Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 môn Toán (Chuyên) - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT An Giang (Có lời giải)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 môn Toán (Chuyên) - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT An Giang (Có lời giải)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TỈNH AN GIANG Năm học: 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN - CHUYÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1. (3,0 điểm) a) Rút gọn A 419 40 19 419 40 19 . b) Giải phương trình 2x2 2 3 3 x 3 3 0 . c) Biết nghiệm của phương trình 2x2 2 3 3 x 3 3 0 là nghiệm của phương trình 4x4 bx2 c 0 . Tìm các số b,c . Bài 2. (2,0 điểm) a) Vẽ đồ thị P của hàm số y x2 . b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 0;1 và tiếp xúc với P . Bài 3. (1,0 điểm) Cho hai số a,b phân biệt thỏa mãn a2 2021a b2 2021b c , với c là một số thực dương. 1 1 2021 Chứng minh rằng: 0 . a b c Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB AC ) nội tiếp trong đường tròn O đường kính AC . Gọi I là một điểm thuộc đoạn OC ( I khác O và C ). Qua I kẻ đường vuông góc với AC cắt BC tại E và AB kéo dài tại D . Gọi K là điểm đối xứng của C qua điểm I . a) Chứng minh rằng các tứ giác BDCI và AKED nội tiếp. b) Chứng minh IC.IA IE.ID . Bài 5. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC đều có diện tích 36 cm2 . Gọi M , N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, BC,CA sao cho MN  BC; NP  AC; PM  AB . Chứng tỏ rằng tam giác MNP đều và tính diện tích tam giác MNP . Bài 6. (1,0 điểm) Hai ngọn nến hình trụ có chiều cao và đường kính khác nhau được đặt thẳng đứng trên mặt bàn. Ngọn nến thứ nhất cháy hết trong 6 giờ, ngọn nến thứ hai cháy hết trong 8 giờ. Hai ngọn nến được thắp sáng cùng lúc, sau 3 giờ chúng có cùng chiều cao. a) Tìm tỉ lệ chiều cao lúc đầu của hai ngọn nến. b) Biết tổng chiều cao của hai ngọn nến là 63 cm. Tính chiều cao của mỗi ngọn nến. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hướng dẫn giải: Bài 1. (3,0 điểm)
2. a) Rút gọn A 419 40 19 419 40 19 . b) Giải phương trình 2x2 2 3 3 x 3 3 0 . c) Biết nghiệm của phương trình 2x2 2 3 3 x 3 3 0 là nghiệm của phương trình 4x4 bx2 c 0 . Tìm các số b,c . Lời giải a) Rút gọn A 419 40 19 419 40 19 2 2 400 2.20. 19 19 400 2.20. 19 19 20 19 20 19 20 19 20 19 20 19 20 19 40 . Vậy A 40 . b) Giải phương trình 2x2 2 3 3 x 3 3 0 . 2 2 2 3 3 4.2.3 3 12 9 12 3 24 3 12 9 12 3 2 3 3 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 x ; x 3 . 1 2.2 2 2 2.2 3 Vậy phương trình có tập nghiệm là S 3;  . 2  c) Biết nghiệm của phương trình 2x2 2 3 3 x 3 3 0 là nghiệm của phương trình 4x4 bx2 c 0 . Tìm các số b,c . 3 Xét phương trình 4x4 bx2 c 0 , có hai nghiệm là 3; nên ta có: 2 4 2 4 3 b 3 c 0 4.9 b.3 c 0 3b c 36 4 2 81 9 3 3 4. b. c 0 9b 4c 81 4 b c 0 16 4 2 2 c 27 9b 3c 108 c 27 36 c . 9b 4c 81 b b 21 3 Vậy b 21;c 27 là các giá trị cần tìm. Bài 2. (2,0 điểm) a) Vẽ đồ thị P của hàm số y x2 .
3. b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 0;1 và tiếp xúc với P . Lời giải a) Vẽ đồ thị hàm số y x2 P , ta có bảng sau: x -2 -1 0 1 2 y x2 -4 -1 0 -1 -1 Vậy đồ thị hàm số y x2 P là Pa-ra-bol đi qua 2; 4 , 1; 1 , 0 : 0 , 1; 1 , 2; 4 và nhận Oy làm trục đối xứng. y 2 1 x 5 -2 -1 O 1 2 5 -1 2 4 f(x) = x2 b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 0;1 và tiếp xúc với P . Giả sử phương trình đường thẳng d có dạng y ax b . d đi qua A 0;1 nên ta có 1 a.0 b b 1 d có dạng y ax 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và P : x2 ax 1 x2 ax 1 0 (1). Để d và P tiếp xúc nhau thì (1) có nghiệm kép 0 a2 4.1.1 0 a2 4 a 2 . Vậy ta có hai đường thẳng d thỏa mãn là y 2x 1 và y 2x 1. Bài 3. (1,0 điểm) Cho hai số a,b phân biệt thỏa mãn a2 2021a b2 2021b c , với c là một số thực dương. 1 1 2021 Chứng minh rằng: 0 . a b c Lời giải Theo bài ra ta có a2 2021a b2 2021b a2 b2 2021a 2021b 0
4. a b a b 2021 0 a b ktm . a b 2021 Với a b loại do a,b phân biệt. Với a b 2021 b 2021 a ab 2021a a2 a2 2021a c . 1 1 2021 a b 2021 2021 2021 Thay a b 2021;ab c vào ta được 0 . a b c ab c c c 1 1 2021 Vậy 0 . a b c Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB AC ) nội tiếp trong đường tròn O đường kính AC . Gọi I là một điểm thuộc đoạn OC ( I khác O và C ). Qua I kẻ đường vuông góc với AC cắt BC tại E và AB kéo dài tại D . Gọi K là điểm đối xứng của C qua điểm I . a) Chứng minh rằng các tứ giác BDCI và AKED nội tiếp. b) Chứng minh IC.IA IE.ID . Lời giải D B E A K O I C a) Chứng minh rằng các tứ giác BDCI và AKED nội tiếp. Ta có ·ABC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) D· BC 90 (kề bù với ·ABC 90); D· IC 90 ( DI  AC ) tứ giác BDCI nội tiếp đường tròn đường kính CD . E· CI E· DB (hai góc nội tiếp cùng chắn BºI ). Lại có K là điểm đối xứng của C qua điểm I nên I là trung điểm của CK EKC có EI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên cân tại E E· KI E· CI E· KI E· DB E· CI tứ giác AKED có góc ngoài đỉnh K bằng góc trong đỉnh D nên là tứ giác nội tiếp.
5. b) Chứng minh IC.IA IE.ID . Xét IDA và ICE có: I·DA I·CE (hai góc nội tiếp cùng chắn BºI ); ·AID E· IC 90, DI  AC ID IC IDA” ICE g.g IC.IA IE.ID . IA IE Bài 5. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC đều có diện tích 36 cm2 . Gọi M , N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, BC,CA sao cho MN  BC; NP  AC; PM  AB . Chứng tỏ rằng tam giác MNP đều và tính diện tích tam giác MNP . Lời giải C N P B A M Trong MNB vuông tại M , ta có M· BN M· NB 90; mà PN  BC GT M· NB M· NP 90 M· NP M· BN 60 90 M· NB ; Trong AMP vuông tại P , ta có ·AMP P· AM 90 ; mà NM  AB GT ·AMP P· MN 90 P· MN P· AM 60 90 ·AMP ; MNP có M· NP P· MN 60 nên là tam giác đều. x2 3 Đặt MN NP PN x vì MNP đều nên S . MNP 4 Mặt khác BMN CNP APM (cạnh huyền – góc nhọn) SBMN SCNP SAPM . x. 3 Trong tam giác BMN vuông tạ M ta có BM MN.tan B x.cot 60 3 1 1 x 3 x2 3 S BM.MN . .x . BMN 2 2 3 6 2 2 2 2 x 3 x 3 x 3 x 3 2 SABC 3.SBMN SMNP 36 3. 3 36 12 cm . 6 4 4 4
6. 2 Vậy SMNP 12 cm . Bài 6. (1,0 điểm) Hai ngọn nến hình trụ có chiều cao và đường kính khác nhau được đặt thẳng đứng trên mặt bàn. Ngọn nến thứ nhất cháy hết trong 6 giờ, ngọn nến thứ hai cháy hết trong 8 giờ. Hai ngọn nến được thắp sáng cùng lúc, sau 3 giờ chúng có cùng chiều cao. a) Tìm tỉ lệ chiều cao lúc đầu của hai ngọn nến. b) Biết tổng chiều cao của hai ngọn nến là 63 cm. Tính chiều cao của mỗi ngọn nến. Lời giải a) Tìm tỉ lệ chiều cao lúc đầu của hai ngọn nến. Gọi chiều cao ngọn nến thứ nhất là a cm, chiều cao ngọn nến thứ hai là b cm, ( a,b 0 ). Giả sử tốc độ tiêu hao khi cháy của hai ngọn nến là không đổi. 1 1 Mỗi giờ cây nến thứ nhất giảm chiều cao, cây nến thứ hai giảm chiều cao. 6 8 1 1 Sau 3 giờ cây nến thứ nhất còn 1 3. chiều cao. 6 2 1 Chiều cao của cây nến thứ nhất còn lại là a . 2 1 5 Sau 3 giờ cây nến thứ hai còn 1 3. chiều cao. 8 8 5 Chiều cao của cây nến thứ hai còn lại là b . 8 Vì sau 3 giờ chiều cao của hai cây nến bằng nhau nên 1 5 a 5 a b . 2 8 b 4 5 Vậy tỉ lệ chiều cao ban đầu của ngọn nến thứ nhất so với ngọn nến thứ hai là . 4 b) Biết tổng chiều cao của hai ngọn nến là 63 cm. Tính chiều cao của mỗi ngọn nến. Tổng chiều cao ngọn nến là 63 cm a b 63. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a 5 a b a b 63 7 . b 4 5 4 5 4 9 a b Vì 7 a 7.5 35 cm ; 7 b 7.4 28 cm . 5 4 Vậy ban đầu ngọn nến thứ nhất cao 35 cm, ngọn nến thứ hao cao 28 cm. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =