Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Ngày thi: 11/06/2021 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2 điểm) x 1 1 2 1. Cho biểu thức P : với x 0 ; x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 a. Rút gọn biểu thức P . b. Tìm giá trị của P khi x 4 2 3 . x 2y 6 2. Giải hệ phương trình . 2x 3y 7 Câu 2. (2 điểm) 1. Cho phương trình x2 m 3 x 2m 2 3m 0 với m là tham số. Hãy tìm giá trị của m để x 3 là nghiệm của phương trình và xác định nghiệm còn lại của phương trình (nếu có). 2. Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2m 1 x 2m với m là tham số. Tìm m để P cắt d tại 2 điểm phân biệt A x1 , y 1 ; B x2 , y 2 sao cho y1 y 2 x 1 x 2 1. Câu 3. (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một xe máy khởi hành tại địa điểm A đi đến địa điểm B cách A 160 km, sau đó 1 giờ, một ô tô đi từ B đến A . Hai xe gặp nhau tại địa điểm C cách B 72 km. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 20 km/giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ACB 90  nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi M là trung điểm BC , đường thẳng OM cắt cung nhỏ BC tại D , cắt cung lớn BC tại E . Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB, H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AE . a. Chứng minh rằng tứ giác BEHF là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh rằng MF AE . c. Đường thẳng MF cắt AC tại Q. Đường thẳng EC cắt AD, AB lần lượt tại I và K . Chứng minh EC EK rằng EQA 90  và . IC IK Câu 5. (1 điểm) 1 1 1 1 Cho các số dương a , b , c thỏa mãn 2 . Chứng minh rằng abc . 1a 1b1c 8 ___ HẾT ___ 1
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (2 điểm) x 1 1 2 1. Cho biểu thức với ; . P : x 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 a. Rút gọn biểu thức P . x 1 1 2 x x 1 x 1 x 1 2 Lời giải: Ta có P: : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 P  . Vậy P với x 0 ; x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 b. Tìm giá trị của P khi x 4 2 3 . 2 Lời giải: Khi x 4 2 3 thì x 4 2 3 3 1 3 1. 4 2 3 1 5 2 3 5 3 6 Do đó P . 3 1 1 3 3 x 2y 6 2. Giải hệ phương trình . 2x 3y 7 x 2y 6 2x 4y 12 y 5 Lời giải: Ta có . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2x3y7 2x3y7 x 4 x; y 4;5 . Câu 2. (2 điểm) 1. Cho phương trình x2 m 3 x 2m 2 3m 0 với m là tham số. Hãy tìm giá trị của m để x 3 là nghiệm của phương trình và xác định nghiệm còn lại của phương trình (nếu có). Lời giải: x2 m 3 x 2m 2 3m 0 1 . Để x 3 là nghiệm của phương trình 1 thì 32 3 m 3 2m 2 3m 0 2m 2 0 m 0. 2 x 0 Khi m 0 thì 1 trở thành x 3x 0 x x 3 0 . Vậy nghiệm còn lại là x 0 . x 3 2. Cho Parabol P : y x 2 và đường thẳng d : y 2m 1 x 2m với m là tham số. Tìm m để P cắt d tại 2 điểm phân biệt A x1 , y 1 ; B x2 , y 2 sao cho y1 y 2 x 1 x 2 1. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là x2 2m 1 x 2m 0 1 . Phương trình 1 có 2m 12 4.2m 4m2 4m 1 8m 4m 2 4m 1 2m 1 2 . Để P cắt d tại 2 điểm phân biệt A x1 , y 1 ; B x2 , y 2 thì phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt 1 x ; x , điều này xảy ra khi và chỉ khi 0 m . 1 2 2 x1 x 2 2m 1 Ta có y1 2m1x 1 2m ; y2 2m 1 x 2 2m và theo Định lý Viét thì . xx1 2 2m 2
3. Ta có y1 y 2 xx 1 2 1 2m1x 1 2m 2m1x 2 2mxx 1 2 1 m 0 2 2 2m1x 1 x 2 xx 1 2 4m10 2m1 2m4m10 4m 2m0 1 . m 2 Kết hợp với điều kiện thì ta được m 0 là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 3. (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một xe máy khởi hành tại địa điểm A đi đến địa điểm B cách A 160 km, sau đó 1 giờ, một ô tô đi từ B đến A . Hai xe gặp nhau tại địa điểm C cách B 72 km. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 20 km/giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Lời giải: Gọi x km / h là vận tốc của xe máy x 0 . Suy ra vận tốc của ô tô là x 20 km / h . 72 Quãng đường ô tô đi từ B đến C là 72 km và thời gian ô tô đi từ B đến C là h . x 20 88 Quãng đường xe máy đi từ A đến C là 160 72 88 km và thời gian xe máy đi từ A đến C là h . x Vì ô tô xuất phát sau xe máy 1h và hai xe gặp nhau tại C nên ta có phương trình 88 72 2 x 40 tm 1 88 x 20 72x x x 20 x 4x 1760 0 . x x 20 x 44 ktm Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h, vận tốc của ô tô là 40 20 60 km/h. Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ACB 90  nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi M là trung điểm BC , đường thẳng OM cắt cung nhỏ BC tại D , cắt cung lớn BC tại E . Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB, H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AE . a. Chứng minh rằng tứ giác BEHF là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh rằng MF AE . c. Đường thẳng MF cắt AC tại Q. Đường thẳng EC cắt AD, AB lần lượt tại I và K . Chứng minh EC EK rằng EQA 90  và . IC IK Lời giải: C a. Tứ giác BEHF có hai đỉnh H , F kề nhau D cùng nhìn đoạn BE dưới một góc 90 nên nội M tiếp đường tròn đường kính BE. I b. Vì M là trung điểm của BC nên OM BC . A F B Tứ giác BEFM có hai đỉnh F, M kề nhau cùng K nhìn đoạn BE dưới một góc 90 nên nội tiếp O đường tròn đường kính BE. Do đó BFM BEM Q (cùng chắn BM ) 1 . Ngoài ra, trong O , ta có BAD BED (cùng chắn AD ) 2 . H Từ 1 và 2 suy ra BFM BAD , mà hai góc E này ở vị trí đồng vị nên AD// MF . Ta có DAE 90  vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên AD AE . Từ đó suy ra MF AE . 3
4. c. Ta có ED là đường trung trực của BC nên EB EC 3 , do đó CBE BAE . Ngoài ra CBE QAE (tứ giác ACBE nội tiếp). Từ đó suy ra QAE FAE . Tam giác AQF có đường cao từ A đồng thời là đường phân giác nên AQF cân tại A và AE là đường trung trực của QF . Vì AQE AFE c.c.c nên EQA EFA 90 . Ta có D là điểm chính giữa của BC nên CAD BAD hay AI là phân giác của CAK . Suy ra IC AC 4 . IK AK EB AC Vì EKB # AKC g.g nên 5 . EK AK EC IC ECEK Từ 3 , 4 và 5 ta được hay . EK IK IC IK Câu 5. (1 điểm) 111 1 Cho các số dương a , b , c thỏa mãn 2 . Chứng minh rằng abc . 1 a 1 b 1 c 8 1 1 1 bcbc Lời giải: Ta có 1 1 2 1 . 1a 1b 1c 1b1c 1 b 1 c 1ac 1ab Tương tự, ta cũng có 2 2 và 2 3 . 1b 1 a 1 c 1c 1 a 1 b Nhân ba bất đẳng thức 1 , 2 và 3 vế theo vế, ta được 1abc22 2 1 8 abc . 1a1b1c 1a 2 1b 2 1 c 2 8 abc Đẳng thức xảy ra khi a b c 2 . 1a 1b 1c 4