Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ngãi (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ngãi (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2021-2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 04/6/20221 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,0 điểm) 1. Thực hiện phép tính: 7 16+ 2 9 . 2. Cho hàm số yx= 2 có đồ thị (P) . a) Vẽ (P) . b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (dy) :2=−+ x . Bài 2: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình và hệ phương trình sau: 23xy−=− a) xx2 +−12 = 0 b)  . xy+=34 2. Cho phương trình (ẩn x ): x22−2( m + 2) xm + += 70. a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 22 b) Gọi xx12, là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm m để x1+= x 2 xx 12 +12 . Bài 3: (1,5 điểm) 3km Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, một đoạn bằng phẳng dài 3 km và một đoạn xuống 4 km 6km dốc dài 6 km (như hình vẽ). Một người đi xe đạp từ A đến B và quay về A ngay hết tổng cộng 130 phút. A B Biết rằng vận tốc người đó đi trên đoạn đường bằng phẳng là 12 km/h và vận tốc xuống dốc lớn hơn vận tốc lên dốc 5 km/h (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc của người đó. Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (OR; ) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn, SO= d . Kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn ( AB, là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng 4 điểm SOAB,,, cùng thuộc một đường tròn. b) Trong trường hợp dR= 2 , tính độ dài đoạn thẳng AB theo R . c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua O . Đường thẳng SC cắt đường tròn (O) tại D (khác C ). Hai đường thẳng AB và SO cắt nhau tại M . Chứng minh rằng SM2 = MD. MA. d) Tìm mối liên hệ giữa d và R để tứ giác OAMB là hình thoi. Bài 5: (1,0 điểm) xx22++73 = + Cho x là số thực bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2 x2 + 3 x + 7 HẾT Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 1
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2021-2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ĐÁP ÁN THAM KHẢO Bài 1: (2,0 điểm) 1. Thực hiện phép tính: 7 16+ 2 9 . 2. Cho hàm số yx= 2 có đồ thị (P) . a) Vẽ (P) . b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (dy) :2=−+ x . Lời giải 1. 7 16+ 2 9 = 7.4 + 2.3 = 28 += 6 34. 2. a) Vẽ đồ thị hàm số yxP= 2 ( ) , ta có bảng sau: x -2 -1 0 1 2 yx= 2 4 1 0 1 4 Vậy đồ thị hàm số yxP= 2 ( ) là Pa-ra-bol đi qua (−−2;4,) ( 1;1,0:0,1;1,2;4) ( ) ( ) ( ) và nhận Oy làm trục đối xứng. y 6 f(x) = x2 4 2 1 x 5 -2 -1 O 1 2 5 b) Hoành độ giao điểm của (Pyx) : = 2 và (dy) :2=−+ x là nghiệm của phương trình: xx2 =−+2 ⇔xx2 +−=20 c Vì abc+ + =11 ++−( 2) = 0 nên phương trình có hai nghiệm xx=1; = = − 2 . 12a 1 Với xy11=⇒==1 11. 2 Với xy22=−⇒2 =−( 24) = . Vậy ta có hai giao điểm của (P) và (d ) là (1;1) và (−2; 4) . Trang 2
3. Bài 2: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình và hệ phương trình sau: 23xy−=− a) xx2 +−12 = 0 b)  . xy+=34 2. Cho phương trình (ẩn x ): x22−2( m + 2) xm + += 70. a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 22 b) Gọi xx12, là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm m để x1+= x 2 xx 12 +12 . Lời giải 1. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) xx2 +−12 = 0 ∆=12 − 4.1.( − 12) = 49 > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt −+1 49 −−1 49 x = = 3 ; x = = −4 . 1 2.1 12 2.1 Vậy phương trình có tập nghiệm là S ={3; − 4} . 11 11 yy= = 2323711xy−=− xy −=− y = 77 b) ⇔ ⇔⇔ ⇔. xy+=3 4 2 xy += 6 8 x =− 4 3 y 11− 5 xx=−=4 3. 77 −5 11  Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = ; . 77 2. Xét phương trình (ẩn x ): x22−2( m + 2) xm + += 70 (1). a) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì 2 2 22 ∆>⇔−′ 0(m + 2) − 1.( m + 7) >⇔ 0 mm + 4 +− 4 m −> 7 0 3 ⇔4m −>⇔ 30 4 mm >⇔ 3 > . 4 3 Vậy m > thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt xx; . 4 12 3 b) Với m > thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt xx; , theo hệ thức Vi-et, ta có: 4 12 xx12+=22( m +) .  2 xx12.7= m + Theo bài ra ta có: 22 22 2 x1+= x 2 xx 12 +⇔+−12 x1 x 2 xx 12 −=⇔+12 0 ( x1 x 2) −3 xx 12 −= 12 0 . Thay hệ thức Vi-et vào ta có: 2 2 2(mm+ 2) − 3( +−= 7) 12 0 ⇔4mm22 + 16 +− 16 3 m −−= 21 12 0 Trang 3
4. ⇔mm2 +16 −= 17 0 Vì abc+ + =1 + 16 +−( 17) = 0 nên phương trình có hai nghiệm: m1 =1 (thỏa mãn); m2 = −17 (loại). Vậy m1 =1 là giá trị cần tìm. Bài 3: (1,5 điểm) 3km Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, một đoạn bằng phẳng dài 3 km và một đoạn xuống 4 km 6km dốc dài 6 km (như hình vẽ). Một người đi xe đạp từ A đến B và quay về A ngay hết tổng cộng 130 phút. A B Biết rằng vận tốc người đó đi trên đoạn đường bằng phẳng là 12 km/h và vận tốc xuống dốc lớn hơn vận tốc lên dốc 5 km/h (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc của người đó. Lời giải Gọi vận của người đi xe đạp lúc lên dốc là x (km/h), ( x > 0 ). Ta có vận tốc của người đi xe đạp lúc xuống dốc là x + 5 (km/h). 4+ 6 10 Thời gian đi đoạn lên dốc là: = (h). xx 33+ 1 Thời gian đi đoạn bằng phẳng là: = (h). 12 2 6+ 4 10 Thời gian đi đoạn xuống dốc là: = (h). xx++55 13 Vì tổng thời gian đi và về hết 130 phút = giờ nên ta có phương trình: 6 10 1 10 13 10 10 10 1 1 1 ++=⇔+=⇔+= x2 x+ 5 6 x x ++ 5 6 xx 56 ⇒6( x ++= 5) 6 xxx( +⇔++=+⇔−−= 5) 6 x 30 6 xx22 5 x x 7 x 30 0 Giải phương trình ta được x1 = −3 (loại); x2 =10 (thỏa mãn). Vậy vận của người đi xe đạp lúc lên dốc là 10km / h , vận tốc của người đi xe đạp lúc xuống dốc là 15km / h . Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (OR; ) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn, SO= d . Kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn ( AB, là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng 4 điểm SOAB,,, cùng thuộc một đường tròn. b) Trong trường hợp dR= 2 , tính độ dài đoạn thẳng AB theo R . c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua O . Đường thẳng SC cắt đường tròn (O) tại D (khác C ). Hai đường thẳng AB và SO cắt nhau tại M . Chứng minh rằng SM2 = MD. MA. d) Tìm mối liên hệ giữa d và R để tứ giác OAMB là hình thoi. Lời giải Trang 4
5. A S O B a) Chứng minh rằng 4 điểm SOAB,,, cùng thuộc một đường tròn. Ta có SA, SB là hai tiếp tuyến của (O) ⇒==°SAO SBO 90 (tính chất của tiếp tuyến) ⇒ 4 điểm SOAB,,, cùng thuộc đường tròn đường kính SO . b) Trong trường hợp dR= 2 , tính độ dài đoạn thẳng AB theo R . A R S O 2R H B Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có SA= SB mà OA= OB (bán kính của (O) )⇒ SO là trung trực của AB⇒⊥ SO AB tại trung điểm H của AB⇒= AB2 AH ; Trong ∆SAO vuông tại A , theo định lý Pi-ta-go, ta có 2 SO2= AO 22 + SA ⇒= SA SO2 − AO 2 =(23 R) −= R2 R . Trong ∆SAO vuông tại A , có AH là đường cao, theo hệ thức lượng, ta có SA. AO R 3. R R 3 AH SO= SA AO ⇒= AH = = ; SO22 R R 3 ⇒=AB2 AH = 2. =R 3 . 2 Vậy AB= R 3 . c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua O . Đường thẳng SC cắt đường tròn (O) tại D (khác C ). Hai đường thẳng AB và SO cắt nhau tại M . Chứng minh rằng SM2 = MD. MA. Trang 5
6. A C D S O M B Xét ∆MSD và ∆MAS có: M chung; Vì C đối xứng với B qua O ⇒ O là trung điểm của BC ⇒ BC là đường kính của (O) ⇒=°BAC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒⊥⇒AC AB AC// SO (cùng vuông góc với AB ) ⇒=MSD DCA (hai góc so le trong); DCA = MAS (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AD ) ⇒=MSD MAS ( = DCA ) MS MA ⇒∆MSD” ∆ MAS( g g ) ⇒ = ⇒MS2 = MD MA . MD MS d) Tìm mối liên hệ giữa d và R để tứ giác OAMB là hình thoi. A C D S O M B Tứ giác OAMB là hình thoi ⇒ AB là phân giác của MAO ⇒=MAB OAB (tính chất của hình thoi); MAB = DCB (hai góc nội tiếp cùng chắn DB ); OAB = OSB (hai góc nội tiếp cùng chắn OB ) ⇒===DCB OSB ( MAB OAB ) ; Xét ∆BOS và ∆BSC có: B chung; BSO = BCS (chứng minh trên) BO BS ⇒∆BOS” ∆ BSC( g. g ) ⇒ = ⇒BS22 = BO. BC = R .2 R = 2 R . BS BC Trong ∆SBO vuông tại B , theo định lý Pi-ta-go, ta có: SO2= SB 2 + OB 2 ⇒ SO 2 =23 R 22 += R R 2 ⇒ SO = R 3. Vậy dR= 3 thì tứ giác OAMB là hình thoi. Trang 6
7. Bài 5: (1,0 điểm) xx22++73 = + Cho x là số thực bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2 x2 + 3 x + 7 Lời giải Với x là số thực bất kì, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: xx22+7 ++ 34 4 4 = =xx22 ++3 ≥2 + 3. = 4 . xx22++33 x2 + 3 x2 + 3 Từ đó: xx22++73 = + T 2 x2 + 3 x + 7 15x2+ 7 1 x 2 + 7 x 2 + 3 15 1xx22++ 7 3 15 2 17 =. +. + ≥.4 + 2 . . = += . 22222 16xx++33 16 xx++7 16 16 x+37 4 4 4 17 ⇒ MinT = khi 4  2 4  x +=3 x2 + 3 xx22+=34 =1 ⇔ ⇔ ⇔xx2 =⇔=±11. 4 2 2  42  17xx22++ 3x+14 x + 49 = 16 x + 48 xx − 2 += 1 0 . =  2 2 16 x + 3 x + 7 17 Vậy MinT = khi x = ±1. 4 HẾT Trang 7