Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Tiền Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Tiền Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH TIỀN GIANG NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài I. (1,5 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A (2 3)2 3 . 1 1 x 2) Cho biểu thức B với x 0 và x 4. x 2 x 2 x 4 a) Rút gon biểu thức B. b) Tìm tất cả các giá trị của x để B 1. Bài II. (2,5 điểm) 1) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 2x y 5 a) x2 3x 2 0 b) c) x4 8x2 9 0 3x y 5 Bài III. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) : y 2x2 . a) Vẽ đồ thị parabol (P) . b) Bằng phép tính, tìm tất cả những điểm thuộc Parabol (P) (khác gốc tọa độ O ) có tung độ gấp hai lần hoành độ Bài IV. (1,5 điểm) Quãng đường AB dài 150 km . Một xe tải khởi hành đi từ A đến B, cùng lúc đó một ô tô cũng đi trên quãng đường đó từ A đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe tải 5 km/h , nên ô tô đến B sớm hơn xe tải 20 phút. Tính vận tốc xe tải. Bài V. (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3cm và AC 4cm . Tính độ dài cạnh BC và giá trị của tan C . 2) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB 2R . Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn (O) sao cho CA CB. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng OB, đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt dây CB và tia AC lần lượt tại D và E . a) Chứng minh rằng bốn điểm A , C , D , H cùng thuộc một đường tròn b) Gọi I là trung điểm DE . Chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). c) Chứng minh rằng AC.AE 3R2 . HẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài I. 1) Rút gon biểu thức: A (2 5)2 3 Ta có: A (2 3)2 3 A 2 3 3 A 2 3 3( do 2 3 0) A 2 . 1 1 x 2) Cho biểu thức: B với x 0 và x 4 x 2 x 2 x 4 a) Rút gon biểu thức B ĐKXĐ: x 0,x 4 . Ta có: 1 1 x B x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x B x 4 x 4 x 4 x 2 x 2 x B x 4 x 2 x B x 4 x( x 2) B ( x 2)( x 2) x B x 2 x Vậy với x 0,x 4 thì B . x 2 b) Tìm tất cả các giá trị của x để B 1 Ta có:
3. x x B 1 1 1 0 x 2 x 2 x x 2 x ( x 2) 0 0 x 2 x 2 x 2 2 0 x 2 0 (do 2 0 ) x 2 x 2 x 22 x 4 Kết hợp với ĐKXĐ ta có 0 x 4 thì B 1. Bài II. 1) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x2 3x 2 0 x 1 1 Ta có a b c 1 3 2 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt c . x 2 2 a Vậy phương tình đã cho có tập nghiệm S {1;2}. 2x y 5 b) 3x y 5 Ta có: 2x y 5 5x 10 x 2 3x y 5 2x y 5 y 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) (2;1) . c) x4 8x2 9 0 (1) Đặt x2 t t 0 phương trình (1) trở thành: t2 8t 9 0 (2). t 1(ktm) 1 Ta có a b c 1 ( 8) 9 0 nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: c t 9(tm) 2 a 2 x 3 Với t 9 x 9 . x 3 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S { 3;3}. 2) Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc là 2 và đi qua điểm M( 1;3) Giả sử phương trình đường thẳng (d) là y ax b
4. Vì (d) có hệ số góc là 2 nên ta có a 2 . Vì (d) đi qua điểm M( 1;3) nên ta có: 3 a. 1 b a b 3(*) . Thay a 2 vào (*) ta có 2 b 3 b 5. Vậy đường thẳng (d) cần tìm có phương trình là y 2x 5 . Bài III. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) : y 2x2 . a) Vẽ đồ thị parabol (P) . Parabol (P) : y 2x2 có bề lõm hướng lên và nhận Oy làm trục đối xứng Ta có bảng giá trị sau: x 2 1 0 1 2 y 2x2 8 2 0 2 8 Parabol (P) : y 2x2 đi qua các điểm ( 2;8),( 1;2),(0;0),(1;2),(2;8) . Đồ thị Parabol (P) : y 2x2 b) Bằng phép tính, tìm tất cả những điểm thuộc Parabol (P) (khác gốc tọa độ O ) có tung độ gấp hai lần hoành độ
5. Goi điểm có tung độ gấp hai lần hoành độ là A(m;2m)(m 0) . Vì A (P) nên ta có: 2m 2.m2 2m2 2m 0 2m(m 1) 0 m 1 (do m 0 ). Vậy điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là A(1;2) Bài IV: Quãng đường AB dài 150 km . Một xe tải khởi hành đi từ A đến B, cùng lúc đó một ô tô cũng đi trên quãng đường đó từ A đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe tải 5 km/h , nên ô tô đến B sớm hơn xe tải 20 phút. Tính vận tốc xe tải. Gọi vận tốc xe tải là x (km/h)(x 0) 150 Thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là (h) x Vận tốc của ô tô là x 5 (km/h) 150 Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là (h) x 5 1 Do thời gian xe ô tô đến B sóm hơn so với xe tải là 20 phút h nên ta có phương trình: 3 150 150 1 x x 5 3 150.3(x 5) 150.3x x(x 5) 450x 2250 450x x2 5x x2 5x 2250 0 Ta có: 52 4.1.( 2250) 9025 952 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 5 95 x 45(tm) 2 5 95 x 50(ktm) 2 Vậy vận tốc xe tải là 45 km / h . Bài V. 1) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3cm và AC 4cm . Tính độ dài cạnh BC và giá trị của tan C .
6. C A B Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có: BC2 AC2 AB2 42 32 25 BC 25 5cm AB 3 tan C AC 4 3 Vậy BC 5cm và tan C . 4 2) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB 2R . Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn (O) sao cho CA CB. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng OB, đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt dây CB và tia AC lần lượt tại D và E . a) Chứng minh rằng bốn điểm A,C,D,H cùng thuộc một đường tròn. Ta có HD  AB tại H(gt) nên D· HA 90 Mà C thuộc nửa đường tròn nên A· CB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
7. D· HA A· CB 180 ACHD nội tiếp đường tròn đường kính AD (dhnb). Vậy A,C,D,H cùng thuộc một đường tròn. (đpcm) b) Gọi I là trung điểm DE . Chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). Ta có E· CD 90 (Bù góc A· CB 90 ) nên ECD là tam giác vuông tại C . 1 DE là cạnh huyền của tam giác vuông ECD và I là trung điểm của DE nên IC ID IE DE 2 (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền). ICD cân tại I I·CD I·DC H· DB (đối đỉnh) Mặt khác, OBC cân tại O(OB OC) D· CO O· BD (2) Từ (1) và (2) suy ra I·CO I·CD D· CO H· DB O· BD Mà O· BD H· DB 90 (do tam giác HBD vuông tại H) I·CO 90 hay IC  OC . Vậy IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). c) Chứng minh rằng AC.AE 3R2 . Xét tam giác AHE và ACB ta có: E· AB chung; A· CB A· HE 90; AH AE AHE ~ ACB(g.g) (hai cạnh tương ứng) AC AB ACAE ABAH 2R AH (do AB 2R) Mặt khác, ta có H là trung điểm của OB(gt) nên 1 1 1 3 HO OB R AH AO OH R R R . 2 2 2 2 3 Vậy AC,AE 2R  R 3R2 (đpcm). 2