Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nam (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nam (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (2,0 điểm). 1. Giải phương trình 2xx2 − 4 +=+ 4 x 1. xy(2)(1)4+− yx += 2. Giải hệ phương trình  3xy+= 11. aa++69 a − 9 Câu II (1,5 điểm). Cho biểu thức P = + , (với aa≥≠0; 9 ). aa+−33 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tính giá trị của biểu thức P khi a =19 − 6 10. 2 Câu III (1,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình yx= và đường thẳng (d) có phương trình y=2 mx +− 32 m (với m là tham số). 1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;1) . 2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt AB,. Gọi xx12, lần lượt là hoành độ các điểm AB,. Tìm m để xx12, là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 14. Câu IV (1,0 điểm). Lớp 9A giao cho An đi mua bánh và kẹo để tổ chức liên hoan. An mua tất cả 15 hộp bánh và 5 túi kẹo với số tiền phải trả là 850 nghìn đồng. Biết rằng, giá mỗi hộp bánh là như nhau, giá mỗi túi kẹo là như nhau và giá một hộp bánh hơn giá một túi kẹo là 10 nghìn đồng. Tính giá tiền để mua một hộp bánh và giá tiền để mua một túi kẹo. Câu V (3,5 điểm). Cho đường tròn tâm O có đường kính AB= 2. R Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OA và E là điểm thuộc đường tròn tâm O ( E không trùng với A và B ). Gọi Ax và By là các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) ( Ax, By cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm E ). Qua điểm E kẻ đường thẳng d vuông góc với EI cắt Ax và By lần lượt tại M và N. 1. Chứng minh tứ giác AMEI nội tiếp. 2. Chứng minh ENI = EBI và AE. IN= BE IM 3. Gọi P là giao điểm của AE và MI; Q là giao điểm của BE và NI. Chứng minh hai đường thẳng PQ và BN vuông góc với nhau. 4. Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm E của đường tròn (O). Tính diện tích tam giác OMN theo R khi ba điểm EIF,, thẳng hàng. Câu VI (0,5 điểm). Cho 2 số ab, thỏa mãn ab+≥1 và a > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 20ab2 + thức Tb= + 4.2 4a HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi thứ nhất Cán bộ coi thi thứ hai
2. UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 5 trang) Lưu ý: - Các cách giải đúng khác đáp án cho điểm tương ứng theo hướng dẫn chấm. - Tổng điểm toàn bài không làm tròn. Câu Ý Nội dung Điểm Giải phương trình 2xx2 − 4 +=+ 4 x 1. Phương trình 2xx22− 4 + 4 = x +⇔ 1 2 xx − 5 += 30 0,25 1 Do abc++=−+=2530 0,25 (1,0 điểm) 3 nên phương trình có 2 nghiệm xx12=1, = . 0,5 2 xy(2)(1)4+− yx += Giải hệ phương trình  3xy+= 11. 24xy−= I Hệ phương trình đã cho tương đương với  0,25 3xy+= 11 (2,0 điểm)  5xx= 15= 3 ⇔⇔ 0,25 2 3xy+= 11 3 xy += 11 (1,0 điểm) x = 3 ⇔  0,25 3.3+=y 11 x = 3 ⇔  y = 2 0,25 Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm ( xy;) = ( 3; 2 ) aa++69 a − 9 Cho biểu thức P = + , (với aa≥≠0; 9 ). aa+−33 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tính giá trị của biểu thức P khi a =19 − 6 10. Rút gọn biểu thức P. 2 a+3 aa +− 33 1 ( ) ( )( ) 0,5 II P = + (1,0 điểm) aa+−33 (1,5điểm) =aa ++3 += 32 a + 6 0,5 Tính giá trị của biểu thức P khi a =19 − 6 10. 2 2 aP=19 − 6 10 ⇒ = 2 19 − 6 10 += 6 2( 10 − 3) + 6 0,25 (0,5 điểm) =2 10 −+= 3 6 2( 10 − 3) += 6 2 10 0,25 1
3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình yx= 2 và đường thẳng (d) có phương trình y=2 mx +− 32 m (với m là tham số). 1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;1) . 2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt AB,. Gọi xx12, lần lượt là hoành độ các điểm AB,. Tìm m để xx12, là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 14. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;1) . 1 d A 2;1 1= 2mm .2 +− 3 2 (0,5 điểm) ( ) đi qua ( ) nên 0,25 ⇔=−m 1 0,25 Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt AB,. Gọi xx12, lần lượt là hoành độ các điểm AB,. Tìm m để xx12, là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 14. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là III 0,25 22 (1,5 điểm) x=2 mx +− 3 2 m ⇔ x − 2 mx + 2 m −= 3 0 (1) 2 ∆=′ mm2 −(2 − 3) =( m − 1) + 2 > 0 với mọi m 0,25 Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm AB, phân biệt. xx+=2 m xx 12 2 Do 12, là các nghiệm của phương trình (1) nên  xx.= 23 m − (1,0 điểm)  12 Để xx12, là độ dài 2 cạnh của một hình chữ nhật thì 0,25 x>00 xx +> 20m > 3 1⇔ 12 ⇔  ⇔>m . 2 x2>0 xx12 . > 0 2 m −> 30 Do xx12, là độ dài 2 cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 14 nên ta có 2 22 x22+ x =14 ⇔x + x −2 xx = 14 ⇔ 2 m − 2(2 m −= 3) 14 0,25 1 2 ( ) ( 1 2) 12 ( ) 2 m = −1 3 ⇔4mm − 4 −=⇔ 80  ⇒m =2 (vì m > ) m = 2 2 Lớp 9A giao cho An đi mua bánh và kẹo để tổ chức liên hoan chia tay. An mua tất cả 15 hộp bánh và 5 túi kẹo với số tiền phải trả là 850 nghìn đồng. Biết rằng, giá mỗi hộp bánh là như nhau, giá mỗi túi kẹo là như nhau và giá một hộp bánh hơn giá một túi kẹo là 10 nghìn đồng. Tính giá tiền để mua một hộp bánh và giá tiền để mua một túi kẹo. Gọi giá tiền một hộp bánh là x (nghìn đồng), giá tiền một gói kẹo là y IV (nghìn đồng) 0,25 (1,0 điểm) ĐK: xy>>0; 0 . Theo đầu bài 15 hộp bánh và 5 túi kẹo khi thanh toán là 850 nghìn đồng, 0,25 nên ta có phương trình :15xy+= 5 850( 1) Giá một hộp bánh nhiều hơn một túi kẹo là 10 nghìn đồng nên ta có 0,25 phương trình: xy−=10( 2) 2
4. 15xy+= 5 850 x = 45 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: ⇔ xy−=10 y=35 0,25 Vậy giá tiền một hộp bánh là 45 nghìn đồng; một túi kẹo là 35 nghìn đồng. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB= 2. R Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OA và E là điểm thuộc đường tròn tâm O ( E không trùng với A và B ). Gọi Ax và By là các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) ( Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm E ). Qua điểm E kẻ đường thẳng d vuông góc với EI cắt Ax và By lần lượt tại M và N. 1. Chứng minh tứ giác AMEI nội tiếp. 2. Chứng minh ENI = EBI và AE. IN= BE IM 3. Gọi P là giao điểm của AE và MI; Q là giao điểm của BE và NI. Chứng minh hai đường thẳng PQ và BN vuông góc với nhau. 4. Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm E của đường tròn (O). Tính diện tích tam giác OMN theo R khi ba điểm EIF,, thẳng hàng. V (3,5 điểm) Chứng minh tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp. Xét tứ giác AMEI có MAI = 900 0,5 1 (1,0 điểm) MEI = 900 0,25 ⇒+=MAI MEI 1800 0,25 Vậy AMEI là tứ giác nội tiếp Chứng minh: ENI = EBI và AE. IN= BE IM Tứ giác AMEI nội tiếp ⇒ EMI = EAI 0,25 Tương tự ta có tứ giác IBNE nội tiếp ⇒ ENI = EBI 0,25 2 (1,0 điểm) Xét ∆MIN và ∆AEB có ENI = EBI và EMI = EAI hay MNI = EBA và NMI = EAB 0,25 Vậy ∆AEB và ∆MIN đồng dạng AE BE ⇒=⇒AE.IN = BE.IM 0,25 IM IN 3
5. Gọi P là giao điểm của AE và MI; Q là giao điểm của BE và NI. Chứng minh hai đường thẳng PQ và BN vuông góc nhau. Ta có AEB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒=PEQ 900 0,25 Mà ∆AEB và ∆MIN đồng dạng ⇒==MIN AEB 900 3 Tứ giác PEQI nội tiếp ⇒=EPQ EIQ (1) (0,75 điểm) Tứ giác IBNE nội tiếp⇒=EIQ EBN (2). EBN = EAB Mà (3) 0,25 (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EB của đường tròn (O) ) Từ (1), (2) và (3) suy ra ⇒=EPQ EAB ⇒ PQ// AB 0,25 Lại có AB⊥ BN suy ra PQ⊥ BN Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm E của đường tròn (O). Tính diện tích tam giác OMN theo R khi ba điểm EIF,, thẳng hàng. 4 (0,75 điểm) Tứ giác AMEI nội tiếp nên AMI = AEF = 450 nên ∆AMI vuông cân tại A Chứng minh tương tự ta có ∆BNI vuông cân tại B 0,25 RR3 ⇒==AM AI , BN == BI 22 1 R2 S.=OA AM = ΔMOA 24 13R2 S.=OB BN = 0,25 ΔNOB 24 AB S2=+=( AM BN) R2 ABNM 2 2 Vậy SSSSΔMON= ABNM −−= ΔMOA ΔBON R (đvdt). 0,25 4
6. Cho 2 số ab, thỏa mãn ab+≥1 và a > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 20ab2 + Tb= + 4.2 4a 20ab22+ 20 a+− 1 a 1 1 1 1 T= +4 b2 ≥ +45b 22 = a + −+ 4 ba =+ + 4 a −+ 4 b 2 4aa4 44 aa 4 4 0,25 11 Có aa+≥2. = 1 44aa VI 1 1 2 11 11 4a−+ 4 b22 ≥ 4(1)4 − b −+ bb =( 21 −) + ≥ với mọi b (0,5 điểm) 4 4 44 11 15 Do đó, T ≥+1 = 44  1 0,25 15 a = 1 T= ⇔ 4a ⇔==ab 42 2b −= 10 15 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng khi ab= = 4 2 5