Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Nam Định (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Nam Định (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NAM ĐỊNH THPT KHÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2023 – 2024 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC. (Thời gian làm bài: 120 phút) Đề thi gồm 02 trang. Phần I: Trắc nghiệm (2,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm. 5 Câu 1: Điều kiện xác định của biểu thức là x −+2023 1 A. x ≥ 2023. B. x > 2023. C. x < 2023. D. x ≤ 2023. Câu 2: Hàm số nào sau đây đồng biến với mọi x ∈ ? A. yx=(15. − ) 2 B. yx= + 3. C. yx=−+(2 7) 2. D. yx= 2. 2 Câu 3: Phương trình 2xx− −= 10 có hai nghiệm xx12, trong đó xx12< . Giá trị 2xx12+ bằng A. 0. B. −1, 5. C. −2. D. 2. Câu 4: Với giá trị nào của m thì đường thẳng ym=−+( 12) x đi qua điểm A(− 1;1) ? A. m = 0. B. m = −1. C. m = −2. D. m = 2. 25xy+= Câu 5: Số nghiệm của hệ phương trình  là xy−=32 A. 2 . B. 0. C. 1. D. vô số. Câu 6: Cho ∆ABC vuông tại A, biết AC=6, BC = 10. Khi đó tan B có giá trị bằng 3 3 4 5 A. . B. . C. . D. . 4 5 3 3 Câu 7: Một hình nón có bán kính đáy bằng 4,cm chiều cao bằng 6.cm Thể tích của hình nón đã cho là A. 96π cm3 . B. 32π cm3 . C. 30π cm3 . D. 36π cm3 . Câu 8: Cho ∆ABC có BAC = 45o , nội tiếp trong đường tròn A tâm O bán kính 2.cm Diện tích tam giác OBC bằng o 45 A. 1.cm2 B. 4.cm2 O C. 2.cm2 D. 22cm2 . B C Phần II: Tự luận (8,0 điểm) Câu 1 (1,5 điểm). a) Chứng minh đẳng thức 27− 2 12 +− 4 2 3 =− 1. 92−+xx 1 b) Rút gọn biểu thức A = + : với x ≥ 0 và x ≠ 9. x − 9 xx+−33 Câu 2 (1,5 điểm). a) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số yx= 2 và yx=−+2 3. b) Cho phương trình x2 −2( m + 1) xm + 6 −= 40 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m 22 để phương trình có hai nghiệm xx12, thoả mãn x1−= x 23. xx 12( x 2 − x 1) Trang 2.
2. xy+=3 4  Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  11  +=1.  xy− 4 Câu 4 (3,0 điểm). 1) Một mảnh vườn hình thang ABCD có BAD = ADC = 90o , AB=3, m AD = 5, m DC = 7. m Người ta trồng hoa trên phần đất là nửa hình tròn tâm O đường kính AD, phần còn lại của mảnh vườn để trồng cỏ (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính diện tích phần đất trồng cỏ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, lấy π ≈ 3,14 ). 2) Cho tam giác ABC nhọn ( AB< AC) nội tiếp (O ). Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của AH, đường thẳng đi qua M vuông góc với BM cắt AC tại N. Gọi K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn tâm O. a) Chứng minh bốn điểm BM, ,, EN cùng thuộc một đường tròn và MBN = KAC . b) Kéo dài KN cắt đường tròn (O) tại T. Chứng minh tam giác BHK cân và ba điểm BOT,, thẳng hàng. Câu 5. (1,0 điểm). a) Giải phương trình xx2 +=4 2 1 ++ 3 x 2 x − 1. b) Cho xy,, z là các số thực dương thỏa mãn xyz++=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x+ yz y ++ zx z xy P =++. yz+++ zx xy HẾT Họ và tên học sinh: . Họ tên, chữ ký của GT 1: . Số báo danh: . Họ tên, chữ ký của GT 2: . Trang 2.
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NAM ĐỊNH THPT KHÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2023-2024 Môn: Toán Phần I: Trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi đáp án đúng được 0,25 điểm. Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp án A B A D C A B C Phần II: Tự luận (8,0 điểm) Câu 1. (1,5 điểm) a) Chứng minh đẳng thức 27− 2 12 +− 4 2 3 =− 1. 92−+xx 1 b) Rút gọn biểu thức A = + : với x ≥ 0 và x ≠ 9. x − 9 xx+−33 Ý Nội dung Điểm a 2 0,25 27− 2 12 +− 4 2 3 = 3 3 − 4 3 + 3 − 1 (0,5 điểm) ( ) =−+−=−+−=−3 31 3 31 1. 0,25 Vậy 27− 2 12 +− 4 2 3 =− 1. b  9−+xx 21 (1,0 điểm) Với x ≥ 0 và x ≠ 9 ta có A = + : 0,25 −+xx+−33 ( xx33)( ) 9−+xx 23( −) x+1 xx ++ 31 = ::= 0,25 ( xx−+33)( ) xx−−33( xx −+ 33)( ) xx+−33 0,25 = . ( xx−+33)( ) x +1 1 1 0,25 = . Vậy A = với x ≥ 0 và x ≠ 9. x +1 x +1 Câu 2. (1,5 điểm) a) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số yx= 2 và yx=−+2 3. b) Cho phương trình x2 −2( m + 1) xm + 6 −= 4 0 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để 22 phương trình có hai nghiệm xx12, thoả mãn x1−=x 23. xx 12( x 2 − x 1) Ý Nội dung Điểm a Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số yx= 2 và yx=−+23 là nghiệm của (0,5 điểm) 0,25 2 x =1 phương trình xx+2 −=⇔ 30  x = −3 Vậy toạ độ các điểm cần tìm là (1;1) và (−3; 9) . 0,25 b 2 Ta có ∆=' (mm −2) + 10 > ∀ . (1,0 điểm) 0,25 Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt xx12, với ∀m. 1
4. xx12+=2( m + 1) Theo hệ thức Vi-et ta có  0,25 xx12=6 m − 4. Ta có x22−=x3 xx( x − x) ⇔( x − x)( x ++ x30 xx ) = 1 2 12 2 1 1 2 1 2 12 ⇔++x1 x 230 xx 12 = (do xx12, phân biệt) 0,25 1 1 ⇔2(mm ++ 1) 36( − 4) =⇔ 0 m = . Vậy m = . 0,25 2 2 xy+=3 4 ( 1)  Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  11  +=12( )  xy− 4 Nội dung Điểm ĐKXĐ: xy≠≠4; 0 0,25 PT(1) ⇔−=−xy 43 0,25 11 2 0,25 Thay xy−=−43 vào PT (2) ta có + =⇔=⇒=1 yx2. −33yy 2 0,25 Đối chiếu với ĐKXĐ ta có ( xy;) =  2; là nghiệm của hệ. 3 Câu 4. (3,0 điểm) 1) Một mảnh vườn hình thang ABCD có BAD = ADC = 90o , AB=3, m AD = 5, m DC = 7. m Người ta trồng hoa trên phần đất là nửa hình tròn tâm O đường kính AD, phần còn lại của mảnh vườn để trồng cỏ (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính diện tích phần đất trồng cỏ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, lấy π ≈ 3,14 ). 2) Cho tam giác ABC nhọn ( AB< AC) nội tiếp (O ). Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của AH, đường thẳng đi qua M vuông góc với BM cắt AC tại N. Gọi K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn tâm O. a) Chứng minh rằng bốn điểm BM, ,, EN cùng thuộc một đường tròn và MBN = KAC . b) Kéo dài KN cắt đường tròn (O) tại T. Chứng minh rằng tam giác BHK cân và ba điểm BOT,, thẳng hàng. Ý Nội dung Điểm 1 ( AB++ DC). AD ( 3 7) .5 Diện tích hình thang ABCD là = = 25m2 . (1,0 điểm) 22 0,25 2 π.( 2,5) 25π Diện tích nửa hình tròn đường kính AD là = m2. 28 0,25 25π Diện tích phần đất trồng cỏ là 25−≈ 15,19m2 . 8 0,5 Chú ý: Nếu học sinh không làm tròn thì trừ 0,25 điểm bước này. 2
5. 2a (1,0 điểm) A T M E O N H D B C K Ta có BMN =900 ⇒ M thuộc đường tròn đường kính BN. 0,25 Ta có BEN =900 ⇒ E thuộc đường tròn đường kính BN. Do đó bốn điểm BM, ,, EN cùng thuộc đường tròn đường kính BN. 0,25 Chứng minh được MBN = MEA . 0,25 Xét ∆AEH vuông tại E, có EM là đường trung tuyến ⇒EM = AM ⇒∆ AME cân tại M⇒=⇒ MEA MAE MBN = KAC . 0,25 2b Xét ()O có KBC = KAC mà KAC = EBC (cùng phụ với ACB ) ⇒=KBC EBC 0,25 (1,0 điểm) ⇒ BC là tia phân giác của góc KBH . Lại có BC⊥ HK ⇒∆ BHK cân tại B. 0,25 ⇒=BKH BHK . Ta có BHK ===⇒= MHE MEH MNB BKM BNM . Do đó tứ giác BMNK nội tiếp. 0,25 ⇒BMN +=⇒== BKN 18000 BKN BKT 90 ⇒ K thuộc đường tròn đường kính BT. Mà B,, K T∈⇒( O) BT là đường kính của ()O⇒ BOT ,, thẳng hàng. 0,25 Câu 5. (1,0 điểm) a) Giải phương trình xx2 +=4 2 1 ++ 3 x 2 x − 1. b) Cho xy,, z là các số thực dương thỏa mãn xyz++=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x+ yz y ++ zx z xy P =++. yz+++ zx xy Ý Nội dung Điểm a  1 x ≥− (0,5 điểm) 13+≥x 0  3 1 ĐKXĐ: ⇔ ⇔≥x . 2x −≥ 10 1 2  x ≥  2 2 2 0,25 Ta có: xx+=4 21 ++ 3 x 2 x − 1⇔xx +4 −= 5 2( 13 + x − 2) +( 2 x −− 11) 21( +− 3x 4) 2x −− 11 ⇔−( xx15)( +=) + 13+xx + 2 2 −+ 11 61( xx−−) 21( ) ⇔−( xx15)( +=) + 13+xx + 2 2 −+ 11 3
6. 62 ⇔( xx −15) +− − =0 13+xx + 2 2 −+ 11 x=1( tm )  ⇔ 62 x +=5 +  13+xx + 2 2 −+ 11 62 Xét phương trình x +=5* + ( ) 13+xx + 2 2 −+ 11 1 6 2 62 11 Do x ≥⇒ + 2 13+xx + 2 2 −+ 11 21 2 0,25 nên phương trình (*) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1. b Từ giả thiết xyz++=⇒+1 xyzxxyz =( ++ ) + yzxyxz = ( + )( + ). (0,5 điểm) Tương tự yzxyzyxzxyzxzy+=+( )( + ); +=+ ( )( + ). 0,25 (xyxz++ )( ) ( yzyx ++ )( ) ( zxzy ++ )( ) Do đó P =++. yz+++ zx xy Đặt xyayzbzxc+=,, += += ⇒>abc,, 0 và abc++=2. 1 ab ac  bc ba  ca cb  P = +++++    2 cb  ac  ba  1 ab ac bc ba ca cb 0,25 ≥2 . + 2 . + 2 . =++=abc 2. 2 cb ac ba 2 Dấu ""= xảy ra khi abc= = = . 3 1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 2 khi xyz= = = . 3 Chú ý: - Nếu thí sinh làm đúng mà cách giải khác với đáp án và phù hợp với kiến thức của chương trình THCS (theo giới hạn quy định của Sở GDĐT) thì tổ chấm thống nhất cho điểm thành phần đảm bảo tổng điểm như hướng dẫn quy định. - Tổng điểm toàn bài không làm tròn. HẾT 4