Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Chuyên Toán, Tin) - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Chuyên Toán, Tin) - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho thí sinh thi chuyên Toán và chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (3,5 điểm). a) Giải phương trình 4x2 x 3 2 x 2 4x2 b) Giải phương trình 2 x 2 5 x 2 x2 y2 x y 8 c) Giải hệ phương trình 2 2 2x y 3xy 3x 2y 1 0 Câu 2 (1,5 điểm). a) Cho các số nguyên x, y,z thỏa mãn x2 y2 z2 2xyz. Chứng minh rằng xyz chia hết cho 24 2 b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a;b;c) sao cho a b c 2a 2b là số chính phương Câu 3 (1,0 điểm). Cho các số dương a;b;c thỏa mãn a b ab 1 c 6 . Chứng minh rằng: a) a b 2c 10 2a 1 2b 1 2c 2 b) 5 a 1 b 1 c 2 Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình thang ABCD (AD song song với BC, AD < BC). Các điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh AB, CD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường thẳng AD tại M (M không trùng với A và D, D nằm giữa A và M), đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt đường thẳng BC tại điểm N (N không trùng với B và C, B nằm giữa C và N). Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại điểm P, đường thẳng EN cắt đường thẳng FM tại điểm Q. Chứng minh rằng: a) Tứ giác EFQP nội tiếp đường tròn b) PQ song song với BC và tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác PQE, AMF, CEN cùng nằm trên một đường thẳng cố định. c) Các đường thẳng MN, BD, EF đồng quy tại một điểm Câu 5 (1,0 điểm). Thầy Quyết viết các số nguyên 1, 2, 3, ., 2021, 2002 lên bảng. Thầy Quyết thực hiện việc thay số như sau: Mỗi lần thay số, thầy chọn ra hai số bất kì trên bảng, xóa hai số này đi và viết lên bảng số trung bình cộng của hai số vừa xóa. Sau 2021 lần thay số như vậy, trên bảng còn lại duy nhất một số. a) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2021 b) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2006 HẾT
2. ĐÁP ÁN Câu 1 (3,5 điểm) a) Giải phương trình 4x2 x 3 2 x 2 (ĐKXĐ: x 2 ) Bình phương hai vế của phương trình ta được: 2 4x2 x 3 4 x 2 16x 4 x2 9 8x3 6x 24x2 4x 8 16x 4 8x3 23x2 2x 1 0 16x 4 16x3 24x3 24x2 x2 2x 1 0 16x3 x 1 24x2 x 1 x 12 0 x 1 16x3 24x2 x 1 0 x 1 16x3 4x2 20x2 5x 4x 1 0 2 x 1 4x 4x 1 5x 4x 1 4x 1 0 x 1 4x 1 4x2 5x 1 0 x 1 x 1 0 1 4x 1 0 x 4 2 4x 5x 1 0 2 4x 5x 1 0 (*) 2 Giải (*): 5 4.4. 1 41 5 41 x 8 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: 5 41 x 8 5 41  Thử lại vào phương trình đã cho ta được tập nghiệm của phương trình là: S 1;  8  4x2 b) Giải phương trình: 2 (ĐKXĐ: x ) x 2 5 2 x 2 4x2 4x2 4x2 x2 5 0 x 2 (x 2)2 x 2
3. 2 2x 4x2 x 5 0 x 2 x 2 2 x2 4x2 5 0 (1) x 2 x 2 x2 Đặt t , phương trình (1) trở thành: t2 4t 5 0 (2) x 2 Vì 1 4 ( 5) 0 nên phương trình (2) có 2 nghiệm t1 1; t2 5 Với t1 1 ta có: x2 1 x2 x 2 x2 x 2 0 (3) x 2 Vì 1 ( 1) ( 2) 0 nên phương trình (3) có 2 nghiệm x1 1 (tm); x2 2 (tm) Với t2 5 ta có: 2 2 x 2 2 5 15 5 x 5x 10 0 (Vô lí vì x 5x 10 x 0 x R ) x 2 2 4 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 1;2 x2 y2 x y 8 (1) c) Giải hệ phương trình: 2 2 2x y 3xy 3x 2y 1 0 (2) Ta có: (2) (2x2 2xy) (xy y2 ) (x y) (2x y) 1 0 2x(x y) y(x y) (x y) (2x y) 1 0 (x y)(2x y) (x y) (2x y 1) 0 (x y)(2x y 1) (2x y 1) 0 (2x y 1)(x y 1) 0 2x y 1 0 x y 1 0 y 2x 1 y x 1 Thay y 2x 1 vào (1) ta được: 2 x2 2x 1 x 2x 1 8 5x2 7x 6 0 (3) 72 4.5. 6 169
4. 7 169 3 x Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt 2.5 5 7 169 x 2 2.5 3 3 11 Với x y 2. 1 5 5 5 Với x 2 y 2. 2 1 3 2 2 2 Thay y x 1 vào (1) ta được: x x 1 x x 1 8 2x 4x 6 0 (4) Vì 2 4 6 0nên phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt: x 1;x 3 Với x 1 y 2 Với x 3 y 2 3 11  Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: x;y ; ; 2; 3 ; 1;2 ; 3; 2  5 5  Câu 2 (1,5 điểm) 2 2 2 a) Vì x y z 2xyz nên 2xyz chẵn, nên tồn tại ít nhất 1 số chẵn, giả sử là x chẵn. 2 2 2 Khi đó: x  4; 2xyz 4 y z  4 (*) 2 2 Nếu y lẻ y lẻ lẻ z z lẻ y 2k 1 y2 4k 2 4k 1 k;m Z 2 2 z 2m 1 z 4m 4m 1 y2 z2 4k 2 4k 4m2 4m 2 2 2 y z chia 4 dư 2 (không thỏa mãn(*)) Do đó y chẵn và z chẵn y 2; z 2 xyz 8 (1) Giả sử cả 3 số x, y, z đều không chia hết cho 3 vì x; y; z chẵn nên x2;y2;z2 1(mod 3) x2 y2 z2  3 Do đó 2xyz 3 xyz 3 (mâu thuẫn với giả thiết x, y, z đều không chia hết cho 3) Nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 hay xyz 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: xyz 24 Vậy xyz 24
5. 2 b) Đặt A a b c 2a 2b Ta có: 2 2 a b c 1 a b c 2 a b c 1 A 2 2 a b c 1 a b c 2 a b c 1 A 2 2 Nên a b c 1 A a b c 1 2 Mà A chính phương nên A a b c 2 2 a b c 2a 2b a b c 2a 2b a b Vậy tất cả các bộ (a; b; c) cần tìm là (k; k; m) với k, m nguyên dương bất kì Câu 3 (1,0 điểm) a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM: a b 2 a 1 b 1 2 a 1 b 1 ab a b 1 2 a b 2 6 ab a b 1 c c 2 a b 2 2c 12 Suy ra a b 2c 10 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 a b Vậy a b 2c 10 b) Ta có: 2a 1 2b 1 2c 2 5 a 1 b 1 c 2 2a 1 2b 1 2c 2 2 2 2 1 a 1 b 1 c 2 1 1 2 1 a 1 b 1 c 2 1 1 2 1 a 1 b 1 c 2 2 1 1 2 2 2 2 2 Ta có: a 1 b 1 c 2 (a 1)(b 1) c 2 (a 1)(b 1) c 2
6. 1 1 2 8 16 16 1 (đpcm) a 1 b 1 c 2 a b 2 a b 2c 6 10 6 c 2 2 2a 1 2b 1 2c 2 Vậy 5 a 1 b 1 c 2 Câu 4 (3,0 điểm) P Q A D M E F K N B C a) Ta có: ·EQF ·NEF ·QFE 180o ·FCN ·PAD Vì AD // BC nên ·FCN ·PDA (2 góc đồng vị) Do đó: ·EQF 180o ·PDA ·PAD ·EPF Suy ra tứ giác EFQP nội tiếp đường tròn.
7. · o · o · b) Vì tứ giác EFQP nội tiếp nên QPA 180 QFE 180 PAD ·QPA ·PAD 180o Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía PQ // AD Gọi O1 ; O2 ; O3 lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp tam giác PQE; AMF, CEN Do O1 cắt O2 tại E và F nên O1O2  EF (1) Do O2 cắt O3 tại E và F nên O2O3  EF (2) Từ (1) và (2) suy ra O1;O2;O3 thẳng hàng (đpcm) c) Giả sử MN cắt EF tại K. Ta chứng minh B, D, K thẳn hàng Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác MNQ và cát tuyến KEF ta được: KM EN FQ . . 1 KN EQ FM KM EQ FM PQ DM DM Suy ra . . KN EN FQ NB PQ NB Kết hợp với MD // NB, suy ra B, D, K thẳng hàng (đpcm) Câu 5 (1,0 điểm) a) Ta sẽ chỉ ra một cách xóa để số còn lại trên bảng là 2021 Lần 1: Xóa 1; 3 và thay bởi số 2 Lần 2: Xóa 2; 2 và thay bởi số 2 Lần 3: Xóa 2; 4 và thay bởi số 3 Lần k: Xóa k 1; k 1 và thay bởi số k. Lần 2020: Xóa 2019; 2021 và thay bởi số 2020 Lần 2021: Xóa 2021; 2022 và thay bởi số 2021. Lúc này trên bảng chỉ còn lại số 2021. b) Ta cũng chỉ ra được một cách xóa để số còn lại trên bảng là 2006. Chỉ cần chia dãy các số 1; 2; 3; 4; , 2020; 2021; 2022 thành hai phần (hai dãy con) như sau: Dãy 1: 1; 2; 3; 4; ., 2005; 2006 Dãy 2: 2007; 2008; .; 2021; 2022. Bằng thuật toán như phần a với dãy 1 thì sau 2004 bước ta còn lại 2 số 2004, 2006 Bằng thuật toán như phần a với dãy 2 nhưng thực hiện ngược lại từ cuối dãy về đầu dãy thì sau 15 bước ta còn lại 1 số 2008.
8. Nên sau 2019 bước sẽ còn lại 3 số: 2004; 2006; 2008. Và sau 2 bước nữa ta thu được số 2006 trên bảng. Vậy số còn lại trên bảng có thể là số 2006 Nhận xét: Bằng quy nạp theo n, ta có thể chứng minh được bài toán tổng quát sau: Cho các số trên bảng là 1; 2; 3; 4; ;n 1; n. Khi đó ta luôn có thể có cách thực hiện việc thay số để thu được một số k bất kì từ 2 đến n 1