Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hòa Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hòa Bình (Có đáp án)

1. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu I (2,0 điểm). 1) Tìm điều kiện xác định: 5 a) Ax= − 4 b) B = x − 2 2) Rút gọn: 2 a) A =75 − 3 b) B =( 21 +−) 2 Lời giải 1) Tìm điều kiện xác định: a) Ax= − 4 Biểu thức Ax= − 4 xác định khi và chỉ khi xx−≥⇔≥40 4. Vậy Ax= − 4 xác định khi và chỉ khi x ≥ 4 . 5 b) B = x − 2 5 Biểu thức B = xác định khi và chỉ khi xx−≠⇔≠20 2. x − 2 5 Vậy B = xác định khi và chỉ khi x ≠ 2 . x − 2 2) Rút gọn: a) A =75 − 3 Ta có: a) A =75 −= 3 5 3 −= 3 4 3 Vậy A = 43. 2 b) B =( 21 +−) 2 2 Ta có: b) B =( 21 +−=+−=) 2 21 21 Vậy B =1. Câu II (2,0 điểm). 1) Vẽ đồ thị hàm số: yx=−+23. 2 2) Cho phương trình x−4 xm + −= 10. Tìm m để phương trình có hai nghiệm xx12; thỏa 22 mãn xx12+=14 . Lời giải 1) Vẽ đồ thị hàm số: yx=−+23. Trang: 1.
2. Ta có bảng giá trị: x 0 1 yx=−+23 3 1 Đồ thị hàm số: 2) Ta có: ∆='22 −(mm − 1) = 5 − Để phương trình có hai nghiệm xx12; thì ∆≥'0 ⇔m ≤ 5 Áp dụng định lí Vi-et ta có: xx12+=4  xx12= m −1 22 Theo bài ta ta có: xx12+=14 2 ⇔+( x1 x 2) −2 xx 12 = 14 ⇔42 − 2(m −= 1) 14 ⇔=m2/( tm) 2 22 Vậy với m = 2 thì phương trình x−4 xm + −= 10 có hai nghiệm xx12; thỏa mãn xx12+=14. Câu III (3,0 điểm). 1) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , biết HB= 2 cm , HC= 8 cm . Tính độ dài các cạnh AB, AC . 2) Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 200km , đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của ô tô và xe máy, biết rằng nếu vận tốc của ô tô tăng thêm 10km / h và vận tốc của xe máy giảm đi 5/km h thì vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy. Trang: 2.
3. 3xy−+ 6 7 += 5 27 3) Giải hệ phương trình:   xy−+62 += 58 Lời giải 1) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC , đường cao AH ta có: AH2 = BH. CH = 2.8 = 16 ` ⇒=AH4 ( cm) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH , ta có: AB2= AH 2 + HB 2 =+=4 22 2 20 ⇒=AB25( cm) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ACH , ta có: AC2= AH 2 + HC 2 =+=4 22 8 80 ⇒=AC45( cm) Vậy AB= 25( cm) ; AC= 45( cm) 2) Gọi vận tốc của ô tô và vận tốc của xe máy lần lượt là x,/ y( km h) (ĐK: xy,0> ) Sau 2 giờ ô tô đi được quãng đường là: 2x( km) Sau 2 giờ xe máy đi được quãng đường là: 2y( km) Vì hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 200km , đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có phương trình: 2x+ 2 y = 200 ⇔+= xy 100( 1) Nếu vận tốc của ô tô tăng thêm 10km / h thì vận tốc mới của ô tô là: x+10( km / h) Nếu vận tốc của xe máy giảm đi 5/km h thì vận tốc mới của xe máy là: y− 5/( km h) Vì vận tốc của ô tô tăng thêm 10km / h và vận tốc của xe máy giảm đi 5/km h thì vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình: x+10 = 2( y − 5) ⇔− xy 2 =− 20( 2) Trang: 3.
4. xy+=100 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  xy−=−2 20 3yy= 120 = 40 ⇔⇔(tm/ ) xy−=−2 20 x = 60 Vậy vận tốc của ô tô là 60km / h và vận tốc của xe máy là 40km / h . xx−≥60 ≥ 6 3) ĐKXĐ: ⇔ yy+50 ≥ ≥− 5 ax= − 6 3ab+= 7 27 Đặt  (ab;0≥ ) , hệ phương trình trở thành:  by= + 5 ab+=28 3ab+= 7 27 3 ab += 7 27 a = 2 ⇔⇔⇔(tm/ ) 3ab+= 6 24 b = 3 b =3  x −=62 xx−=6 4 = 10 ⇒ ⇔⇔ (tm/ )  y +=53 yy+=59 = 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( xy;) = ( 10; 4). Câu IV (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD , các điểm MN, thay đổi trên các cạnh BC, CD sao cho góc MAN bằng 45° ( MN, không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi PQ, lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD . Chứng minh rằng: 1) Tứ giác ABMQ và tứ giác MNQP là các tứ giác nội tiếp. 2) NA là phân giác của góc MND . 3) MN tiếp xúc với một đường tròn cố định Lời giải 1) Tứ giác ABMQ và tứ giác MNQP là các tứ giác nội tiếp. Trang: 4.
5. Ta có: MAN =45 ° hay MAQ =45 ° Lại có: CBD =45 ° (do BD là đường chéo của hình vuông ABCD ) nên MBQ =45 ° Do đó MAQ = MBQ =45 ° suy ra tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng chắn một cạnh dưới các góc bằng nhau) Suy ra QMA = ABQ =45 ° (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AQ ) ⇒=°QMP 45( 1) Ta có: DBC =45 ° (do BD là đường chéo của hình vuông ABCD ) nên NDP =45 ° Mà MAN =45 ° nên PAN =45 ° Do đó NDP = PAN =45 ° suy ra tứ giác MNQP là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng chắn một cạnh dưới các góc bằng nhau) (đpcm). 2) NA là phân giác của góc MND . Do tứ giác ADNP là tứ giác nội tiếp (cmt) nên APN+=° ADN 180 . Mà ADN =90 ° (do ABCD là hình vuông) nên APN =90 ° Xét tam giác vuông ADN ta có: DNA =90 °− DAN = 90 °− DPN = 90 °− QPN ( DAN = DPN do là hai góc nội tiếp cùng chắn cung DN ) Do tứ giác MNQP nội tiếp đường tròn (cmt) nên QNM = APQ =90 °− QPN (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp) Do đó DNA = QNM suy ra DNA = ANM hay NA là phân giác của góc MND (đpcm). 3) MN tiếp xúc với một đường tròn cố định Gọi H là giao điểm của NP và MQ . Vì tứ giác ABMQ nội tiếp (cmt) nên ABM+=° AQM 180 Mà ABM= ABC =90 °⇒ AQM =90 °⇒ MQ ⊥ AN Lại có APN=°90 ( cmt) ⇒⊥ NP AM Mà H là giao điểm của NP và MQ ⇒ H là trực tâm của tam giác AMN . Gọi I là giao điểm của AH và MN . Suy ra AI⊥ MN (Do AI là đường cao thứ ba của tam giác AMN ) Ta có tứ giác ABMQ nội tiếp (cmt) nên AQB= AMB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) Mà tứ giác MPQN nội tiếp (cmt) nên AQP= NMP (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp) Suy ra AMB= NMP hay AMB= IMA Trang: 5.
6. Xét ∆AMB và ∆AMI ta có: AMB= IMA (cmt) ABM= AIM =90 ° AM là cạnh chung Do đó ∆=∆−AMB AMI( ch gn) ⇒=AB AI (cặp cạnh tương ứng) nên AI có độ dài không đổi ⇒ ( A; AI ) cố định Lại có AI⊥⇒ MN( cmt) MN là tiếp tuyến của đường tròn ( A; AI ) tại I Vậy MN tiếp xúc với đường tròn ( A; AI ) cố định (đpcm). Câu V (1,0 điểm). 1) Cho ab>>0 . Hãy so sánh: aa+−2 với bb+−2 . 2) Cho xy, là các số thực dương thỏa mãn: xy+≤3 10. 1 27 Chứng minh rằng: +≥10 . xy3 Lời giải 1) Xét hiệu Ha=( +−22 a) −( b +− b) =( a +−22 b +) −( ab − ) a+−−22 b ab − = − a++22 b + ab + ab−− ab = − a++22 b + ab + 11 =(ab−−) a++22 b + ab + Vì ab>>⇒−>00 ab  aa+>2 Ta có  ⇒a ++22 b +> ab +  bb+>2 11 11 ⇒ <⇒ −<0 a++22 b + ab + a ++22 b + ab + 11 Do đó (ab−) −<0 a++22 b + ab + ⇒Ha =( +−2 a) −( b +− 20 b) < Trang: 6.
7. ⇔a+2−a b>0 thì a+2−a<b+2−b 2) Áp dụng BĐT Svac-xơ ta có: 1271999 +=+++ x3yx3y3y3y 2 12323232(1333+++) 100 =+++≥= x3y3y3yx+33yx+ 33y Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 2 ( x+3y)(19+) ≥( x+ 33y) ⇒x+33y≤ 10( x+3 y) ≤10.10= 10 127100 100 Do đó +≥≥=10 (đpcm) x3yx+ 33y10  13  = x =1 Dấu ''= '' xảy ra khi x3y⇔   y = 3 x+3y=10 Trang: 7.