Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hoàng Văn Thụ môn Toán (Dành cho chuyên Toán) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Hòa Bình (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hoàng Văn Thụ môn Toán (Dành cho chuyên Toán) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Hòa Bình (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN) Ngày thi: 05 tháng 6 năm 2022 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang, 04 câu) Câu I (3,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A 3 2 2 3 2 2 2) Tìm m để các đường thẳng: y 2 x 4 ( d ) ; y 3 x 5 ( d '); y 2 mxm 3 () cùng đi qua một điểm. 3) Cho phương trình: x2 2 mx 2 m 1 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương. Câu II (3,0 điểm) 1) Tìm x, y nguyên thoả mãn: xy 2 x y 1 0 2) Một cửa hàng điện máy thực hiện chương trình khuyến mãi giảm giá tất cả các mặt hàng 10 % theo giá niêm yết, và nếu hóa đơn khách hàng trên 10 triệu sẽ được giảm thêm 2% số tiền trên hóa đơn, hóa đơn trên 15 triệu sẽ được giảm thêm 4% số tiền trên hóa đơn, hóa đơn trên 40 triệu sẽ được giảm thêm 8% số tiền trên hóa đơn. Ông An muốn mua một ti vi với giá niêm yết là 9 200 000 đồng và một tủ lạnh với giá niêm yết là 7 100 000 đồng. Hỏi với chương trình khuyến mãi của cửa hàng, ông An phải trả bao nhiêu tiền? 2x2 6 y 2 xy 3) Giải hệ phương trình: 2 3x 2 y xyx Câu III (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại B ( BC AB ) nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AC 2 R . Kẻ dây cung BD vuông góc với AC, H là giao điểm của AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường tròn tâm O’ đường kính EC cắt đoạn BC tại I (I khác C). 1) Chứng minh rằng: CI.CA=CE.CB 2) Chứng minh rằng: Ba điểm D, I, E thẳng hàng. 3) Chứng minh rằng: HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC. 4) Khi B thay đổi thì H thay đổi, xác định vị trí của H trên AC để diện tích tam giác O’IH lớn nhất. Câu IV (1,0 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số thực x, y dương thỏa mãn điều kiện: 22x2 36 xyy 6 2 6 x 2 36 xy 22 yxy 2 2 2 32 2) Cho a, b là các số thực thỏa mãn: a2 b 2 a b. Chứng minh rằng: a3 b 3 a 2 b ab 2 4 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi: Giám thị 1: Giám thị 2:
2. SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ NĂM HỌC 2022-2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN) (Hướng dẫn chấm này gồm có 04 trang) Câu I (3,0 điểm) Phần Nội dung Điểm a) Rút gọn biểu thức: A ( 2 1)2 ( 2 1) 2 0,5 1 A 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0,5 2 Tọa dộ giao điểm của (d) và (d’) là A(-1;-2) 0,5 Để ( ), (d) và (d’) cùng đi qua một điểm khi và chỉ khi A thuộc ( ) 1 Khi đó ta có 2mm .( 1) 3 2 3 mm 1 3 0,5 1 Vậy m = thì 3 đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm A(-1;-2) 3 3 3) Phương trình x2 2 mx 2 m 1 0 có hai nghiệm dương khi và chỉ 'm2 2 m 1 0 0,5 P 2 m 1 0 S 2 m 0 (m 1)2  0 m 1 1 m m 0,5 2 2 m 0 Câu II (3,0 điểm) Phần Nội dung Điểm xyxy 2 1 0 xy ( 2) (y 2) 3 0 ( y 2)(x 1) 3 0,5 1 Vì x, y nguyên nên (y+2) và (x-1) thuộc Ư(3) = 3; 1;1;3 Học sinh tìm được cặp số nguyên (x;y ) = (-4;-3); (-2;-5);(0;1); (2;-1) 0,5 Tổng giá trị 1 chiếc Tivi và 1 chiếc tủ lạnh ông An mua là 16 300 000 ( đồng) 2 0,5 Số tiển ông An phải trả khi được giám giá 10% là. 16300000.90% = 14 670 000 (đồng ) 1
3. Vì số tiền trên hóa đơn của ông An là 14700000( đồng) nên ông An được giảm thêm 2% số tiền in trên hóa đơn. 0,5 Vậy số tiền ông An phải trả là 14670000.98% = 14 376 600(đồng 2x2 6 y xy (x 2 yx )(2 3 y ) 0 Giải hệ phương trình: 2 3x2 2 yxyx 3x 2 y xyx x 2 y Với x = 2y ta có 2 0,5 3x 2 y xyx xy 2 xy 2 xy 2 x 0 2 2 2 2 2 y 0 12yyyy 2 2 2 12 yy 2 0 10 y 0 Với 2x = -3y ta có hệ phương trình 2x y 3 2x 3 y 3 3x2 2 yxyx 4 2 3x2 x xx 2 3 3 2x y 2x 3 0,5 y 3 x 0 11x2 7 x 0 7 x 11 7 14 Học sinh giải hệ 2 và kết luận nghiệm (x;y) = ( 0;0); ( ; ) 11 33 Câu III (3,0 điểm) Phần Nội dung Điểm B I O A C H E O' D 2
4. Xét hai tam giac CIE và CBA có ICE chung; EIC =ABC =900 0,5 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 1 CI CE Suy ra CIE CBA(g g ) CICA. CECB . (dpcm) 0,5  CB CA Ta có EI BC ( Do EIC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)(1) 2 Vì BD AC tại H, và HA = HE; HB = HD nên tứ giác ABED là hình 0,5 thoi Suy ra DE AB, mà ABBC nên DEBC(2)  0,5 Từ (1) và (2) ta có 3 điểm D,E,I thẳng hàng. Ta có tứ giác DHIC nội tiếp đường tròn đường kính DC nên ta có BIH = BDC = (1800 - HIC ) 3 Lại có BAC =IEO’ ( đồng vị ); IEO’ = O’IE 0,5 ( do tam giác O’IE cân tại O’) Suy ra BIH = O’IE mà BIH+HIE = 900 nên HIE+  O’IE=900 suy ra HI O’I hay HI là tiếp tuyến của (O’) Ta có AC 2 2 2 2 2 2 0,25 OIHIO' 'H 4 R R 2S O' IH O ' I . HI S O ' IH 2 2 2 2 4 4 R2 O'. IHI R Dấu = xảy ra khi 2 OI' HI ( Do O’I > 0, HI > 2 OI' HI 0) R R Ta có O’H = R; mà O’E = O’I = suy ra AH = HE = R - = 0,25 2 2 R( 2 1) 2 R( 2 1) Vậy AH = thì diện tích tam giác O’IH lớn nhất. 2 3
5. Câu IV (1,0 điểm) Phần Nội dung Điểm Ta có: 22xxyyxy2 36 6 2 (5 3) 2 3(xy) 2 (5 xy 3) 2 22x2 36 xyy 6 2 5 xy 3 ( do x, y dương ) Tương tự ta có : 0,25 6xxyyxy2 36 22 2 (3 5) 2 3(xy) 2 (3 xy 5) 2 6x2 36 xy 22 y 2 3 xy 5 ( do x, y dương ) Vậy 22x2 36 xyy 6 2 22 x 2 36 xyy 6 2 8( xy ) (1) 1 Ta có (x 4)2 ( y 4) 2  0( xy , ) 0,25 xx2816 yy 2 8160 xy 2 2 328( xy ) (2) Vậy 22x2 36 xyy 6 2 22 x 2 36 xyyxy 6 2 2 2 32 x y x 4 0 xy 4 y 4 0 Nếu a b 0 suy ra a2 b 2 0 a b 0 khi đó bất đẳng thức 0,25 cần chứng minh đúng. Nếu a b0 a b a2 b 2 0 Ta có : ()a b2 () a b 2 2 a2 b 2 a b 2( a b )( a b ) 2 2 2 Suy ra a b 2 Ta có : a3 b 3 abab 2 2 ( aba )( 2 abb 2 )ab(ab) (ab) 2 0,25 Vì 0 a b 2 nên (a b )2 4 (đpcm) * Chú ý: Các lời giải đúng khác đều được xem xét cho điểm tương ứng. 4