Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi có 01 trang Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho phương trình x2 −2( m − 2) xm + 2 −= 5 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 11 biệt xx12, thỏa mãn +=3. xx12 10 3 10 3 b) Chứng minh rằng P =+3322 +− là số nguyên. 99 Câu 2 (2,0 điểm). 2 a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 −2 xy ++ 8 x 4( y − 4) = 0. b) Chứng minh rằng nếu mn, là hai số tự nhiên thỏa mãn 2022mm22+= 2023 nn + thì 2022(mn++) 1 là số chính phương. Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình 4xx2 −+−+= 3 15 3 x 1 0. b) Cho hai số thực ab, phân biệt. Quanh đường tròn viết n số thực đôi một khác nhau (n ≥ 3) sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm n và các số được viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là a và b. Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AA1, đường trung tuyến BB1 và đường phân giác trong CC1. Gọi DEF,, lần lượt là giao điểm của AA11,, BB CC 1 với (O). Biết ABC111 là tam giác đều. a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều. b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE, N là trung điểm của đoạn thẳng CD, I là giao điểm của AN và FM. Tính AIF. c) Tia CI cắt AF và (O) lần lượt tại J và K. Chứng minh rằng I là trung điểm của CK. JA Tính tỉ số . JF Câu 5 (1,0 điểm). Cho ab, là các số thực dương thỏa mãn a22 b+ ab −2( a ++ b ab) =0. Tìm giá 2 2(a33 b+ ab) ++( 12 ab) − 3 trị nhỏ nhất của biểu thức P = . 2ab HẾT Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 06 trang) I. Một số chú ý khi chấm bài tự luận - Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án – thang điểm Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho phương trình x2 −2( m − 2) xm + 2 −= 5 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 11 biệt xx12, thỏa mãn +=3. xx12 10 3 10 3 b) Chứng minh rằng P =+3322 +− là số nguyên. 99 Nội dung Điểm a) Cho phương trình x2 −2( m − 2) xm + 2 −= 5 0. Tìm m để phương trình có hai 11 1,0 nghiệm phân biệt xx12, thỏa mãn +=3. xx12 2 Tính được ∆=′ (m −3.) m ≠ 3 ∆>′ 0  0,25 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt xx12,0≠ thì ⇔ 5 . 2m −≠ 50 m ≠  2 xx12+=22( m −) Theo Vi-et có  0,25 xx12=25 m − 1 1 xx12+ 11 + =⇔3 =⇔+= 3x1 x 2 3 xx 12 ⇔ 2( m −= 2) 32( m −⇔= 5) m . 0,25 x1 x 2 xx12 4 11 Kết hợp điều kiện kết luận m = là giá trị cần tìm. 0,25 4 10 3 10 3 b) Chứng minh rằng P =+3322 +− là số nguyên. 1,0 99  3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 Ta có P =++−++2 2 323  2 −33 2 ++− 2 0,25 99 9 9 9 9 3310 3 10 3 ⇔=+P433  2 + 2 − .PP ⇔=+ 42 P 0,25 99 P = 2 ⇔−−=⇔−32 ++=⇔ PP240( P 2)( PP 220)  2 0,25 PP+2 += 20 2 Vì PP2 +2 + 2 =( P + 1) +> 1 0, ∀ P nên phương trình PP2 +2 += 20 vô nghiệm. 0,25 Vậy P = 2, hay P là số nguyên (đpcm). Trang 1/6
3. Câu 2 (2,0 điểm). 2 a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 −2 xy ++ 8 x 4( y − 4) = 0. b) Chứng minh rằng nếu mn, là hai số tự nhiên thỏa mãn 2022mm22+= 2023 nn + thì 2022(mn++) 1 là số chính phương. Nội dung Điểm 2 a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 −2 xy ++ 8 x 4( y − 4) = 01( ) 1,0 2 Phương trình (1) ⇔−−+−=x2 244402( yxy) ( ) ( ) Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x, ta cần tìm điều kiện của y để 0,25 phương trình (2) có nghiệm ⇔∆′ ≥0 22 2 ⇔( yy −4) − 4( − 4) =−− 3( y 4) ≥⇔= 0 y 4. 0,25 Với y = 4 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất x = 0. 0,25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là ( xy;) = ( 0;4) . 0,25 b) Chứng minh rằng nếu mn, là hai số tự nhiên thỏa mãn 2022mm22+= 2023 nn + 1,0 thì 2022(mn++) 1 là số chính phương. 2022mm2+ = 2023 nn 2 +⇔ 2022 m 22 − 2022 nmnn + −= 2 0,25 ⇔(mn −)(2022 m + 2022 n += 1) n2 ( 1) . + TH1: Với mn= từ (1) suy ra mn= =0 ⇒ 2022( mn +) += 1 1 là số chính phương. + TH2: Với mn≠⇒ mn −>0. Gọi (mn−; 2022 m + 2022 n += 1) d 0,25 mnd−  ⇒ ⇒n22 d ⇒⇒ nd  md. 2022m++ 2022 nd 1  ⇒2022m + 2022 nd ⇒ 1 d ⇒= d 1. 0,25 ⇒(mn −; 2022 m + 2022 n += 1) 1 hay mn− và 2022mn++ 2022 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. 2 0,25 Mặt khác (mn−)(2022 m + 2022 n += 1) n là số chính phương nên suy ra 2022(mn++) 1 là số chính phương (đpcm). Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình 4xx2 −+−+= 3 15 3 x 1 0. b) Cho hai số thực ab, phân biệt. Quanh đường tròn viết n số thực đôi một khác nhau (n ≥ 3) sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm n và các số được viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là a và b. Nội dung Điểm a) Giải phương trình 4xx2 −+−+= 315310 x (1.) 1,0 3x −≥ 10 2 − + = −⇔ Phương trình 4xx 31531 x  2 2 0,25 4xx−+= 31531( x −)  1 x ≥ ⇔  3 0,25 22 4315961xx−+= xx −+ Trang 2/6
4.  1 x ≥  1  3 x ≥  ⇔32⇔x = ⇔=x 2. 0,25 2  5xx−−= 3 14 0 7 x = −  5 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2. 0,25 b) Cho hai số thực ab, phân biệt. Quanh đường tròn viết n số thực đôi một khác nhau (n ≥ 3) sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm n và các số 1,0 được viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là a và b. Đánh số các số được viết lần lượt là aa12; ; an với a12= aa;. = b Ta có a123= aa; = ba; =−=−=−=−=≡ b aa ; 4 aa ; 5 ba ; 6 a ba ; 7 a a 1 . 0,25 Suy ra n ≤ 6. Mà n ≥ 3 nên n ∈{3; 4; 5; 6} . TH1: n = 3. Ta có a123= aa; = ba; = b − a . Vì a312= a + a ⇒−=+⇒=⇒ baba a0 a2 = a 3(Loại). 0,25 TH2: n = 4. Ta có a123= a; a = b; a =−=− b aa ; 4 a . Vì aaa4= 13 + ⇒− abaa = ⇒2 = 4(Loại). TH3: n = 5. Ta có a123= a; a = b; a =−=−=− b aa ; 4 aa ; 5 b . Vì a514= aa + =⇒=⇒00 b a2 = a 5(Loại). 0,25 TH4: n = 6. Ta có a123= a; a = b; a =−=−=−=− b aa ; 4 aa ; 5 ba ; 6 a b . Dễ thấy a6= aa 15 + luôn thỏa mãn. Để các số aii ( = 1, 6 ) phân biệt thì ab≠≠≠0; a ba ; 2 bb ; ≠ 2 a ( *) . Vậy n = 6 và các số được viết là a123= a; a = b; a =−=−=−=− b aa ; 4 aa ; 5 ba ; 6 a b . 0,25 Trong đó ab, thỏa mãn điều kiện (*.) Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AA1, đường trung tuyến BB1 và đường phân giác trong CC1. Gọi DEF,, lần lượt là giao điểm của AA11,, BB CC 1 với (O). Biết ABC111 là tam giác đều. a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều. b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE, N là trung điểm của đoạn thẳng CD, I là giao điểm của AN và FM. Tính AIF. c) Tia CI cắt AF và (O) lần lượt tại J và K. Chứng minh rằng I là trung điểm của CK. JA Tính tỉ số . JF Trang 3/6
5. Nội dung Điểm a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều. 1,0 1 Xét tam giác AA C vuông tại A có B là trung điểm cạnh AC nên A B= AC 0,25 1 1 1 11 2 1 Suy ra B C= AC ⇒∆ AC C vuông tại C , mà CC là đường phân giác của góc C 11 2 1 1 1 0,25 nên C1 là trung điểm cạnh AB. 1 Lại có A C= B C = AC nên AC là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra A 11 11 2 11 1 0,25 là trung điểm cạnh BC. Vậy ABC,, lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,,. CA AB Suy ra ∆ABC đều 111 0,25 (đpcm). b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE, N là trung điểm của đoạn thẳng CD, 1,0 I là giao điểm của AN và FM. Tính AIF. Vì ∆ABC đều nên AFBDCE là lục giác đều. 0,25 Do đó sđ AF = sđ FB = sđ BD = sđ DC = sđ CE = sđ EA =60 ° . Xét ∆FCM và ∆ADN có FC= AD, CM = DN, FCM = ADN = 60 ° . 0,5 Suy ra ∆=∆FCM ADN (c-g-c) ⇒= DAN CFM. ⇒=⇒ OAI OFI OIAF là tứ giác nội tiếp ⇒= AIF AOF =°60 . 0,25 Trang 4/6
6. c) Tia CI cắt AF và (O) lần lượt tại J và K. Chứng minh rằng I là trung điểm JA 1,0 của CK. Tính tỉ số . JF 1 Ta có ∆OCE và ∆OCD là hai tam giác đều bằng nhau suy ra OM= ON = DE. 2 1 Lại có MN là đường trung bình của tam giác CED⇒= MN DE. Suy ra ∆OMN đều. 0,25 2 ⇒ MON = MIN =60 °⇒ MION,, , cùng thuộc một đường tròn. Lại có OMC= ONC =90 °⇒ O , N , C , M cùng thuộc đường tròn đường kính OC. Vậy 5 điểm OIMCN,, , , cùng thuộc một đường tròn đường kính OC. 0,25 Suy ra OIC= OMC =90 °⇒ OI ⊥ CK ⇒ I là trung điểm của CK. Từ O kẻ OG⊥⊥ FM, OH AN. Gọi L là giao của AN và CF. Ta có ∆=∆AOH FOG (trường hợp đặc biệt của tam giác vuông) ⇒OG = OH ⇒∆ OGI =∆ OHI ⇒ GIO = HIO. OL IL ⇒ OI là phân giác của góc FIL ⇒=. OF IF OL IL 1 Mà L là trọng tâm ∆ADC ⇒ = =⇒=IF3 IL (1). OF IF 3 Gọi bán kính của (O) là R⇒= CE R. 0,25 Xét ∆ECF vuông tại E có EF= CE.tan ECF= R .tan60 °= 3R . RR2 13 ⇒FM = EF22 + EM =3. R 2 += 42 Mà tứ giác OIMC nội tiếp nên FI. FM= FO . FC = 2. R2 2R2 4 13 R IF4 13 R ⇒IF = = ⇒=IL = . FM 13 3 39 Vì tứ giác OIAF nội tiếp nên 4 13R13 RR 3 13 LO LF= IL AL = R2 ⇒ AL = ⇒ AI += IL ⇒ AI = . 9 3 3 13 0,25 1 Dễ có NIC= NOC =30 °= NIM ⇒ IJ là đường phân giác trong góc I của ∆AIF. 2 Trang 5/6
7. JA IA 3 Suy ra = = . JF IF 4 Câu 5 (1,0 điểm). Cho ab, là các số thực dương thỏa mãn a22 b+ ab −2( a ++ b ab) =0. Tìm giá 2 2(a33 b+ ab) ++( 12 ab) − 3 trị nhỏ nhất của biểu thức P = . 2ab Nội dung Điểm Ta có a22 b+ ab −2( a ++ b ab) =⇔ 0 ab( a + b) = 22( a + b) + ab 0,25 22 8 2 ⇔+=ab ++≥2 +⇔ 2 (ab +) −2( ab +) −≥⇒+≥ 8 0 ab 4. a b ab+ 2 2 11 1 Lại có a22 b+ ab −2( a ++ b ab) = 01 ⇔= + ⇔ = − . 0,25 ab a++ b ab2 a b 22 2(a3 b+ ab 3) ++( 12 ab) − 3 2 ab( a22 + b) ++(12 ab) − 3 P = = 22ab ab 2 (12+−ab) 3 2 1 =a22 + b + =(ab +) +−2 0,25 2ab ab 2211 13 =2(ab++−−)  =++(ab) + 22ab++ ab 2264 64 127 3 64 64 127 3 71 =+++−+≥+(ab) 33 (ab) −+=. +++ ++ abab ab2 abab 4 24 0,25 71 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab= = 2. 4 Hết Trang 6/6