Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề. MÃ ĐỀ 01 Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a) A =48 − 3 3 . 11 x b) B = + : (với xx>≠0; 4 ). xx+−22x − 4 Câu 2. (2,0 điểm) a) Cho hai đường thẳng (dym1 ) :=−+ ( 3) x 4 ( m là tham số) và (dy2 ):= 2 x − 1. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng ()d1 và ()d2 song song với nhau. 23xy−= b) Giải hệ phương trình  3xy+= 2 8. 22 Câu 3. (1,0 điểm) Cho phương trình x−2 mx + m − m −= 20 ( m là tham số). Tìm giá trị của xx12+11 m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt xx12; thỏa mãn: 22 = . x1++ x 2 21( + xx12) 6 Câu 4. (1,0 điểm) Một phòng họp ban đầu có 96 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải cất bớt 2 dãy ghế và mỗi dãy còn lại xếp thêm 1 ghế (số ghế trong các dãy vẫn bằng nhau) để vừa đủ chỗ ngồi cho 110 đại biểu. Hỏi ban đầu trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế? Câu 5. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H∈ BC) . Biết độ dài đoạn AB= 5 cm và AH= 4 cm . Tính độ dài đoạn BH và diện tích tam giác ABC . Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E ( D khác B và E khác C ). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD . a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp. b) Đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm P ( P nằm giữa A và H ). Đường thẳng DF cắt đường tròn (O) tại điểm K ( K khác D ). Gọi M là giao điểm 2 của EK và BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDP. Chứng minh CE= BC. MC và ba điểm BIP,, thẳng hàng. Câu 7. (1,0 điểm) Cho abc,, là các số thực khác không. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: abc222 P =++. a2++2( bc ) 22 b ++ 2( ca ) 22 c ++ 2( ab ) 2 HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh Số báo danh
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 MÃ ĐỀ 01 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Chú ý: - Thí sinh giải theo cách khác, nếu đúng đều cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài không qui tròn. Câu Nội dung Điểm A =−=−4833 43 33 0,5 Câu 1a 1,0 đ = 3 0,5 x−+2 xx + 24 − Với xx>≠0; 4 ta có: B = . 0,5 Câu 1b ( xx+−22)( ) x 1,0 đ 24xx− =.2 = 0,5 x − 4 x m −=32 Để hai đường thẳng ()d1 và ()d2 song song với nhau thì  0,5 Câu 2a 41≠− 1,0đ ⇔=m 5. Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. 0,5 2xy−= 3 4 x − 2 y = 6 7 x = 14 Ta có ⇔⇔ += += += 0,5 Câu 2b 32xy 8 32 xy 8 32 xy 8 1,0 đ xx= 22= ⇔⇔. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ( 2; 1) . 0,5 62+=yy 8 = 1 Ta có ∆=′ m22 −( mm − − 2) = m + 2 0,25 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ∆>⇔+>⇔′ 0mm 20 >− 2 Câu 3 xx12+=2 m 1,0 đ Theo định lí Viet ta có  0,25 =2 −− xx12.2 m m xx12++1 1xx12 11 Ta có: 22 =⇔=2 x1++ x 2 21( + xx12) 6 ( x1+ x 2 ) + 2 6 0,25 mm22−−+211 mm −− 11 Thay vào ta được phương trình =⇔= (2mm )22++ 2 6 4 2 6 2 22 m = −1 ⇔6(mm − − 1) = 4 m +⇔ 2 2 m − 6 m −=⇔ 8 0  m = 4 0,25 Đối chiếu điều kiện ta có m = −1 và m = 4 thỏa mãn bài toán. Gọi số dãy ghế ban đầu là x( x∈≥ Nx , 3) 96 0,25 Số ghế ở mỗi dãy ban đầu trong phòng họp là (ghế) Câu 4 x 1,0 đ 110 Số ghế ở mỗi dãy sau khi thay đổi đủ chỗ cho 110 đại biểu là (ghế) x − 2 0,25 96 110 Từ đó ta có phương trình +=1 xx− 2
3. 2 x = −8 ⇔−xx16 − 192 =⇔ 0  0,25 x = 24 Đối chiếu điều kiện ta được x = 24 thỏa mãn. Vậy ban đầu phòng họp có 24 dãy ghế. 0,25 A Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABH , 0,5 ta có: BH22= AB − AH 2 =−=⇒25 16 9BH = 3 cm Câu 5 Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông ABC 1,0đ B C 2 25 0,25 H Ta có AB= BH. BC ⇒= BC cm. 3 1 1 25 50 2 Ta có S ABC = AH. BC = 4. = (cm ) 0,25 2 23 3 a) Theo tính chất góc nội tiếp chắn nửa A đường tròn nên ta có : 0,5 BDC =⇒=9000 ADH 90 D 00 BEC =⇒=90 AEH 90 0,5 P Tứ giác ADHE có hai góc đối đều bằng I 900 nên nó nội tiếp được đường tròn. E b) H *) Ta có H là trực tâm tam giác ABC nên AH⊥ BC tại F suy ra tứ giác ADFC nội C B 0,25 O F M tiếp ⇒=CAF CDF (1). Câu 6 Lại có CDK = CEK (2). 2,0 đ K Từ (1), (2) suy raCAF = CEK ⇒ EK// AF Mà AH⊥⇒⊥ BC EK BC nên EM là đường cao tam giác vuông EBC 0,25 Suy ra CE2 = BC. MC *) Xét tam giác PBC vuông tại P, đường cao PF⇒=HPC PBC (1). 0,25 Có PBC = PDC (2). (hai góc nội tiếp cùng chắn PC ). Từ (1), (2) ⇒=HPC PDH Từ đó đường thẳng PC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác HDP với P là 0,25 tiếp điểm suy ra IP⊥ PC . Mà BP⊥ PC suy ra ba điểm B, I, P thẳng hàng. Áp dụng BĐT (x+≤ y)2 2(x 22 + y ) ta có: 222 abc 0,25 P ≥++2 22 2 2 2 2 22 a++4( bc ) b ++ 4( ca ) c ++ 4( ab ) 111 ⇒ +≥222 + + + + 3P 34() abc2 22 2 2 2 2 22 0,25 a++4( bc ) b ++ 4( ca ) c ++ 4( ab ) 111 9 Câu 7 Áp dụng bất đẳng thức ++≥ , với xy;; z> 0 1,0 đ x y z xyz++ 0,25 1119 ta có ++≥ a2+4( bc 22 + ) b 2 + 4( ca 2 + 2 ) c 2 + 4( ab 22 + ) 9( abc 222 ++ ) 91 3P+≥ 34() abc222 + + ⇔3PP ≥⇔1 ≥ . 9(a222++bc) 3 0,25 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi abc0= = ≠ . 3 HẾT.
4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề. MÃ ĐỀ 02 Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a) A =50 − 3 2 . 11 x b) B = + : (với xx>≠0; 1). xx+−11x −1 Câu 2. (2,0 điểm) a) Cho hai đường thẳng (dym1 ) :=−+ ( 1) x 5 ( m là tham số) và (dyx2 ):= 3 − 2. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng ()d1 và ()d2 song song với nhau. 24xy+= b) Giải hệ phương trình  3xy−=− 2 1. 22 Câu 3. (1,0 điểm) Cho phương trình x−2 mx + m − m −= 10 ( m là tham số). Tìm giá trị của xx + 31 m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt xx; thỏa mãn: 12 = . 12 22 x1++ x 2 21( + xx12) 3 Câu 4. (1,0 điểm) Một phòng họp ban đầu có 104 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải cất bớt 2 dãy ghế và mỗi dãy còn lại xếp thêm 1 ghế (số ghế trong các dãy vẫn bằng nhau) để vừa đủ chỗ ngồi cho 120 đại biểu. Hỏi ban đầu trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế? Câu 5. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H∈ BC) . Biết độ dài đoạn AC= 5 cm và AH= 3 cm . Tính độ dài đoạn CH và diện tích tam giác ABC . Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và K ( E khác B và K khác C ). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng BK và CE . a) Chứng minh AEHK là tứ giác nội tiếp. b) Đường thẳng AH cắt BC tại D và cắt đường tròn (O) tại điểm M ( M nằm giữa A và H ). Đường thẳng ED cắt đường tròn (O) tại điểm F ( F khác E ). Gọi P là giao điểm của KF và BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEM. Chứng minh CK2 = BC. PC và ba điểm BIM,, thẳng hàng. Câu 7. (1,0 điểm) Cho abc,, là các số thực khác không. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: abc222 Q =++. a2++3( bc ) 22 b ++ 3( ca ) 22 c ++ 3( ab ) 2 HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh Số báo danh
5. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 MÃ ĐỀ 02 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Chú ý: - Thí sinh giải theo cách khác, nếu đúng đều cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài không qui tròn. Câu Nội dung Điểm A =52 − 32 0,5 Câu 1a 1,0 đ = 22 0,5 x−+1 xx + 11 − Với xx>≠0; 1 ta có: B = . 0,5 Câu 1b ( xx+−11)( ) x 1,0 đ 21xx− =.2 = 0,5 x −1 x m −=13 Để hai đường thẳng ()d1 và ()d2 song song với nhau thì  0,5 Câu 2a 52≠− 1,0đ ⇔=m 4 . Vậy m = 4 là giá trị cần tìm. 0,5 2xy+= 4 428 x + y = 77 x = Ta có ⇔⇔ −=− −=− −=− 0,5 Câu 2b 32xy 1 32 xy 1 32 xy 1 1,0 đ xx=11= ⇔⇔. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ( 1; 2 ) . 0,5 32−=−yy 1 = 2 Ta có ∆=′ m22 −( mm − − 1) = m + 1 0,25 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ∆>⇔+>⇔′ 0mm 10 >− 1 Câu 3 xx12+=2 m 1,0 đ Theo định lí Viet ta có  0,25 =2 −− xx12.1 m m xx12++3 1xx12 31 Ta có 22 =⇔=2 x1++ x 2 21( + xx12) 3 ( x1+ x 2 ) + 2 3 0,25 mm22−−+13 1 mm −+ 2 1 Thay vào ta được phương trình =⇔= (2mm )22++ 2 3 4 2 3 2 22 m =1 ⇔3(mm − + 2) = 4 m +⇔ 2 m + 3 m −=⇔ 4 0  m = −4 0,25 Đối chiếu điều kiện ta có m =1 thỏa mãn bài toán. Gọi số dãy ghế ban đầu trong phòng họp là x( x∈≥ Nx , 3) 104 0,25 Số ghế ở mỗi dãy ban đầu là (ghế) x Câu 4 120 Số ghế ở mỗi dãy sau khi thay đổi đủ chỗ cho 120 đại biểu là (ghế) 1,0 đ x − 2 0,25 104 120 Từ đó ta có phương trình +=1 xx− 2 2 x = −8 ⇔−xx18 − 208 =⇔ 0  0,25 x = 26
6. Đối chiếu điều kiện ta được x = 26 thỏa mãn. Vậy ban đầu Phòng họp có 26 dãy ghế. 0,25 A Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ACH , 0,5 ta có: CH222= AC − AH =25 −= 9 16 ⇒CH = 4 cm Câu 5 Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông ABC 25 1,0đ B C 2 0,25 H Ta có AC= CH. CB ⇒= BC cm. 4 1 1 25 75 = = = 2 Ta có S ABC AH. BC .3. (cm ) 0,25 2 248 A a) Theo tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ta có : 0,5 BEC =⇒=9000 AEH 90 =⇒=00 E BKC90 AKH 90 Tứ giác AEHK có hai góc đối đều bằng 0,5 M 0 I 90 nên nó nội tiếp được đường tròn. H K b) *) Ta có H là trực tâm tam giác ABC nên AH⊥ BC tại D suy ra tứ giác j 0,25 C AEDC nội tiếp ⇒=CAD CED (1). B D P Câu 6 O Lại có CEF = CKF (2). 2,0 đ Từ (1), (2) ⇒=⇒CAD CKF KF// AD F Mà AD⊥⇒⊥ BC KF BC nên KP là đường cao tam giác vuông KBC 0,25 Suy ra CK2 = BC. PC *) Xét tam giác MBC vuông tại M, đường cao MD⇒=HMC MBC (1). 0,25 Có MBC = MEC (2). (hai góc nội tiếp cùng chắn MC ). Từ (1), (2) ⇒=HMC MEH Từ đó đường thẳng MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác HEM với M 0,25 là tiếp điểm suy ra IM⊥ MC . Mà BM⊥ MC suy ra ba điểm B, I, M thẳng hàng. Áp dụng BĐT (x+≤ y)2 2(x 22 + y ) 222 abc 0,25 Q ≥++2 22 2 2 2 2 22 a++6( bc ) b ++ 6( ca ) c ++ 6( ab ) 111 ⇒ +≥222 + + + + 5Q 36() abc2 22 2 2 2 2 22 0,25 a++6( bc ) b ++ 6( ca ) c ++ 6( ab ) 111 9 Câu 7 Áp dụng bất đẳng thức ++≥ , với xy;; z> 0 1,0 đ x y z xyz++ 0,25 111 9 ta có ++≥ a2+6( bc 22 + ) b 2 + 6( ca 2 + 2 ) c 2 + 6( ab 22 + ) 13( abc 222 ++ ) 9 54 3 536Q+≥() abc222 + + ⇔53Q+≥ ⇔Q ≥ . 13(abc222++ ) 13 13 0,25 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng khi abc0= = ≠ . 13 HẾT.