Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Mỹ Đình 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Mỹ Đình 2 (Có đáp án)

1. UBND QUẬN NAM TỪ LIÊM ĐỀ THI THỬ VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 TRƯỜNG THCS MỸ ĐÌNH 2 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 30 tháng 5 năm 2021 Thời gian làm bài: 90 phút 4 x − 43 Bài 1 (2,0 điểm:) Cho biểu thức A = và B = + với xx>≠0, 4 . 2 xx− x−−22 xx 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 2 . 2) Rút gọn P= BA: . 1− x 3) Tìm x để M ≥ 0 với MP= . . x − 3 Bài 2 (2,5 điểm): 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai địa điểm A và B cách nhau 30km . Cùng lúc, một người đi xe máy khởi hành từ A , một người đi xe đạp khởi hành từ B . Nếu đi ngược chiều thì sau 40 phút họ gặp nhau. nếu đi cùng chiều theo hướng từ A đến B thì sau 2 giờ họ gặp nhau tại địa điểm C ( B ở giữa A và C ). Tính vận tốc mỗi xe. 2) Một hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy, diện tích toàn phần của hình trụ là 48π (cm2 ) . Tính thể tích hình trụ đó. Bài 3 (2,0 điểm):  2  +y −=13  xy− 2 1) Giải hệ phương trình :  . 3  −2y −= 11  xy− 2 1 2) Cho parabol (P) : yx= 2 và đường thẳng (d ) : y=+−( m1) xm ( m là tham số, x là ẩn số). 2 a) Chứng minh (d ) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m . b) Gọi x1 ; x2 là hoành độ giao điểm của (d ) và (P) . Tìm m để xx12+=2 . Bài 4(3,0 điểm): Cho nửa đường tròn (OR; ) đường kính BC . Lấy điểm D và E di động trên nửa đường tròn sao cho EOD =90 ° ( D thuộc CE , E thuộc BD ); BD cắt CE tại H , các tia BE và CD cắt nhau tại A . a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE . c) Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C . Gọi K là giao điểm hai đường thẳng này và I là trung điểm AK . Tính số đo góc BIC . d) Tìm vị trí điểm D và E trên nửa đường tròn (OR; ) để AB+ AC lớn nhất. Bài 5 (0,5 điểm): Cho các số xy; thỏa mãn x22++=236 xy y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Mx= + 2 y. HẾT
2. HƯỚNG DẪN 4 x − 43 Bài 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức A = và B = + với xx>≠0, 4 2 xx− x−−22 xx 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 2 2) Rút gọn P= BA: 1− x 3) Tìm x để M ≥ 0 với MP= . x − 3 Lời giải 1) Khi x= 2( tm) thay vào A ta có : 4 4 2 2.( 2+ 1) A = = = = = 22+ 2 22− 2 2( 21− ) 21− ( 2−+ 1.) ( 2 1) Vậy khi x = 2 thì A = 22+ 2 x − 43 2) B = + x−−22 xx xx−+43 B = xx.2( − ) 44x − B = xx.2( − ) 41( x − ) B = xx.2( − ) P= BA: 41( x − ) 4 P = : xx.2( −−) x( 2 x) 41( x−−) xx .2( −) P = . xx.2( − ) 4 Px=1 − 2 1− x (11−−xx) ( ) 3) MP= . =−=(1.x ) x − 3 xx−−33 2 (1− x ) M ≥ 0 ⇔ ≥ 0 (điều kiện x ≠ 9 ) x − 3 2 ⇔ x −>30 (Vì (10−≥x ) với xxx>≠≠0, 4, 9 ) ⇔ x > 3
3. ⇔ x > 9 (TMĐK) Vậy với x > 9 thì M ≥ 0 . Bài 2. (2,5 điểm) 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai địa điểm A và B cách nhau 30km . Cùng lúc một người đi xe máy khởi hành từ A , một người đi xe đạp khởi hành từ B . Nếu đi ngược chiều thì sau 40 phút họ gặp nhau. nếu đi cùng chiều theo hướng từ A đến B thì sau 2 giờ họ gặp nhau tại C ( B ở giữa A và C ). Tính vận tốc mỗi xe. Lời giải Gọi vận tốc người đi xe máy khởi hành từ A , vận tốc người đi xe đạp khởi hành từ B lần lượt là x;( y km /) h xy>>0; 0. Khi 2 người đi ngược chiều gặp nhau: 2 2 Quãng đường người đi từ A sau 40 phút = giờ gặp nhau là: x (km). 3 3 2 2 Quãng đường người đi từ B sau 40 phút = giờ gặp nhau là: y (km). 3 3 22 Ta có phương trình: xy+=30 (1) 33 Khi 2 người đi cùng chiều gặp nhau: Quãng đường người đi từ A đến C sau 2 giờ là 2(x km ), Quãng đường người đi từ B đến C sau 2 giờ là 2(y km ). Vì hai địa điểm A và B cách nhau 30 km, nên ta có phương trình: 2xy−= 30 2 (2) . 22  xy+=30 (1) x= 30 ( tm ) Giải hệ phương trình 33 . Ta được  . y=15 ( tm ) 2xy−= 30 2 (2) Vậy vân tốc một người đi xe máy khởi hành từ A là 30km / h , vân tốc một người đi xe đạp khởi hành từ B là 15km / h . 2) Một hình trụ có chiều cao bằng đường kính dây, diện tích toàn phần của hình trụ là 48π (cm2 ) . Tính thể tích hình trụ đó. Lời giải Ta có hr= 2 . Diện tích toàn phần hình trụ 2πr ( h+= r ) 6 ππ r22 = 48 ( cm ) ⇒r2 =⇒=8 r 2 2( cm ). Thể tích hình trụ là: ππr23 h =.8.2.2 2 = 32 2(cm ) . Bài 3. (2,0 điểm)  2  +y −=13  xy− 2 1) Giải hệ phương trình :  3  −2y −= 11  xy− 2
4. 1 2) Cho parabol (P) : yx= 2 và đường thẳng (d ) : y=+−( m1) xm ( m là tham số, x là ẩn 2 số) a) Chứng minh (d ) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m . b) Gọi x1 ; x2 là hoành độ giao điểm của (d ) và (P) . Tìm m để xx12+=2 Lời giải xy≠ 2 1) Điều kiện xác định:  y ≥1 Với điều kiện, hệ phương trình đã cho tương đương: 47 +2y −= 16 = 7 xy−=21 xy−−22 xy ⇔⇔ 3 33 −2y −= 11 −2yy −= 11 − 2 −= 11  xy− 2 xy−−22xy xy=+=+21 xy 21xy=+=21 x 5 ⇔ ⇔⇔⇔  (thỏa mãn điều kiện) 32−yy −= 11 −= 11 yy−=11 = 2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( xy;) = ( 5; 2) . 2) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d ) và parabol (P) : 1 xmxmx22=+−⇔−++=( 1) 2( mxm 120) (1) 2 2 2 Ta có ∆=' −(m + 12) − mm = + 1> 0 ∀m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó (d ) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m . b) Theo kết quả câu a) ta có (d ) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm là x1 ; x2 với mọi m +xx12 =21( m +) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có :  xx12.2= m x1 ≥ 0 Điều kiện để x1 ; x2 có nghĩa là  . x2 ≥ 0 Vì xx12+=2 nên x1 ; x2 không đồng thời bằng 0 xx12+>0 2(m +> 10) m >−1 Suy ra ⇔ ⇔  ⇔≥m 0 xx12.0≥≥20m ≥ m 0 Theo đề bài ta có : xx12+=2 ⇔++x1 x 222 xx 12 = ⇔2(mm ++ 1) 22 = 2
5. ⇔+mm2. = 0 ⇔mm( +=20) ⇔=m 0 (Vì m ≥ 0 nên m +>20) ⇔=m 0 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. Bài 4. (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn (OR; ) đường kính BC . Lấy điểm D và E di động trên nửa đường tròn sao cho EOD =90 ° ( D thuộc CE , E thuộc BD ); BD cắt CE tại H , các tia BE và CD cắt nhau tại A . a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE . c) Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C . Gọi K là giao điểm hai đường thẳng này và I là trung điểm AK . Tính số đo góc BIC . d) Tìm vị trí điểm D và E trên nửa đường tròn (OR; ) để AB+ AC lớn nhất. Lời giải A D E H B O C a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn. Ta có BEC = BDC =90 ° (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒==° AEH ADH 90 (kề bù với các góc vuông); Tứ giác ADHE có AEH= ADH =90 ° nên nội tiếp đường tròn đường kính AH . b) Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE . A M D E H B O C
6. Gọi M là trung điểm AH⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE ⇒=MD MA ⇒∆MDA cân tại M⇒= MDA MAD ; ∆ODC cân tại O⇒= ODC OCD ; Vì BEC = BDC =90 ° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒CE ⊥ AB; BD ⊥ AC ⇒∆ ABC có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại HH⇒ là trực tâm của ∆⇒ABC AH cũng là đường cao của ∆ABC ⇒ AH ⊥⇒ BC ODC + MDA =°90 ⇒+=°ODC MDA 90 ⇒ODM =180 °−( ODC + MDA ) =180 °− 90 °= 90 ° ⇒⊥OD MD tại D⇒ OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE . c) Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C . Gọi K là giao điểm hai đường thẳng này và I là trung điểm AK . Tính số đo góc BIC . A M I D E H B O C K Ta có ABK= ACK =°⇒90 ( GT ) tứ giác ABKC nội tiếp đường tròn đường kính AK có tâm I là trung điểm của AK ⇒=BIC 2. BAC ; DOE =°⇒=°90 ( GT) sd DE 90 ; 11 BAC là góc có đỉnh ngoài đường tròn ⇒BAC = sd BC − sd DE =(180 °− 90 °) = 45 °; 22( ) ⇒BIC =2. BAC = 2.45 °= 90 °; Vậy BIC =90 °. d) Tìm vị trí điểm D và E trên nửa đường tròn (OR; ) để AB+ AC lớn nhất.
7. F A M I E D H B O C K Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF= AC ⇒∆AFC cân tại A⇒= AFC ACF BAC 45° có BAC =45 ° là góc ngoài của ∆⇒AFC BAC =2. AFC ⇒ AFC = ==°22,5 ; 22 Điểm F nhìn đoạn BC cố định dưới góc 22,5° không đổi nên điểm F thuộc cung chứa góc 22,5° dựng trên đoạn BC cố định, từ đó AB+=+= AC AB AF BF lớn nhất khi BF là đường kính của cung tròn này ⇒BCF =90 °⇒∆ FBC vuông tại C mà AF= AC ⇒ AF = AC = AB ⇒∆ ABC cân tại A ⇒ AH, ,, IO thẳng hàng ⇒ DE, lần lượt là điểm chính giữa các cung: IC, IB . Với I là điểm chính giữa BC , AB+ AC lớn nhất khi DE, lần lượt là điểm chính giữa các cung: IC, IB . Bài 5. (0,5 điểm) Cho các số xy; thỏa mãn x22++=236 xy y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Mx= + 2 y. Lời giải Mx= + 2 y⇒=xM −2 y. 22 x++=2 xy 3 y 6 (1) ⇔−2 + − +=2 (My2) 2( Myyy 2) 36 2222 ⇔−M4 My ++ 42 y My −+= 436 y y 22 ⇔3y − 2 My + M −= 6 0 (*) Để (1) thỏa mãn thì (*) có nghiệm 22 ⇔MM −3( −≥ 60) ⇔−2 + ≥ 2M 18 0 ⇔−33 ≤M ≤ . GTNN Min M = −3 khi xy=−=−1; 1 GTLN Max M = 3 khi xy=1; = 1