Đề tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH NINH BÌNH Năm học: 2021-2022 Bài thi môn: TOÁN - Ngày thi: 09/06/2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang Câu 1 (2,0 điểm). 1. Hàm số y 2x 3 là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên ¡ ? Vì sao? 2. Rút gọn biểu thức A 18 2 50 3 8 . x y 1 3. Giải hệ phương trình . 2x y 5 Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình x2 mx m 1 0 1 với m là tham số. a) Giải phương trình 1 với m 3 . b) Chứng minh rằng phương trình 1 luôn có nghiệm với mọi m. c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 1 . Tìm giá trị của m để biểu thức 2 2 P x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3 (1,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phuơng trình hoặc hệ phương trình. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km . Khi đi từ B trở về A , người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h , vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B . Câu 4 (3,5 điểm). 1. Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn ( B,C là các tiếp điểm). a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. b) Vẽ cát tuyến ADE không đi qua tâm O của đường tròn ( D nằm giữa A và E ). Gọi M là trung điểm của DE . Chứng minh MA là tia phân giác của góc BMC . 2. Một dụng cụ đựng chất lỏng có dạng hình trụ với chiều cao bằng 3dm và bán kính đáy bằng 2dm . Dụng cụ này đựng được bao nhiêu lít chất lỏng? (Bỏ qua độ dày của thành và đáy dụng cụ: lấy 3,14 ). Câu 5 (1,0 điểm). 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình x2 2y2 2xy 1. 2. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện a b2 2ab2 . 1 1 1 Chứng minh rằng . a4 b4 2ab4 a2 b8 2a2b2 2 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (họ và tên, chữ ký): Giám thị 2 (họ và tên, chữ ký):
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN TỈNH NINH BÌNH ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2021-2022 Bài thi môn: TOÁN - Ngày thi: 09/06/2021 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 (2,0 điểm). 1. Hàm số y 2x 3 là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên ¡ ? Vì sao? 2. Rút gọn biểu thức A 18 2 50 3 8 . x y 1 3. Giải hệ phương trình . 2x y 5 Lời giải 1. Hàm số y 2x 3 có dạng y ax b với a 2,b 3. Do a 2 0 nên là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên ¡ . 2. A 18 2 50 3 8 32.2 2 52.2 3 22.2 3 2 10 2 6 2 2 . x y 1 3x 6 x 2 x 2 3. 2x y 5 x y 1 2 y 1 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x; y 2;1 . Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình x2 mx m 1 0 1 với m là tham số. a) Giải phương trình 1 với m 3 . b) Chứng minh rằng phương trình 1 luôn có nghiệm với mọi m. 2 2 c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 1 . Tìm giá trị của m để biểu thức P x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải a) Giải phương trình 1 với m 3 . Với m 3 phương trình 1 thành x2 3x 3 1 0 x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 (có a 1, b -3, c 2 ) Ta có a b c 1 -3 2 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 1, x2 2 b) Chứng minh rằng phương trình 1 luôn có nghiệm với mọi m . x2 mx m 1 0 (có a 1, b m, c m 1) b2 4ac m 2 4.1. m 1 m2 4m 4 m 2 2 0m Vậy phương trình 1 luôn có nghiệm với mọi m . x1 x2 m c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 1 theo định lý Vi-ét ta có x1x2 m 1 2 2 2 2 2 2 P x1 x2 x1 x2 2x1x2 m 2 m 1 m 2m 1 1 m 1 1 1m . Dấu " " xảy ra khi m 1 0 m 1. Vậy với m 1 thì P đạt giá trị nhỏ nhất là 1.
3. Câu 3 (1,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phuơng trình hoặc hệ phương trình. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km . Khi đi từ B trở về A , người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h , vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B . Lời giải Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x ( km/h , x 0 ), thì khi đi từ B trở về A vận tốc người đó là x 4 ( km/h ). 24 Thời gian người đi xe đạp đi từ A đến B là (giờ), thời gian người đi xe đạp đi từ B trở về x 24 A là (giờ). x 4 1 24 24 1 Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút = giờ nên ta có phương trình 2 x x 4 2 24 24 1 2 x 12 x 4x 192 0 x 12 x 16 0 x x 4 2 x 16 x 12 thỏa mãn điều kiện, nhận x 16 không thỏa mãn điều kiện, loại. Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h . Câu 4 (3,5 điểm). 1. Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn ( B,C là các tiếp điểm). a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. b) Vẽ cát tuyến ADE không đi qua tâm O của đường tròn ( D nằm giữa A và E ). Gọi M là trung điểm của DE . Chứng minh MA là tia phân giác của góc BMC . 2. Một dụng cụ đựng chất lỏng có dạng hình trụ với chiều cao bằng 3dm và bán kính đáy bằng 2dm . Dụng cụ này đựng được bao nhiêu lít chất lỏng? (Bỏ qua độ dày của thành và đáy dụng cụ: lấy 3,14 ). Lời giải 1. B O A D M E C a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. Do AB, AC là các tiếp tuyến với đường tròn O (giả thiết) nên ·ABO 90, ·ACO 90 ·ABO ·ACO 90 90 180 Suy ra ABOC là tứ giác nội tiếp (vì là tứ giác có tổng các góc đối bằng 180 ). b) Chứng minh MA là tia phân giác của góc BMC .
4. Có ·ABO 90 , ·ACO 90(chứng minh trên) B ,C thuộc đường tròn đường kính AO 1 Có M là trung điểm của DE (giả thiết) OM  AE (đường kính đi qua trung điểm của dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung đó) ·AMO 90 M thuộc đường tròn đường kính AO 2 Từ 1 và 2 ABOMC nội tiếp đường tròn đường kính AO . Suy ra ·AMC ·AOC , ·AMB ·AOB (các góc nội tiếp cùng chắn một cung) Mà ·AOC ·AOB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ·AMB ·AMC MA là tia phân giác của góc BMC . Câu 5 (1,0 điểm). 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình x2 2y2 2xy 1. 2. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện a b2 2ab2 . 1 1 1 Chứng minh rằng . a4 b4 2ab4 a2 b8 2a2b2 2 Lời giải 1. Ta có x2 2y2 2xy 1 x y 2 y2 1 Do x; y nguyên nên x y 2 , y2 nhận giá trị nguyên và x y 2 0, y2 0 nên xảy ra 2 x y 0 x y 0 2 y 1 y 1 x 1 x 1 x 1 x 1 hoặc hoặc hoặc 2 x y 1 y 1 y 1 y 0 y 0 x y 1 2 y 0 y 0 Vậy x; y 1;1 , 1; 1 , 1;0 , 1;0  2. Đặt a x,b2 y với x; y 0 thì x y 2xy khi đó ta cần chứng minh 1 1 1 . x4 y2 2xy2 x2 y4 2x2 y 2 Ta có x4 y2 2xy2 , x2 y4 2x2 y (bất đẳng thức Co-si) 1 1 1 x4 y2 2xy2 2xy2 2x2 y 2xy x y 1 1 1 x2 y4 2x2 y 2xy2 2x2 y 2xy x y 1 1 1 1 1 x4 y2 2xy2 x2 y4 2x2 y 2xy x y 2xy x y xy x y 1 1 x y Ta sẽ chứng minh xy x y 2 x y 2 (do x y 2xy ) xy x y 2 2 x y 2 4 x y 2 2 x y 2 Thật vậy x y 2xy x y 4 x y x y 4 (do x y 0 ) 2
5. Vậy ta có điều phải chứng minh. HẾT