Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG TỈNH QUẢNG NAM THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TOÁN (Chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm có 01 trang) Khóa thi ngày: 14-16/6/2022 Câu 1. (2,0 điểm) a) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức A=3 507 +− 13 48 − 25 . b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn xx32+=+ yy 32. Câu 2. (1,0 điểm) Cho parabol (P):yx= 2 2 và đường thẳng (d): y= ax + b . Tìm các hệ số ab, biết 3 rằng (d) đi qua điểm A 1; và có đúng một điểm chung với (P). 2 Câu 3. (2,0 điểm) a) Giải phương trình 33−−xx 2 3 +− x 9 − x2 + 6 x = 0. x22+4 y ++− 424 x y xy = 3 b) Giải hệ phương trình  . 22 4x++−+ y 244 x y xy = 3 Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP của đường tròn (O) vuông góc với BC tại M (P nằm trên cung nhỏ BC). Tia phân giác của ABC cắt AP tại I. a) Chứng minh PI = PB. b) Chứng minh IMB = INA. Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O. Lấy điểm D bên trong tam giác ABC sao cho BDC = 2BAC (AD không vuông góc với BC). a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh OD là đường phân giác ngoài của BDC và tổng BD + CD bằng hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD. Câu 6. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương xyz,, thỏa mãn xyz =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 111 P =++. 444++xy2 2 ++ yz 22 ++ zx 22 HẾT * Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. * Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG TỈNH QUẢNG NAM THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 HƯỚNG DẪN CHẤM HDC CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm 07 trang) Câu Nội dung Điểm a) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức A=3 507 +− 13 48 − 25 1,0 A=3 13 3 +− 13 4 3 − 25 0,25 A=3 13 3 +− (1 2 3)2 − 25 0,25 A=3 15 3 − 26 0,25 A=3 (32) −=−3 32 0,25 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn xx32+=+ yy 32 1,0 Ta có: xx32+=+⇔− yy 32 ( xyxyxyxy )( 22 ++++=) 0 0,25 xy−=0 ⇔  22 x+ y + xy ++= x y 0 0.25 Câu 1 - Khi xy−=⇔=0 xy. Khi đó (;)xy= ( mm ; )(m là số nguyên tùy ý) (2,0) - Khi x22+ y + xyxy ++=⇔0 ( xy + )2 + ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = 2 . 0.25 Suy ra trong ba giá trị (xy+ )222 , ( x ++ 1) , ( y 1) có một giá trị bằng 0, hai giá trị bằng 1. Giải tìm được: (xy ; )= (0;0) , (xy ; )= (0 ; − 1) , (xy ; )= ( − 1;0) . 0.25 Vậy các cặp số thỏa đề là: (;)xy= ( mm ; )(m là số nguyên tùy ý), (xy ; )= (0 ; − 1) , (xy ; )= ( − 1;0) . Nhận xét: x22+ y + xyxy ++=⇔0 x2 + ( y + 1) xy +2 += y0 (*) + Phương trình (*) có nghiệm theo x khi 0.25 1 ∆≥⇔+0 (y 1)22 − 4( yy +≥⇔+−+≥ ) 0 ( y 1)( 3 y 1) 0 ⇔−1 ≤yy ≤( ∈ ) 3 ⇔=−y 1 hoặc y = 0. + Với y = 0, giải tìm được xx=0, = − 1. + Với y = −1, giải tìm được x = 0. 0.25 Trang 1/7
3. Câu Nội dung Điểm Cho parabol (P):yx= 2 2 và đường thẳng (d): y= ax + b . Tìm các hệ số ab, biết rằng 3 1,0 (d) đi qua điểm A 1; và có đúng một điểm chung với (P). 2 3 33 + (d): y= ax + b đi qua A 1; nên ab+= ⇔= b − a. 0,25 2 22 + Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 223 2 0,25 Câu 2 22x= ax +⇔ b x = ax + − a ⇔4x − 2 ax + 2 a −= 30 (*) (1,0) 2 + (d) và (P) có đúng một điểm chung khi phương trình (*) có một nghiệm duy nhất 22a=2 0,25 ⇔∆=⇔−' 0a 4(2 a −=⇔−+= 3) 0 aa 8 12 0 ⇔  a=6 19 +ab =⇒=−2 ,6 ab =⇒=− 22 0,25 1 9 Vậy ab=2, =− hoặc ab=6, =− . 2 2 Trang 2/7
4. Câu Nội dung Điểm a) Giải phương trình 33−−xx 2 3 +− x 9 − x2 + 6 x = 0. 1,0 30−≥x Điều kiện:  ⇔−33 ≤x ≤ . 0,25 30+≥x 33−−xx 2 3 +− x 9 − x2 + 6 x = 0⇔3 −x( 3 − 3 + xx) − 2( 3 +− x 30) = 33− +=x 0 0,25 ⇔(3 − 3 +x )( 3 −+ xx 2 ) = 0 ⇔   3−+xx 20 = + 33− +=⇔=xx 0 6(loại) 0,25 x ≤ 0 −≥20x  −+ =⇔ ⇔= − ⇔=− + 3xx 202 x 1 x1 (thỏa điều kiện) 3−=−xx (2)  0,25 x = 3/4 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = −1. x22+4 y ++− 424 x y xy = 3 b) Giải hệ phương trình  22 1,0 4x++−+ y 244 x y xy = 3 x22+4 y ++− 424 x y xy = 3x22−4 xy + 4 y ++= 423 x y  ⇔  22 22 4x++−+ y 244 x y xy = 3 4x+ 4 xy ++−= y 24 x y 3 0,25 (x−++= 2 y )2 2(2 xy ) 3 ⇔  2 (2xy++−= ) 2( x 2 y ) 3 Đặt − = +=, khi đó ta có hệ: Câu 3 x2 yaxyb ,2 (2,0) ab2 +=23  ⇒−+−ab2222 ba = 0⇔−()()2()0abab +− ab −= 0,25 2 ba+=23 ⇔(a − ba )( +− b 2) =⇔ 0 a = b hoặc ab+=2 - Với ab= , ta có aa2 +23 =⇔= a 1 hoặc a = −3. a=1 xy −= 21 31 + Khi a =1 thì ⇔ ⇔=−(;xy ) ; b=12 xy += 1 55 0,25 a=−3 xy −=− 23 93 + Khi a = −3 thì ⇔ ⇔=−(;xy ) ; b=−32 xy +=− 3 55 - Với ab+=⇔=−22 a b, khi đó b22+2(2 − b ) = 3 ⇔ bb − 2 += 1 0 ⇔ b =⇒ 1 a = 1 (Trường hợp này trùng trường hợp trên). 0,25 31 93 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (;xy )= ; − và (;xy )= − ; . 55 55 Nhận xét 1: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất ta được: 3xyxyxy22− 3 −−+ 2 6 8 =⇔ 0 3( xxyy2 + 6 + 9 2 ) − 30 y 2 − 10 xyxy −−= 2 6 0 ⇔3(xy + 3 )2 − 10 yyx (3 + ) − 2( xy + 3 ) =⇔ 0 ( xyxy + 3 )(3 −− 2) = 0 Nhận xét 2: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất ta được: 3xyxyxy22−−−+=⇔−− 3 2 6 8 0 3 x2 2(1 4 yxyy ) −−= 32 6 0 (*) Phương trình (*) là phương trình bậc hai theo x có ∆=' (1 + 5y ) 2 . y + 2 Suy ra được: xy= −3 , x = . 3 Thế lần lượt từng giá trị x vào một trong hai phương trình giải tìm y. Trang 3/7
5. Câu Nội dung Điểm Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP của đường tròn (O) vuông góc với BC tại M (P nằm trên cung nhỏ BC). Tia phân giác của ABC cắt AP tại I. Câu 4 (2,0) (Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 điểm) a) Chứng minh PI = PB. 0,75 Ta có BAP = CAP (vì sđ BP = sđ CP ) . 0,25 BIP = BAI + ABI = PAC + CBI = PBC + CBI = PBI. 0,5 Suy ra tam giác PBI cân tại P. Do đó PI = PB. b) Chứng minh IMB = INA. 1,0 BP NP IP NP + Trong tam giác vuông BNP tại B có: BP2 = MP.NP ⇒ = hay = . 0,25 MP BP MP IP IP NP + Hai tam giác PMI và PIN có: IPM = NPI và = nên hai tam giác này đồng dạng. MP IP 0,5 Suy ra PMI= PIN . + Ta có IMB = PMI − 900 , INA = PIN −− IAN = PMI 900 . Suy ra IMB = INA. 0,25 Trang 4/7
6. Câu Nội dung Điểm Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O. Lấy điểm D bên trong tam giác ABC sao cho BDC = 2BAC (AD không vuông góc với BC). 0,25 Câu 5 (2,0) (Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 điểm) a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên một đường tròn. 0,75 Ta có BDC = 2BAC (gt), BOC = 2BAC (t/c góc ở tâm)⇒=BDC BOC . 0,5 Mà O, D nằm cùng phía đối với đường thẳng BC nên bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên 0,25 một đường tròn. b) Chứng minh OD là đường phân giác ngoài của BDC và tổng BD + CD bằng hai lần 1,0 khoảng cách từ A đến đường thẳng OD. - Dựng đường kính OP của đường tròn (O’) đi qua 4 điểm B, O, D, C. 1 1 ⇒=BDP sđ BP , CDP = sđ CP . 2 2 0,25 + OP⊥⇒ BC sđ BP = sđ CP ⇒=BDP CDP . Do đó DP là đường phân giác trong của BDC . Lại có OD⊥⇒ DP OD là đường phân giác ngoài của BDC . + Dựng đường thẳng qua C, vuông góc với OD và cắt đường thẳng BD tại C’. + Vì OD là đường phân giác ngoài của BDC nên DC = DC’ và OC = OC’ (C’ nằm trên 0,25 đường tròn (O)). + Ta có: BD + CD = BD + DC’ = BC’ = 2BK (với K là trung điểm của BC’). 0,25 + Hạ AL vuông góc với đường thẳng OD tại L. - Xét hai tam giác vuông ALO và BKO có: + OA = OB ( bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). + OAL = OPD (so le trong) 0,25 Suy ra hai tam giác ALO và BKO bằng nhau. Do đó BK = AL. Suy ra BD + CD = 2AL (điều cần chứng minh). Trang 5/7
7. Cách khác: Kẻ AL⊥ OD tại L . Trên tia đối của tia DB lấy điểm C' sao cho DC'= DC , do đó BD+= DC BC' (1) Tam giác DCC' cân tại D nên BDC = 2.BC'C , từ đó suy ra BAC = BC'C , do đó điểm C' thuộc đường tròn (O) Có OC= O'C, DC = DC' nên OD là đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài của BDC . Gọi E là giao điểm của OD và BC, chứng minh được DBC = C'OE (cùng bằng DOC ) Hay C'BE = C'OE , do đó bốn điểm B,O,C',E cùng thuộc một đường tròn. Suy ra OBC' = OEC' ( cùng chắn cung OC’) Mặt khác OEB = OEC' , do đó OEB = OBC' . Lại có LAO = OEB ( góc có cạnh tương ứng vuông góc), suy ra LAO = OBC ' Kẻ OK⊥ BC' tại K , suy ra BC'= 2BK Ta có ∆=∆ALO BKO ( cạnh huyền, góc nhọn), suy ra AL= BK Suy ra BC '= 2AL (2) Từ (1) và (2) suy ra BD+= DC 2AL Trang 6/7
8. Câu Nội dung Điểm Cho ba số thực dương xyz,, thỏa mãn xyz =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 111 1,0 P =++. 444++xy2 2 ++ yz 22 ++ zx 22 444 xy2+ 2 yz 22 ++ zx 22 4P = + + =−111 +− +− 444++xy2 2 ++ yz 22 ++ zx 22 4 ++ xy 2 2 4 ++ yz 22 4 ++ zx 22 0,25 xy2+ 2 yz 22 ++ zx 22 =−++ 3 2 2 22 22 444++xy ++ yz ++ zx 1(xy+ )(2 +− xy ) 2 ( yz + )( 22 +− yz ) ( zx + )( 22 +− zx ) =− ++ 3 2 2 22 22 24++xy4 ++ yz4 ++ zx 1()()()1()()()xy+222 yz ++ zx xy − 222 yz −− zx =−++ − ++ 3 2 2 22 22 2 2 22 22 0,25 24++xy 4 ++ yz 4 ++ zx 24 ++ xy 4 ++ yz 4 ++ zx 1()()()xy+222 yz ++ zx ≤− + + 3 2 2 22 22 (*) 24++xy 4 ++ yz 4 ++ zx (xy+ )222 ( yz + ) ( zx + ) 4( xyz++ ) 2 2( xyz++ ) 2 Ta có: ++≥ = 4++xy2 2 4 ++ yz 22 4 ++ zx 22 2( xyz 2 ++ 22 ) + 12 xyz 2 +++ 226 2(xyz++ )2 Ta đi chứng minh: ≥ ( ). 2 22 2 xyz+++6 0,25 2(xyz++ )2 Thật vậy ≥⇔2(xyz ++ )2 ≥ x 2 + y 22 + z +6⇔++≥xy yz zx 3 Câu 6 xyz2+++ 226 (1,0) xy++≥ yz zx 3 là bất đẳng thức đúng vì xy++≥ yz zx3(3 xyz )2 = 3 (bđt Cô si) 11 Từ (*) và ( ) suy ra 4PP≤− 3 .2 =⇒ 2 ≤ (Dấu “=” xảy ra khi xyz= = =1). 22 0,25 1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là bằng . 2 111zxy Cách khác: P ≤++=++ 42+++xy 42 yz 42 zx 4 z +++ 2 4 x 2 4 y 2 0,25 31 1 1 1 =−++ 442xyz+++ 12 12 1 Đặt x= ay333,, = bz = c. Khi đó abc,,> 0 và abc =1 111 abc abc abc ++= + + 2x+++ 12 y 12 z 12 a333 + abc 2 b + abc 2 c + abc 0,25 bc ca ab() bc 222 ()ca ()ab =++= + + 2a222222+++ bc 2 b ca 2 c ab 2. ab ca + () bc 2. ab bc + () ca 2. bc ca + () ab ()bc++ ca ab 22 ()bc++ ca ab ≥==1 0,25 2.ab ca+ () bc222 + 2. ab bc + () ca + 2. bc ca + () ab ( bc ++ ca ab ) 2 31 1 Suy ra P ≤−= (Dấu “=” xảy ra khi xyz= = =1). 442 0,25 1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là bằng . 2 HẾT * Lưu ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong HDC nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như HDC quy định. Trang 7/7