Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Hải Phòng (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Hải Phòng (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm 02 trang, 06 bài) Bài 1. (1,5 điểm) Cho các biểu thức: 2 A =−−3 8 50( 2 − 1) ; 36x+− xx 9 B = + : với x ≥≠≠0; x4; x9 . x − 4 xx−−23 a) Rút gọn biểu thức A và B. b) Tìm x sao cho AB.−=23 Bài 2. (1,5 điểm) 2( x−+ 3) 3( 3 xy +) =− 11 1. Giải hệ phương trình  . ( x−−3) 23( xy +) = 5 2. Một quyển vở giá 14 000 đồng, một hộp bút giá 30 000 đồng. Minh muốn mua 01 hộp bút và một số quyển vở. a) Gọi x ( x ∈ ∗ ) là số quyển vở Minh mua, y là số tiền cần trả khi mua x quyển vở và 01 hộp bút. Hãy biểu diễn y theo x. b) Nếu Minh có 300 000 đồng để mua vở và 01 hộp bút thì Minh mua được tối đa bao nhiêu quyển vở? Bài 3. (2,5 điểm) 1. Cho phương trình x22−2 m − 1 xm + −= 901 ( x là ẩn, m là tham số). ( ) ( ) a) Giải phương trình (1) khi m.= −3 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x,x12 thỏa mãn điều kiện xx12−=2 m − 10 . 2. Một trường học có mảnh vườn hình chữ nhật chu vi là 100m. Nhà trường tiến hành mở rộng mảnh vườn đó bằng cách tăng chiều dài thêm 5m và chiều rộng thêm 4m, khi đó diện tích tăng thêm 240m2 .Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn trước khi mở rộng. Bài 4. (0,75 điểm) Một chi tiết máy gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón với các kích thước như hình 1. Biết rằng phần hình trụ có chu vi đáy là 37,. 68cm Tính thể tích của chi tiết máy đó (lấy π ≈ 3,14; kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). Trang 1/7 Hình 1
2. Bài 5. (3,0 điểm) Cho đường tròn ()O;R và điểm A sao cho OA> 2 R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B,C là các tiếp điểm), kẻ dây cung BD song song với AC. Đường thẳng AD cắt ()O;R tại điểm E( E≠ D.) Gọi I là trung điểm của DE. a) Chứng minh năm điểm A,B,I,O,C cùng thuộc một đường tròn. b) Đường thẳng BC cắt OA, AD lần lượt tại H và K. Gọi F là giao điểm của BE và AC. Chứng minh AK.AI= AH .AO và tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA. c) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy. Bài 6. (0,75 điểm) 3 Cho các số thực a,b thoả mãn: a>>00 ,b và (ab+) =21( −− a22 b.) 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M.= + ab a22+ b HẾT - Thí sinh làm bài trên giấy thi, không sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 2/7
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HẢI PHÒNG Năm học 2023 – 2024 HDC ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN (gồm 04 trang) Bài Đáp án Điểm a. (1,0 điểm) A =62 − 52 −− 2 1 0,25 =−+2 21 (vì 210−> ) =1 0,25 Với xxx ≥≠≠0, 4, 9 ta có :  32( x+) x ( xx−+3)( 3) 0,25 B = + : −+xx−−23 1 ( xx22)( ) (1,5đ) 3+ x 11 =⋅=. 0,25 xx−+23 x − 2 b. (0,5 điểm) 2 Để AB−=23 ⇔−1 =⇒3x −−= 223 x −⇔ 6 2 xx =⇔ 2 = 1 0,25 x − 2 ⇔=x 1 (thoả mãn). 0,25 Vậy x =1 thì AB−=2 3. 1. (0,75 điểm) 2( x−+ 3) 3( 3 xy +) =− 11  ( x−−3) 23( xy +) = 5 0,25 4( x−+ 3) 6( 3 xy +) =− 22 7( x −=− 3) 7 ⇔⇔ 3( x−− 3) 63( xy +) = 15( x −− 3) 23( xy +) = 5 xx−=−31 =2 x = 2 ⇔⇔ ⇔  0,25 ( x−−3) 2( 3 xy +) = 5( 2 −− 3) 2( 3.2 +y) = 5 63+=−y 2 (1,5đ) x = 2 ⇔  y = −9 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( xy;) =( 2; − 9) . 2. (0,75 điểm) a) Công thức tính y theo x là yx=14000 + 30000. 0,25 b) Theo đề bài ta có: 14000x +≤ 30000 300000 0,25 135 Giải được x ≤≈19,29 7 0,25 Vậy bạn Minh mua tối đa được 19 quyển vở. 1a. (0,5 điểm) 2 Với m = −3 phương trình (1) có dạng xx+=8 0. 0,25 xx=00 = ⇔xx( +=⇔ 8) 0 ⇔ += =− 3 xx80 8 0,25 (2,5đ) Vậy khi m = −3, phương trình có nghiệm là xx=0; = − 8. 1b. (1,0 điểm) 2 22 2 Có ∆=−'(m − 1) − m += 9 mm − 2 +− 1 m +=−+ 9 2 m 10. 0,25 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt xx12, ⇔∆' > 0 ⇔− 2mm + 10 > 0 ⇔ < 5 Trang 3/7
4. +xx12 =2( m − 12) ( ) Theo hệ thức Vi-ét  2 xx12= m − 93( ) 0,25 Theo đề bài ta có: xx12−=2 m − 10, kết hợp với (2) ta được xmx12=−=2 6; 4 22 Thay xmx12=−=2 6; 4 vào (3) ta được: (2m−= 6) 4 m−⇔ 9 mm − 8 + 15 = 0 . 0,25 Giải được m = 3 (thoả mãn), m = 5 (loại) = Vậy với m 3 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa mãn 0,25 xx12−=2 m − 10. 2. (1,0 điểm) Gọi chiều dài của vườn ban đầu là xm( ), chiều rộng của vườn ban đầu là ym( ) (ĐK: 0<<<yx 50 ) 0,25 Vì chu vi của vườn ban đầu là 100m nên ta có phương trình: 2( xy+) = 100 ⇔+= xy 50 (1) Chiều dài của vườn sau khi mở rộng là: ( xm+ 5) ( ) Chiều rộng của vườn sau khi mở rộng là: ( ym+ 4) ( ) 0,25 Khi đó diện tích vườn trường đã tăng thêm 240m2 nên ta có phương trình: ( x+5)( y +− 4) xy = 240( 2) xy+=50 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  ( x+5)( y +− 4) xy = 240 0,25 Giải hệ phương trình. Giải hệ phương trình ta được: xy=30; = 20 (thoả mãn điều kiện). 0,25 Vậy chiều dài của vườn ban đầu là 30m, chiều rộng của vườn ban đầu là 20m. (0,75 điểm) Độ dài bán kính đáy của phần hình trụ là: 37,68 R ≈≈6(cm ) 0,25 2.3,14 Thể tích của phần có dạng hình trụ là: 4 V = π RR2.2≈ 3,14.623 .( 2.6) ≈ 1356,48(cm ) (0,75đ) 1 Thể tích của phần có dạng hình nón là: 0,25 11 V = π RR2.≈ .3,14 .623 .6≈ 226,08(cm ) 2 3 3 Thể tích của chi tiết máy đó là: 3 0,25 VV=+≈1 V2 1582, 5 6(cm ) Vẽ hình đúng cho câu a) 0,25 Trang 4/7
5. J B G I D E K A H O F C a. (1,0 điểm) Xét ()O có: + DE là dây không đi qua tâm O và I là trung điểm của DE 0,25 ⇒ OI⊥ DE tại I (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) ⇒ AIO = 900 + AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn ()O ⇒⊥AB OB, AC ⊥ OC (tính chất tiếp tuyến). 0,25 0 ⇒==ABO ACO 90 . 0 ⇒===ABO ACO AIO 90 0,25 Hay năm điểm ABIOC, ,, , cùng thuộc một đường tròn đường kính AO 0,25 ( quỹ tích cung chứa góc). b. (1,0 điểm) Xét (;)OR có AB= AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) = = ⇒ Mà OB OC R OA là đường trung trực của BC 0,25 0 5 ⇒⊥OA BC tại H ⇒ AHK = 90 (3,0đ) Xét ∆AHK và ∆AIO có: AHK= AIO = 900 (cmt) HAK chung 0,25 ⇒∆AHK# ∆ AIO(.) g g AH AK ⇒=⇒AK. AI = AH AO AI AO Ta có: BD // AC( gt) ⇒= BDE FAE (so le trong) 0,25 Mà BDE = FBA (cùng chắn EB của (;)OR) ⇒=FAE FBA . Xét ∆AFE và ∆BFA có: AFE chung 0,25 FAE = FBA (cmt) ⇒∆AFE# ∆ BFA(.) g g c. (0,75 điểm) Trang 5/7
6. Ta có: ∆∆AFE# BFA (cmt) FE FA ⇒=⇒FA2 = FB FE FA FB Xét ∆FEC và ∆FCB có: EFC chung FCE = FBC (cùng chắn EC của (;)OR) 0,25 ⇒∆FEC# ∆ FCB(.) g g FE FC ⇒=⇒FC2 = FB FE FC FB Mà FA2 = FB. FE (cmt) nên FA22= FC ⇒= FA FC ⇒ F là trung điểm của đoạn thẳng AC . Gọi G là giao điểm của FK và BD BG KG Ta có: BG // FC( gt) ⇒= (hệ quả định lí Ta-lét) FC KF GD KG DG // AF( gt) ⇒= (hệ quả định lí Ta-lét) 0,25 FA KF BG GD Suy ra = mà AF= CF nên BG= DG FC FA ⇒ G là trung điểm của đoạn thẳng BD. Kéo dài AB cắt DC tại J. Gọi G ' là giao điểm của JF và BD . BG'' JG Xét ∆JAF có: BG ' // AF( gt) ⇒=( hệ quả định lí Ta-lét) AF JF DG'' JG Xét ∆JFC có: DG '//CF( gt) ⇒=( hệ quả định lí Ta-lét) CF JF 0,25 BG'' DG Suy ra = mà AF= CF nên BG''= DG AF CF hay G ' là trung điểm BD ⇒≡G' G ⇒ F,K,J thẳng hàng Suy ra: ba đường thẳng AB,, CD FK đồng quy tại J. (0,75 điểm) 33 Ta có: (ab+) =21( −− a22 b) ⇔+( ab) +2( a22 + b) = 2 2 Vì ab>>0, 0 ta có 2(a22+ b) ≥+( ab) (theo AM – GM) 32 ⇒+(ab) ++( ab) ≤2 0,25 ⇔ +32 + + −≤ ⇔ +− +2 + + + ≤ (ab) ( ab) 20 (ab1) ( ab) 2( ab) 20 2 ⇔ab + −≤10( vì (ab+) +2( ab +) +> 20 với ab>>0, 0 ) ⇔+≤ab1. 6 11 4 (0,75đ) Chứng minh bất đẳng thức phụ sau: +≥( xy >0, > 0) (∗) x y xy+ 11 4 22 Ta có: +≥ ⇔+( x y) ≥40 xy ⇔−( x y) ≥ (luôn đúng) x y xy+ Áp dụng bất đẳng thức (∗) , ta được: 0,25 11 4 11 4 +≤ +≥22 22 ⇔+≥≥22 24 (vì ab1) 2ab a+ b a ++ b22 ab ab a+ b (ab+ ) 1 Với ab>>0, 0 ta có 1≥a +≥ b 2 ab ⇒≥ 14 ab ⇒ ≥ 2 0,25 2ab Trang 6/7
7. 11 1 1 1 ⇒MM = + = + + ≥+⇔42 ≥ 6 ab a22++ b22 ab a22 b ab 1 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi ab= = 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 6 khi ab= = . 2 * Chú ý: - Trên đây chỉ trình bày một cách giải, nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó. - Trong một câu: + Có nhiều ý mà các ý phụ thuộc nhau, học sinh làm phần trên sai phần dưới đúng thì không cho điểm. + Có nhiều ý mà các ý không phụ thuộc nhau, học sinh làm đúng ý nào thì cho điểm ý đó. - Bài hình học, học sinh vẽ hình sai phần nào thì trừ 0,25 điểm phần đó. Riêng điều kiện OA> 2 R , nếu học sinh vẽ không đúng tỉ lệ và không ảnh hưởng đến kết quả thì vẫn cho đủ điểm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi số 1: Cán bộ coi thi số 2: Trang 7/7