Kỳ thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2022 - Trường THPT Hoàng Mai (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2022 - Trường THPT Hoàng Mai (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT - NĂM 2022 TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC Họ, tên học sinh: Số báo danh: Phòng thi số: . Câu 1 (2,0 điểm): 3333 Cho các biểu thức: A  22 3131 ba Và Babba  ( với abab 0,0,). aababb 1) Rút gọn A và B. 2) Tìm a và b sao cho 2AB đồng thời 2aB 4 . Câu 2 (2,5 điểm): xy 1 1) Giải hệ phương trình: 23 y 1 xy 2) Cho phương trình 2(3)0xmxm2 (1) với m là tham số. a) Giải phương trình khi m 2. b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi xx12, là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Mxx 12. Câu 3 (2,0 điểm): 1 1) Trong mặt phẳng tọa độ O x y biết đường thẳng yaxb đi qua điểm M 2; và song 2 song với đường thẳng 23xy . Tìm các hệ số a và b. 2) Tính các kích thước của một hình chữ nhật có diện tích bằng 40 cm2, biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2. Câu 4 (3,0 điểm): Cho ABC có ba góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn O . Vẽ đường kính AK. 1) Chứng minh tứ giác B H C K là hình hình hành. 2) Vẽ OM BC M BC . Chứng minh HMK,, thẳng hàng và AHOM 2 3) Gọi ABC', ', ' là chân các đường cao thuộc các cạnh BC,, CA AB của ABC. Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng SABBCCA '''''' đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (0,5 điểm): ab 1 Cho a , b là các số dương. Chứng minh rằng: . a(3 a b ) b (3 b a ) 2 HẾT (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT - NĂM 2022 TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC Câu Ý Lời giải Điểm 1 1 3 + √3 3 − √3 0,75 a) A = (2 + ) . (2 − ) 3 + 1 3 − 1 √ √ √3(√3 + 1) √3(√3 − 1) = (2 + ) (2 − ) √3 + 1 √3 − 1 = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1. baba b) - . ab - ba - . aba - b a - abab - b aabbab 0,75 b. aba. ab b - a. a > 0, b > 0, a b ab = 2A − = 2 − = 2 = 1 2 { ↔ { ↔ { ↔ { 2 + = 4 2 + − = 4 + = 4 = 3 0,5 2 1 x – y = - 1 Hệ {2 3 푡ươ푛 đươ푛 푣ớ푖 + -1 = 1 x - y = - 1 (1) {2 3 + = 2 (2) Đk: x0 và y 0 . (*) 0,5 Rút y từ phương trình (1) rồi thế vào phương trình (2) ta được: x2 23 2 22x3x - 2 = 0 1 . xx + 1 x 2 + Với x = 2, suy ra y = x + 1 = 3 (thoả mãn (*)) 1 1 + Với x = , suy ra y = x +1 = (thoả mãn (*)) 0,5 2 2 11 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (2; 3) và ; . 22 2 a) Với m 2 phương trình trở thành 2x2 5x 2 0. 1 0,5 54.2.292 nên phương trình có hai nghiệm x 2 , x . 1 2 2 b) Phương trình có biệt thức 2 2 2 m 3 4.2.m m 2m 9 m 1 8 0 với mọi m .
3. Do đó phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 . Khi đó theo định lý Viet thì 0,5 m 3 x x 1 2 2 . m x x 1 2 2 2 2 0,5 Biểu thức M = x1 x2 = x1 x2 = x1 x2 4x1x2 = 2 m 3 m 1 1 2 4 = m2 2m 9 m 1 8 . 2 2 2 2 Do m 1 2 0 nên m 1 2 8 8 2 2 , suy ra M 2 . Dấu bằng xảy ra m 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của M là , đạt được khi m 1. 3 1) Viết đường thẳng 2x + y = 3 về dạng y = - 2x + 3. Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng trên, suy ra a = - 2 và b khác 3. (1) 0,5 1 1 Vì đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (2; ) nên ta có: 2a + b (2). 2 2 9 0,5 Từ (1) và (2) suy ra a = - 2 và b = ( T/m b khác 3). 2 2) Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x (cm) và y (cm) ( x; y > 0). xy = 40 xy = 40 0,5 Theo bài ra ta có hệ phương trình: . x + 3y + 3xy + 48 x + y = 13 Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình: t2 – 13t + 40 = 0 (1). Giải phương trình (1) ta được hai nghiệm là 8 và 5.( Thỏa mãn đk). 0,5 Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 8 cm và 5 cm. 4 1) Ta có A C K = 900 A 0,5 (vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Nên CK  AC mà BH  AC (vì H trực tâm) 0,5 O => CK // BH tương tự có CH // BK H => Tứ giác BHCK là hbh (đpcm) M C B 2) OM BC => M trung điểm của BC K (định lý đường kính và dây cung) => M là trung 1.0 điểm của HK (vì BHCK là hình bình hành) => đpcm AHK có OM là đường trung bình => AH = 2.OM 0 3) Ta có AC CBB C = 90 => tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn => AC B 0,5 = ACBmà ACB BAx (Ax là tiếp tuyến tại A) => Ax // B’C’ 1 OA  Ax => OA  B’C’. Do đó SAB’OC’ = R.B’C’ 2 1 0,5 Tương tự: SBA’OC’ = R.A’C’; SCB’OA’ = R.A’B’ 2
4. 1 S = R(A’B’ + B’C’ + C’A’)= AA’ .BC A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn nhất khi A, O, M thẳng hàng A là đỉểm chính giữa cung lớn BC. 5 a + b2(a + b) Ta có: (1) a3a + bb3b + a4a3a + b4b3b + a Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được: 4a + (3a + b)7a + b 4a3a + b 2 22 0,5 4b + (3b + a)7b + a 4b3b + a 3 22 Từ (2) và (3) suy ra: 4a3a + b4b3b + a4a + 4b 4 Từ (1) và (4) suy ra: a + b2(a + b)1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. a3a + bb3b + a 4a + 4b2