Đề kiểm tra khảo sát chất lượng vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2022-2023 - Phòng giáo dục và đào tạo Thọ Xuân (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra khảo sát chất lượng vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2022-2023 - Phòng giáo dục và đào tạo Thọ Xuân (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG VÀO LỚP 10 THPT THỌ XUÂN NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày kiểm tra: 02/6/2022 (Đề gồm 01 trang, 05 câu) Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 25xy−= a) x2 - 3x - 4 = 0 b) xy+31 = − Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức: x 2x3x21 ++x P = + + : với x ≥ 0, x ≠ 4. x - 2x + 22 4 - x x + a) Rút gọn P. 5 b) Tìm x để P = x +1 Câu 3 (2,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = (m + 1)x – m + 3 (m là tham số ) a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm A và B phân biệt với mọi giá trị của m b) Gọi tọa độ điểm A và điểm B là A (x1; y1) và B(x2; y2). Tìm m để 2y1 + 2y2 = (m + 1)x2 + 2 + 8 Câu 4 (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB, I là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB. Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I, d cắt nửa đường tròn (O) tại K. Lấy điểm M bất kỳ thuộc cung nhỏ BK, tia BM cắt đường thẳng d tại điểm C, đoạn thẳng AM cắt đường thẳng d tại điểm N, AC cắt nửa đường tròn (O) tại D. a) Chứng minh tứ giác BMNI là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ba điểm B, N, D thẳng hàng và tính AD.AC + BM.BC theo R c) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC. Chứng minh O’ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi M di chuyển trên cung nhỏ KB 1 1 1 Câu 5 (1,0 điểm): Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: + + =1. Tìm giá trị nhỏ nhất x2 y 2 z 2 y2 z 2 z 2 x 2 x 2 y 2 của biểu thức: P = + + . x( y2+ z 2) y( z 2 + x 2) z( x 2 + y 2 ) HẾT Họ và tên thí sinh: SBD
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT THỌ XUÂN LƯỢNG VÁO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang) Câu Nội dung Biểu điểm Câu a, Phương trình x2 - 3x - 4 = 0 là phương trình bậc hai có −c 0,25 1 a - b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm là: x1 = -1; x2 = = 4. a 0,5 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = −1;4 0,25 25xy−= b, xy+=31 − 0,25 6315xy−= xy+=−31 0,25 714x= 0,25 xy+=−31 x = 2 y =−1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x; y) = (2; -1) 0,25 Câu a) Với x ≥ 0, x ≠ 4 ta có : 2 x 2x3x21 ++x P = + + : x - 2x + 22 4 - x x + x (x +2) + 2x (x - 2) - (3x2)2 ++x P = . 0,25 (x - 2) (x + 2)1 x + x + 2 x + 2x - 4 x - 3x - 2x + 2 = . 0,25 ( x +2) ( x - 2)x + 1 -2xx - 2+ 2 = . 0,25 ( x + 2) ( x - 2)x + 1 −2( x + 1)x + 2 = . ( x + 2) ( x - 2)x + 1 0,25 −2 = x -2 Kết luận :
3. b) Với x ≥ 0, x ≠ 4 ta có: 5 P = x +1 −25 = xx−+21 = −2( xx + 1) = 5( − 2) 0,25 −2xx − 2 = 5 − 10 0,25 −2xx − 5 = 2 − 10 −78x = − 8 0,25 =x 7  (thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25 Vậy Câu Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 3 2x2 = (m + 1)x – m + 3  2x2 - (m + 1)x + m - 3 = 0 (1) 0,25 Phương trình trên là phương trình bậc hai có: (m + 1)2 – 4.2.(m-3) = m2 + 2m + 1 – 8m + 24 0,25 = m2 – 6m + 25 = (m – 3) 2 + 16 Vì (m – 3)2 0 m nên (m – 3)2 + 16 16 > 0 m 0,25 Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m 0,25 Do đó đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m b) Vì x1; x2 là hoành độ giao điểm nên x1; x2 là nghiệm của phương trình (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 0,25 Vì A (x ; y ) và B(x ; y ) là tọa độ giao điểm của (d) và (P) nên 1 1 2 2 y1 = 2 ; y2 = 2
4. Ta có: 2y1 + 2y2 = (m+1)x2 + 2 + 8  4 4 = 2.( )x2 + 2 + 8 0,25  4 4 = 2. + 2 + 2 + 8  2 2 - 2. - 8 = 0 2  2(x1 + x2) – 6x1x2 - 8 = 0  2. – 8 = 0   m2 + 2m + 1 – 6m + 18 – 16 = 0  m2 – 4m + 3 = 0 0,25  0,25 Vậy m Câu 4 0,25 a) Chứng minh tứ giác BMNI là tứ giác nội tiếp Ta có:
5. = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25 = 900 (Gt) 0,25 0,25 Do đó: + = 900 + 900 = 1800 Suy ra tứ giác BMNI là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh ba điểm B, N, D thẳng hàng và tính AD.AC + BM.BC theo R - Chứng minh N là trực tâm của tam giác ABC và BD vuông góc với AC suy ra B, 0,25 N, D thẳng hàng. - Chứng minh đồng dạng với , suy ra: 0,25 AD.AC = AI.AB (1) - Chứng minh đồng dạng với , suy ra: 0,25 BM.BC = BI.BA (2) Từ (1) và (2) suy ra: AD.AC + BM.BC = AI.AB + BI.BA 0,25 = AB(AI + BI) = AB.AB = 4R2 c) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC. Chứng minh O’ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi M di chuyển trên cung nhỏ KB Lấy điểm E đối xứng với điểm B qua điểm I. Vì điểm I và điểm B cố định nên điểm E cố định. 0,25 Tam giác NBE cân tại N (vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến) suy ra: Mà (cùng phụ với ) nên . 0,25 Suy ra tứ giác AENC là tứ giác nội tiếp Do đó đường tròn ngoại tiếp tứ giác AENC cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC . Tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC cũng chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AENC. 0,25
6. Suy ra: O’A = O’E hay O’ nằm trên đường trên đường trung trực của đoạn thẳng AE cố định. 0,25 Vậy khi M di chuyển trên cung nhỏ KB thì tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC luôn nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AE cố định Câu 1 1 1 Đặt =a;; = b = c thì abc, , 0 và abc2+ 2 + 2 =1. 5 x y z a b c a2 b 2 c 2 P =2 2 + 2 2 + 2 2 =2 + 2 + 2 b+ c c + a a + b a(1− a) b( 1 − b) c( 1 − c ) 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có 2223 22222 2 112114 aaa+−+− aaaaa(1.2(1)(1)−=−− =) 22327 0,25 233 a2 − aaa(1)(1)22 33 aa(1)2− 2 22 bc3 3322 3 Tương tự: bc(2);(3) bbcc(1)2(1)2−−22 0,25 3333 Từ (1); (2); (3) suy ra: Pabc ++= ( 222 ) . 22 1 Đẳng thức xảy ra ===abc hay xyz=== 3. 3 0,25 33 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là . xảy ra khi 2 Chú ý: - Nếu học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa - Bài 2b nếu học sinh không so sánh giá trị tìm được của x với ĐKXĐ thì trừ 0,25 điểm