao); B· EC 90 ( BE là đường cao) B· FC B· EC F và E cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau. Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn. b) Xét tứ giác HECD ta có: A· DC 90 ( AD là đường cao); ( BE là đường cao) A· DC B· EC 180 tứ giác HECD nội tiếp đường tròn H· ED H· CD (góc nội tiếp cùng chắn cung HD ) (1). Ta có: Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (chứng minh câu a) F· EB F· CD (góc nội tiếp cùng chắn cung . FB .). (2). Từ (1) (2) suy ra F· EB B· ED . Xét tam giác FEN có EH là phân giác của góc E ta có: HF HN (tinh chất đường phân giác). (3) EF NE Xét HNE và DNC ta có: · · HNE DNC  HEN ∽ DCN( g g) · ·  HEN DCN HN DN (4) NE CN HF DN Từ (3) (4) suy ra HF.CN DN .EF (đpcm) EF CN c) Vì BP là tiếp tuyến của (O) OB  BP hay OBP vuông ở B . M là trung điểm BC OM  BC hay BM  OP Tam giác OBP vuông ở B có BM  OP OB2 OM.OP (hệ thức lượng trong tam giác vuông). OM OA Mà OA OB( R) OM.OP OA2 OA OP
6. Xét tam giác OAM và tam giác OPA có: A· OM chung OM OA OA OP OAM ∽ OPA(c.g.c) O· AM O· PA (5) Vi AD / /OP( BC) O· PA D· AP (so le trong) (6). Từ (5) và (6) suy ra O· AM D· AP (đpcm). Câu 5. x 3y 2 xy 4( x y) (1) (x 1) y xy x2 x 4 (2) Đk x 0; y 0 (1) x 3 xy xy 3y 4( x y) x( x 3 y) y( x 3 y) 4( x y) ( x y)( x 3 y 4) 0 x y(*) x 3 y 4 0( ) Thay (*) vào (2) , ta có: (x 1) 3x x2 4 x3 2x2 3x 4 0 (x 1) x2 x 4 0 x 1 tm 1 17 x tm 2 1 17 x ktm 2
7. 1 17 1 17  (x; y) (1;1); ;  2 2  Xét ( ) có: x y 4 2 y Xét: (x 1) y xy x2 x (x 1) 2(y 2 y 1) x2 x 2 (x 1) 2( y 1)2 x2 x 2 Xét x 2 , áp dụng BĐT Cô si cho ba số không âm x 1;2(2 x); x 1 ta có: 3 x 1 x 1 2(2 x) 2(x 1)(2 x)(x 1) 3 3 1 x 1 x 1 2(2 x) (x 1)(2 x)(x 1)  4 2 3 x 1 Dấu "=" xảy ra y 1 Xét x 2 ta có (x 1)(2 x)(x 1) 0 (x 1) y xy x2 x 0 4 0 (vô lí) 1 17 1 17  Vậy HPT có nghiệm (x; y) (1;1); ; . 2 2 