Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên Tin) - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên Tin) - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

1. Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Lời giải chi tiết đề thi chuyên Toán -Tin TP. Hà Nội Nguyễn Khang - Nguyễn Văn Hoàng - Đoàn Phương Khang 1 Câu I 1) Giải phương trình p4 2x x2 x 2. + − = − 2) Giải hệ phương trình   x3 2 3y + =  y3 2 3x + = Lời giải. 1) Điều kiện xác định 4 2x x2 0. Do VT 0 VP 0 x 2. Bình + − ≥ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ phương hai vế, phương trình tương đương với 4 2x x2 (x 2)2 + − = − 4 2x x2 x2 4x 4 ⇔ + − = − + 2x2 6x 0 ⇔ − = x 0(l)hoặc x 3(n) ⇔ = = 2) Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới thu được (x y)(x2 xy y2) 3(y x) − + + = − (x y)£(x2 xy y2) 3¤ 0. ⇔ − + + + = Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông vô nghiệm. Do đó x y. Thay vào = phương trình (2), ta có: y3 2 3y (y 2)(y 1)2 0. + = ⇔ + − = Từ đó x y 1 hoặc x y 2. Kết luận (x, y) (1,1);( 2; 2). = = = = − = − − 1 14/6/2021
2. Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim 2 Câu II 1) Chứng minh với mỗi số nguyên n, số n2 3n 16 không chia hết cho 25. + + 2) Tìm tất cả các số nguyên x và y thỏa mãn x2 xy 2y2 x y 5 0 − − + + − = Lời giải. 1) Đặt A n2 3n 16 (n2 3n 4) 20 (n 4)(n 1) 20 = + + = + − + = + − + Giả sử A chia hết cho 25 A chia hết cho 5, mà 20 chia hết cho 5 . . ⇒ . (n 4)(n 1) . 5 n 4 . 5 hoặc n 1 . 5 (do 5 là số nguyên tố) ⇒ + − ⇒ +. − Mà (n 4) (n 1) 5 . 5 +. − − =. . . n 4 . 5 và n 1 . 5 (n 4)(n 1) . 25 . Mà A . 25 ⇒ +. − ⇒ + − 20.25 (vô lý) ⇒ Vậy A không chia hết cho 25. 2) Ta có : x2 xy 2y2 x y 5 0 − − + + − = (x y)(x 2y) (x y) 5 ⇔ + − + + = (x y)(x 2y 1) 5 ⇔ + − + = Mà x y, x 2y 1 Z suy ra các trường hợp. + − + ∈ • Trường hợp 1: x y 5; x 2y 1 1 x y 5; x 2y 0 + = − + = ⇔ + = − = 10 5 x ; y (loại) ⇔ = 3 = 3 • Trường hợp 2: x y 1; x 2y 1 5 x y 1; x 2y 4 + = − + = ⇔ + = − = x 2; y 1(thỏa mãn) ⇔ = = − • Trường hợp 3: x y 1; x 2y 1 5 x y 1; x 2y 6 + = − − + = − ⇔ + = − − = − 8 5 x − ; y (loại) ⇔ = 3 = 3 2 14/6/2021
3. Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim • Trường hợp 4: x y 5; x 2y 1 1 x y 5; x 2y 2 + = − − + = − ⇔ + = − − = − x 4; y 1(thỏa mãn) ⇔ = − = − n o Vậy (x; y) (2; 1),( 4; 1) . ∈ − − − 3 Câu III 1) Cho a, b và c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng (a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b) + + + + + + 1. (a b)(b c) + (b c)(c a) + (c a)(a b) = − − − − − − − 2) Cho biểu thức a b c P = p1 2bc + p1 2ca + p1 2ab + + + với a, b, c không âm thỏa mãn a2 b2 c2 1. Tìm giá trị lớn nhất của + + = biểu thức P. Lời giải. 1) Để cho tiện, ta ký hiệu P f (a, b, c) f (a, b, c) f (b, c,a) f (c,a, b). Gọi biểu cyc = + + thức bên vế trái là P. Ta có X(c a)(a b)(b c) cyc − + + A P = (a b)(b c)(c a) = B − − − Ta có A X(c a)(a b)(b c) X£ac2 b2 c bc2 a2b a2 c ab2¤ = cyc − + + = cyc + + − − − a2b a2 c ab2 ac2 b2 c bc2 = − − + + − ab(a b) bc(b c) ca(c a) = − + − + − ab(a b) bc(a b) ca(c a) bc(c a) = − − − + − − − (a b)b(a c) c(a c)(a b) = − − − − − (a b)(b c)(a c). = − − − A (a b)(b c)(a c) Từ đó P − − − 1. = B = (a b)(b c)(c a) = − − − − 3 14/6/2021
4. Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim 2) Để ý: (a b c)2 1 2bc a2 b2 c2 2bc a2 (b c)2 + + . + = + + + = + + ≥ 2 Do đó a p2a X p VT p 2. = a2 (b c)2 ≤ cyc a b c = + + + + 1 Đẳng thức xảy ra khi a b , c 0 và các hoán vị. = = p2 = Nhận xét. Thực ra ở câu III.1, nếu ta cộng 1 vào từng phân số ở vế trái rồi biến đổi thì sẽ đơn giản hơn. Nhưng đôi khi cách “trâu” cũng tốt. 4 Câu IV Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB AC. Gọi I là tâm đương < tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M (M khác A). Gọi D,E và F lần lượt là các hình chiếu của điểm I trên các đường thẳng BC,CA và AB. 1) Chứng minh tam giác MBI là tam giác cân. 2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P (P khác A). Chứng minh P, M và D là 3 điểm thẳng hàng. 3) Gọi H là giao điểm của đường thẳng IP và đường thẳng EF. Chứng minh HD song song với AM. Lời giải: 4 14/6/2021
5. Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim A P E H F I O B D C M 1) Ta có: ABC BAC MIB I AB IBA ∠ ∠ ∠ = ∠ + ∠ = 2 + 2 ABC BAC MBI MBC IBC ∠ ∠ ∠ = ∠ + ∠ = 2 + 2 Do đó, ta có MIB MBI MIB cân tại M. ∠ = ∠ ⇔ 4 2) Có: PFA PEA (cùng chắn cung PA của (AEF)) PFB PEC. ∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠ Xét tam giác PBF và tam giác PCE có:   PBF PCE ( cùng chắn cung PA của đường tròn (O)). ∠ = ∠  PFB PEC (chứng minh trên). ∠ = ∠ PF PB BF Vậy PBF PCE (g.g) (1) và FPB EPC 4 ≈ 4 ⇒ PE = PC = CE ∠ = ∠ FPB FPC EPC FPC BPC FPE ⇒ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ⇒ ∠ = ∠ Xét tam giác PFE và tam giác PBC:   FPE BPC ∠ = ∠ PF PB  PE = PC 5 14/6/2021
6. Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Vậy PFE PBC (c.g.c). 4 ∼ 4 Vì I là tâm đường tròn nội tiép tam giác ABC và D,E,F là hình chiếu của I lên BC,CA, AB nên BD BF; AF AE;CE CD. DB BF PB = = = Do đó, ta có: (do (1)) DC = CE = PC Theo định lí về đường phân giác đảo PD là phân giác góc BPC (2). ⇒ Do AM là phần giác góc BAC nên M là trung điểm cung BC nhỏ. _ _ MB MC PM là phân giác góc BPC (3). ⇒ = ⇒ Từ (2) và (3) P, M,D là 3 điểm thẳng hàng. ⇒ 3) Vì E,F là hình chiếu của I lên CA, AB nên IEA IFA 90◦ A,F,E, I ∠ = ∠ = ⇒ cùng thuộc đường tròn đường kính AI, do đó I thuộc (AEF). Vì IE IF nên I là trung điểm cung EF của (AEF) PI là phân giác = ⇒ góc FPE. Xét tam giác PFH và tam giác PBD:  1 1  HPF . FPE . BPC DPB ∠ = 2 ∠ = 2 ∠ = ∠  PFH PBD ∠ = ∠ PH PF Vậy PFH PBD(g.g) (*). 4 ∼ 4 ⇒ PD = PB Xét tam giác PFI và tam giác PBM: ∠PIF ∠PEF ∠PCB ∠PMB = = = 1 1 PFI PFE IFE PBC . FPE PBC . BPC ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + 2 ∠ = ∠ + 2 ∠ ∠PBC ∠MBC ∠PBM = + = PI PF Vậy PFI PBM(g.g) ( ). 4 ≈ 4 ⇒ PM = PB PI PH Từ (*) và ( ) DH IM (theo định lí Thales đảo). ⇒ PM = PD ⇒ ∥ Vậy DH AM. ∥ 5 Câu V Trên bàn có n viên kẹo. Hai bạn An và Bình cùng chơi một trò chơi như sau: Hai bạn luân phiên lấy kẹo trên bàn, mỗi lần chỉ được lấy 1,2,3,4 hoặc 5 viên kẹo và phải lấy số viên kẹo khác với số viên kẹo của bạn còn lại vừa lấy ngay 6 14/6/2021
7. Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim trước đó. Bạn đầu tiên không thể thực hiện được lượt chơi của mình là người thua cuộc. Nếu An là người lấy kẹo trước, 1) Với n 7 , hãy chỉ ra chiến thuật của Bình khiến An là người thua cuộc. = 2) Với n 22 , hãy chỉ ra chiến thuật của An khiến Bình là người thua = cuộc. Lời giải: 1) Gọi số kẹo An bốc lần đầu là x {1;2;3;4;5} ∈ • Trường hợp 1: Nếu 2 x 5. ≤ ≤ Dễ thấy x 7 x; 2 7 x 5 nên Bình chỉ cần bốc 7 x viên kẹo, thì 6= − ≤ − ≤ − sẽ hết số kẹo trên bàn, dẫn đến An thua ở lượt tiếp theo. • Trường hợp 2: x 1 = Khi này Bình sẽ bốc 3 viên kẹo, số kẹo trên bàn còn 3 viên. Khi đó , An không thể bốc được 3 viên, chỉ bốc được 1 (hoặc 2) viên kẹo ; Bình lượt tiếp theo sẽ bốc ngược lại của An: 2 (hoặc 1) viên kẹo để trên bàn không còn viên nào nữa. Và An sẽ thua ở lượt tiếp theo. 2) Lượt đầu tiên, An bốc 3 viên, số kẹo còn lại trên bàn là 19 viên. Đến lượt Bình, gọi số kẹo Bình bốc là y {1;2;4;5}(y khác 3 vì An đã bốc 3 ∈ viên lần trước rồi). An sẽ bốc số viên kẹo là 6 y {1;2;4;5}(6 y y), để − ∈ − 6= đảm bảo số kẹo trên bàn còn 13 viên. Lượt tiếp theo của Bình, gọi số kẹo bình bốc là z {1;2;3;4;5} ∈ • Trường hợp 1: z {1;2;4;5} ∈ An sẽ bốc 6 z {1;2;4;5}(6 z z) , để trên bàn còn 7 viên kẹo. Ta − ∈ − 6= đưa về bài toán tương tự phần a, dễ chỉ ra được cách để An thắng, Bình thua. • Trường hợp 2: z 3. = An sẽ bốc 5 viên kẹo, để trên bàn còn đúng 5 viên. Tới lúc này, Bình không thể bốc được 5 viên nữa, chỉ có thể bốc 1,2,3 hoặc 4 viên; 7 14/6/2021
8. Giải đề thi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Dễ thấy, tổng số kẹo ban nãy là 5 (là số lẻ), nên số viên Bình bốc và số viên còn lại sau đó luôn khác nhau. Nên An sẽ bốc hết số viên còn lại trên bàn và Bình sẽ trở thành nguời thua cuộc vào lượt tiếp theo. 8 14/6/2021