Tuyển tập đề ôn tập tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán

Nội dung text: Tuyển tập đề ôn tập tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán

1. ĐỀ SỐ 951 Bài 1. (2 điểm) a 1 1 2 Cho biểu thức K : a 1 a a a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức K. b) Tính giá trị của K khi a 3 2 2 . c) Tìm giá trị của a sao cho K 9 ta có m x 3 P x 1 . Bài 2. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch là bao nhiêu? Bài 3. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho 2 AI AO . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho 3 C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn.
2. b) Chứng minh AME  ACM và AM2 = AE.AC. c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2. d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài 4. (2 điểm) Một hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 cm 2, chu vi là 6 cm và AB > AD. Cho hình chữ nhật này quay quanh cạnh AB một vòng ta được một hình gì? Hãy tính thể tích và diện tích xung quanh của hình được tạo thành. ĐỀ SỐ 953 Bài 1. (1,5 điểm) a) Cho biết A 9 3 7 và B 9 3 7 . Hãy so sánh A + B và A.B. 1 1 5 5 b) Tính giá trị của biểu thức: M : 3 5 3 5 5 1 Bài 2. (2 điểm) a) Giải phương trình: x4 + 24x2 -25 = 0. 2x y 2 b) Giải hệ phương trình: 9x 8y 34 Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình: x2 - 2mx + (m - 1)3 = 0 với x là ẩn số, m là tham số. a) Giải phương trình (1) khi m = -1. b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại. Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, góc A bằng 45 0. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh: HD = DC. DE c) Tính tỉ số: . BC d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE. Bài 5. (2 điểm) Một hình trụ bằng thạch cao có thể tích là 12 cm 3 ngừi ta gọt đi để được một hình nón có đáy là một đáy của hình trụ và chiều cao đúng bằng một nửa chiều cao hình trụ. Hãy tình thể tích hình nón.
3. ĐỀ SỐ 954 Bài 1. ( điểm) Cho hàm số y = f(x) = 2 x x 2 . a) Tìm tập xác định của hàm số. b) Chứng minh f(a) = f(- a) với - 2 a 2. c) Chứng minh y2 4. Bài 2. ( điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: 2 Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cacnhj đáy tăng 5 thêm 3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. Bài 3. ( điểm) Cho hình bình hành ABCD có đinh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh: a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn. b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì BMD + BCD không đổi. c) DB.DC = DN.AC. Bài 4. ( điểm) Cho hình thoi ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d. Nối SA, SB, SC, SD. a) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (SBD). b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SBD). c) Tính SO, biết AB = 8 cm; ABD = 300, ASC = 600. Bài 5. ( điểm) 1 1 4 Chứng minh rằng: Nếu x, y là các số dương thì . x y x y Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi nào? ĐỀ SỐ 955 1 1 Bài 1. ( điểm) Cho A . 2(1 x 2) 2(1 x 2) a) Tìm x để A có nghĩa. b) Rút gọn A. Bài 2. ( điểm) 3x 2y 5 a) Giải hệ phương trình 15 x y 2 b) Giải phương trình 2x2 5 2x 4 2 0 Bài 3. ( điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. a) Chứng minh BC// DE. b) Chứng minh từ giác CODE; APQC nội tiếp được. c) Tứ giác BCQP là hình gì? Bài 4. ( điểm) Cho hình chóp tứ giác đều SABC có cạnh bên bằng 24 cm và đường cao bằng 20 cm. a) Tính thể tích của hình chóp.
4. 2003 27 17 Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị của A khi x và y . 7 7 Bài 2. (2,5 điểm) 2 1) Chứng tỏ rằng phương trình x - 4x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x2. Lập phương trình 2 2 bậc hai có nghiệm x1 và x2 . 2) Tìm m để phương trình x 2 - 2mx + 2m - 3 = 0 có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm có cùng dầu âm hay cùng dấu dương? Bài 3. (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đường tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) tại điểm M; đường tiép tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') tại N. Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài tại P. 1) Chứng minh rằng tứ giác OAO'I là hình bình hành. 2) Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đường tròn. 3) Chứng minh rằng BP = BA. Bài 4. (2 điểm) 1) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a b b c c a 6 . 2) Cho tam giác đều ABC. Điểm M trên cạnh BC (M B, M C); vẽ MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC (D AB; E AC). Xác định vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MDE lớn nhất. ĐỀ SỐ 986 Bài 1. (2,5 điểm) Giải các phương trình sau: 1 3 1) 2 x 2 6 x 2) 2x 5 2x 1. 2 Bài 2. (2,5 điểm) Cho phương trình x - 5mx - 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. 2 1) Chứng minh rằng: x1 + 5mx2 - 4m > 0. 2) Xác định giá trị của m để biểu thức: 2 2 m x 2 5mx1 12 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. x1 5mx 2 12m m Bài 3. (2,0 điểm) Tìm giá trị của m để phương trình: x2 + x + m - 2 = 0 và x2 + (m - 2)x + 8 = 0 có nghiệm chung. Bài 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn, từ M kẻ MH vuông góc với AB (H AB), Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt dây AB tại D. 1) Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn. MA 2 AH AD 2) Chứng minh . . MB2 BD BH ĐỀ SỐ 987 Bài 1. (2 điểm)
5. x 2 x x 2 x a) Cho M x 1. Rút gọn M với 0 x 1. x x 1 x x 1 b) Giải phương trình: 3 x 1 3 x 1 3 5x Bài 2. (2,5 điểm) x 3 2y 2 4y 3 0 a) Cho x, y thảo mãn: 2 2 2 x x y 2y 0. Tính Q = x2 + y2. b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 A u v với u + v = 1 và u > 0; v > 0. u v Bài 3. (2,5 điểm) Cho tam giác có số đo các đường cao là các số nguyên, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc B bằng 200, vẽ phân giác trong BI, vẽ góc ACH bằng 300 về phía trong tam giác. Tính góc CHI. Bài 5. (1 điểm) Có hay không 2003 điểm trên mặt phẳng mà bất kỳ ba điểm nào trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù? ĐỀ SỐ 988 Bài 1. (1 điểm) Chứng minh rằng có giá trị không phụ thuộc vào x: 3 2 3.6 7 4 3 x A x . 4 9 4 5. 2 5 x Bài 2. (2 điểm) Với mỗi số nguyên dương n, đặt P n = 1.2.3 n (tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n). Chứng minh rằng: 1) 1 + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 + + n.Pn = Pn + 1. 1 2 3 n 1 2) 1. P2 P3 P4 Pn Bài 3. (2 điểm) Tìm các số nguyên dương n sao cho: x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số chính phương. Bài 4. (3 điểm) Xét phương trình ẩn x: (2x2 - 4x + a + 5)(x2 - 2x + a)( x - 1 - a - 1) = 0. 1) Giải phương trình ứng với a = - 1. 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt. Bài 5. (3 điểm) Qua một điểm M tuỳ ý đã cho trên đáy lớn AB của hình thang ABCD ta kẻ các đường thẳng song song với hai đường chéo AC và BD. Các đường thẳng song song này cắt hai cạnh BC và AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J tương ứng. 1) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của đoạn IJ thì H cũng là trung điểm của đoạn EF. 2) Trong trường hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của một điểm M trên AB sao cho EJ = JI = IF. ĐỀ SỐ 989 Bài 1. (2 điểm) Tính giá trị biểu thức:
6. 20032.2013 31.2004 1 2003.2008 4 P . 2004.2005.2006.2007.2008 Bài 2. (2 điểm) Cho ba số x1, x2, x3 khác 0, thoả mãn điều kiện: x 1 x 2 x 3 a x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 0 x 1 x 2 x 3 b. Xét dấu tích a.b. Bài 3. (2 điểm) Giải phương trình: ax 2 bx c cx 2 bx a 0 , trong đó a, b, c là những số nguyên đã cho 2 (a,c 0), biết rằng x 2 1 là một nghiệm của phương trình này. Bài 4. (2 điểm) Cho a, b, c là ba số dương khác nhau đôi một. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a x a y b x b y c x c y P a a b a c b b c b a c c a c b trong đó x, y là hai số dương thay đổi nhưng luôn có tổng bằng 1. Bài 5. (2 điểm) Cho A là một điểm cố định trên đường tròn (C) tâm O, bán kính 1. Giả sử m là đỉnh góc vuông của một tam giác vuông ABM với cạnh huyền AB là một dây cung của đường tròn (C). 1) Chứng minh rằng: OM 2 . 2) Hãy nói rõ cách dựng các đỉnh góc vuông của tam giác vuông ABM có cạnh huyền AB là một dây của đường tròn (C) và OM = 2 . ĐỀ SỐ 990 Bài 1. (2 điểm) 2 3 6 8 4 a) Thu gọn biểu thức sau: P . 2 3 4 b) Tính giá trị của biểu thức khi x2 - 2y2 = xy và y 0. Bài 2. (2 điểm) Giải các phương trình sau: 1 a) 23 x 2 53 x 3; b) x 3 x 2 x . 3 Bài 3. (2 điểm) a a) Tìm hai số tự nhiên a và b luôn thoả mãn: a b . b 1 1 b) Cho hai số dương a, b và a + b = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: P . a b x 3y 3 0 Bài 4. (1,5 điểm) Cho hệ phương trình: 2 2 x y 2x 2y 9 0. Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Hãy tính giá trị của biểu thức: M = 2 2 (x1 - x2) + (y1 - y2) . Bài 5. (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O và một dây AB của đường tròn đó. Các tiếp tuyến vẽ từ A và B của đường tròn cắt nhau tại C. D là một điểm trên đường tròn có đường kính OC (D khác A và B). CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C và D). Chứng minh: a) BED = DAE. b) DE2 = DA. DB.
7. ĐỀ SỐ 991 x 2 x 2x x 2 x 1 Bài 1. (3 điểm) Cho biểu thức: P . x x 1 x x 1 1) Rút gọn P. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2 x 3) Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị là số nguyên. P Bài 2. (2 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x 2 và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0; - 1) có hệ số góc k. 1) Viết phương trình đường thẳng (d). Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của k, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. 2) Gọi hoành độ của điểm A và B là x1 và x2, chứng minh x1 - x2 2. 3) Chứng minh OAB vuông. Bài 3. (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn (O) đường kính AB và nửa đường tròn (O') đường kính AO. Trên (O') lấy một điểm M (khác A và O), tia OM cắt (O) tại C, gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O'). 1) Chứng minh ADM cân. 2) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại E, xác định vị trí tương đối của đường thẳng EA đối với (O) và (O'). 3) Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng. 4) Tại vị trí của M sao cho ME//AB, hãy tính độ dài đoạn thẳng OM theo a. ĐỀ SỐ 992 Bài 1. (1,5 điểm) Cho hai số tự nhiên a và b, chứng minh rằng nếu a 2 + b2 chia hết cho 3 thì a và b cùng chia hết cho 3. 2 2 1 1 Bài 2. (2 điểm) Cho phương trình: m x x 1 1) Giải phương trình với m = 15. 2) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Bài 3. (2 điểm) Cho x, y là các số nguyên dương thoả mãn: x + y = 2003. Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x(x2 + y) + y(y2 + x). Bài 4. (3 điểm) Cho đường tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R) và điểm A trên cung lớn BC (A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường kính.AA'. 1) Chứng minh rằng HE vuông góc với AC. 2) Chứng minh HEF đồng dạng với ABC. 3) Khi A di chuyển, chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF cố định.
8. Bài 5. (1,5 điểm) Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với bốn đỉnh ta được 8 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của tứ giác là 1, chứng minh rằng tồn tại một tam giác 1 có ba đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá . Tổng quát hoá bài toán cho n - 10 giác lồi với n điểm nằm ở miền trong của đa giác đó. ĐỀ SỐ 993 Bài 1. (2 điểm) Giải phương trình: x 5 x 2 1 x 2 7x 10 3. Bài 2. (2 điểm) 2x 3 3x 2 y 5 Giải hệ phương trình: 3 2 y 6xy 7. Bài 3. (2 điểm) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: 2y2x + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy. Bài 4. (2 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (R là một độ dài cho trước). M, N là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng R3 . 1) Tính độ dài đoạn MN theo R. 2) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đường thẳng AM và BN là K. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R. 3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi nhưng vẫn thoả mãn giả thiết của bài toán. Bài 5. (2 điểm) Biết rằng x, y,z là các số thực thoả mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 3. ĐỀ SỐ 994 Bài 1. (2 điểm) Cho phương trình: x4 + 2mx2 + 4 = 0 2 4 Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x 1, x2, x3, x4 thoả mãn x1 + x2 4 4 + x3 + x4 = 32. Bài 2. (2 điểm) 2x 2 xy y 2 5x y 2 0 Giải hệ phương trình: 2 2 x y x y 4 0. Bài 3. (2 điểm) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: x2 + xy + y2 = x2y2. Bài 4. (2 điểm) Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Đường tròn tâm O' bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC và phần kéo dài của các cạnh AB, AC tương ứng tại các điểm P, M, N. 1) Chứng minh rằng: BP = CD.
9. 2) Trên đường thẳng MN ta lấy các điểm I và K sao cho CK//AB, BI//AC. Chứng minh rằng các tứ giác BICE và BKCF là các hình bình hành. 3) Gọi (S) là đường tròn đi qua 3 điểm I, K, P. Chứng minh rằng (S) tiếp xúc với các đường thẳng BC, BI, CK. Bài 5. (2 điểm) Số thực x thay đổi và thoả mãn điều kiện x2 + (3 - x)2 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: P = x4 + (3 - x)4 + 6x2(3 - x)2.
10. ĐỀ SỐ 995 2x x 2 1 Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức P(x) . 3x 2 4x 1 1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x); 2) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0. Bài 2. (2 điểm) x 2 2 2m 1 x 3m 2 6m 1) Cho phương trình: 0. (1) x 2 2 a) Giải phương trình trên khi m ; 3 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 16. 2x 1 1 2) Giải phương trình: 2. 1 x 2 2x Bài 3. (2 điểm) 5 1) Cho x, y là hai số thực thoả mãn x2 + 4y2 = 1. Chứng minh rằng: x y ; 2 n 2 4 2) Cho phân số A . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 n 2004 sao cho A là n 5 phân số chưa tối giản. Bài 4. (3 điểm) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A, tiếp xúc với (O 2) tại B. Tiếp tuyến của đường tròn (O 1) tại P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Hãy Chứng minh rằng: 1) Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn; 2) Tam giác BPR cân; 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB. Bài 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC có BC < CA < AB. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiệp tam giác ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
11. ĐỀ SỐ 996 Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức: 2x x x x x x x 1 x M . . x x 1 x 1 2x x 1 2 x 1 a) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M. b) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M? Bài 2. (2 điểm) a) Giải phương trình: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 24. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x. Bài 3. (2 điểm) 6x 2 3xy x 1 y Giải hệ phương trình: 2 2 x y 1. Bài 4. (2 điểm) Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường tròn (O), (A khác B, C). Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn (O) tại điểm D khác điểm C, lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm K khác điểm B. a) Chứng minh tam giác KAC cân. b) Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định, từ đó hãy xác định vị trí của A để độ dài đoạn AI là lớn nhất. c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC. Tìm tập hợp các điểm M khi A di động trên cung lớn AB của đường tròn (O). Bài 5. (1 điểm) Hãy tìm cặp số (x; y) sao cho y nhỏ nhất thoả mãn: x2 + 5y2 + 2y - 3xy - 3 = 0. ĐỀ SỐ 997 Bài 1. ( điểm) 1) Tính giá trị của biểu thức: P = x3 + y3 -3(x + y) + 2004. Biết rằng: x 3 3 2 2 3 3 2 2 ; y 3 17 12 2 3 17 12 2 . 2) Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 P . 1 5 5 9 9 13 2001 2005 Bài 2. ( điểm) Giải các phương trình sau: 1) x 2 x 2004 2004. 2) x 3 3 2x 2 3x 2 0 . Bài 3. ( điểm) Giả sử tam giác ABC có diện tích bằng 1, gọi a, b, c và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các cạnh và các đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 (a + b + c )(ha + hb + hc ) 36. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?. Bài 4. ( điểm) Cho tam giác ABC có góc A bằng 360, AC = b, AB = c (với b > c). Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M. Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC. Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC.
12. 1) Chứng minh các tứ giác AIEJ và CMJE nội tiếp. 2) Chứng minh I, J, M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK. 3) Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c. 4) Tính IH + JK theo b, c. ĐỀ SỐ 998 Bài 1. ( điểm) a) Tìm các giá trị của tham số m để tập nghiệm của phương trình sau có đúng một phần tử: x 2 2m 2 x 2m 4 7m 2 6 0. x 2 7x 12 b) Giải hệ phương trình: 1 1 1 51 x y z x y z 4 1 1 1 771 x 2 y 2 z 2 . 2 2 2 x y z 16 Bài 2. ( điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = x - y + 2004, trong đó các số thức x và y thoả x 2 y 2 mãn hệ thức: 36. 9 16 Bài 3. ( điểm) Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a, b, c nghiệm đúng phương trình x2 + y2 + z2 = 3xyz và thoả mãn điều kiện: min{a; b; c} > 24. Bài 4. ( điểm) Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q là các trung điểm của AB, BC, DE, EA. Chứng minh rằng: MN đi qua trung điểm của PQ khi và chỉ khi MN//CD. Bài 5. ( điểm) Cho đường thẳng xy và một điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng ấy. Điểm M chuyển động trên xy. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm I sao cho AI.AM = k 2, trong đó k là số dương cho trước và k nhỏ hơn khoảng cách từ A đến đường thẳng xy. Dựng hình vuông AIJK. Tìm tập hợp điểm I và tập hợp điểm K. ĐỀ SỐ 999 Bài 1. ( điểm) 1) Giải phương trình: x 1 x 1 1 x 2 1. 2) Tìm nghiệm nguyên của hệ: 2y 2 x 2 xy 2y 2x 7 3 3 x y x y 8. Bài 2. ( điểm) Cho các số thức dương a và b thoả mãn: a 100 b100 a 101 b101 a 102 b102 . Hãy tìm giá trị của biểu thức: P = a2004 + b2004. Bài 3. ( điểm)
13. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm. Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành bốn phần. Hãy tính diện tích mỗi phần. Bài 4. ( điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại H (H không trùng với tâm đường tròn). Gọi M và N lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB và BC; P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH và NH với các đường thẳng CD và DA. Chứng minh rằng đường thẳng PQ song song với đường thẳng AC và bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một đường tròn. Bài 5. ( điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 10 10 1 x y 1 2 Q x 16 y16 1 x 2 y 2 . 2 2 2 y x 4
14. ĐỀ SỐ 1000 Bài 1. ( điểm) Giải phương trình: x 3 x 1 2. Bài 2. ( điểm) x y x 2 y 2 5 Giải hệ phương trình: 2 2 x y x y 3. Bài 3. ( điểm) x 3 y 3 x 2 y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P trong đó x, y là những số thức lớn x 1 y 1 hơn 1. Bài 4. ( điểm) Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông. 1) Tìm tất cả các vị trí điểm M sao cho MAB = MBC = MCD = MDA. 2) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ điểm M xuống OB cạnh AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số có giá trị không đổi khi CN M di chuyển trên đường chéo AC. 3) Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC, xét các đường tròn (S1) và (S2) có đường kính tương ứng là AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của (S1) và (S2) tiếp xúc với (S2) tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ tiếp xúc với (S1). Bài 5. ( điểm) Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí n 1 n hiệu là [a]. Dãy các số x0, x1, x2, , xn, được xác định bởi công thức x n . Hỏi 2 2 trong 200 số {x0, x1, x2, , x199} có bao nhiêu số khác 0? (Cho biết 1,41 < 2 < 1,42).