Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 02/06/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không tính thời gian phát đề Đề thi có 01 trang Câu 1 (2,0 điểm) 2xx 15 1. Giải phương trình: 53 35xy 2. Giải hệ phương trình: 2xy 5 12 Câu 2 (2,0 điểm) 11x 1 1. Rút gọn biểu thức: Ax .: với xx 0, 1. xx x 1 x 21 x 2. Cho đường thẳng d : y ax b. Tìm a và b để đường thẳng d song song với đường thẳng dy': 5 x 3 và đi qua điểm A 1; 3 . Câu 3 (2,0 điểm) 1. Một đội công nhân phải trồng 96 cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân nhưng khi chuẩn bị trồng thì có 4 công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4cây. Hỏi lúc đầu đội công nhân có bao nhiêu người ? 2. Cho parabol Py : x2 và đường thẳng dy :3 xm. Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có hoành độ xx12, thoả mãn x12 23 xm . Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF,, BD CE cắt nhau tại H . 1. Chứng minh rằng: DAH DEH . 2. Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH . Chứng minh rằng: tứ giác MDOE nội tiếp. 3. Gọi K là giao điểm của AH và DE . Chứng minh rằng: AH2 2 MK AF HF . Câu 5 (1,0 điểm) Cho abc,, là các số thực dương. Chứng minh rằng: a222 b c2 abc 12 ab bc ca HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi số 1 Cán bộ coi thi số 2 .
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 2xx 15 Giải phương trình: 53 Phương trình tương đương: 32 xx 1 55 1 0,25 6xx 3 25 5 0,25 11x 22 0,25 x 2 0,25 3xy 51 1 Giải hệ phương trình: (2 điểm) 2xy 5 12 2 Từ (1) ta có: yx 53 0,25 2 Thay vào (2) ta được: 2xx 5 5 3 12 0,25 2xx 25 15 12 13x 13 0,25 x 1 Với x 1 thì y 2 . 0,25 11x 1 Rút gọn biểu thức: Ax .: với xx 0, 1. xx x 1 x 21 x 11 x 1 Ax .: xx 1 x 1 xx 21 0,25 11 xx x : 1 xx 1 xx 21 11 xx : x 1 2 0,25 2 x 1 (2 điểm) 2 1 x x 1  0,25 xx 11 x 1 0,25 Cho đường thẳng d : y ax b. Tìm a và b để đường thẳng d song song với đường thẳng dy': 5 x 3 và đi qua điểm A 1; 3 . Vì d song song d ' nên ab 53 2 0,25 Thay toạ độ điểm A 1; 3 vào phương trình d ta được: ab 3 0,25 Với a 5 ta có 53 b 0,25 b 2 (thoả mãn điều kiện). 0,25
3. Một đội công nhân phải trồng 96 cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân nhưng khi chuẩn bị trồng thì có 4 công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4cây. Hỏi lúc đầu đội công nhân có bao nhiêu người ? Gọi xx *,4 x là số công nhân lúc đầu. 96 0,25 Số cây mỗi công nhân dự định phải trồng là . x Số cây mỗi công nhân còn lại phải trồng sau khi 4 người đi làm việc 96 0,25 khác là . x 4 Theo bài ta có phương trình: 1 96 96 4 xx 4 24 24 1 xx 4 0,25 24x 24 x 4 xx 4 96 xx2 4 xx2 4 96 0 x 12 0,25 3 x 8 (2 điểm) Kết hợp điều kiện ta có x 12. Cho parabol Py : x2 và đường thẳng dy :3 xm. Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có hoành độ xx12, thoả mãn x12 23 xm . Phương trình hoành độ giao điểm là x22 3 xm x 3 xm 0* Để d cắt P tại hai điểm phân biệt phương trình * có hai 0,25 nghiệm phân biệt. 9 Ta có 94 mm 0 4 2 xx1231 Theo Viét ta có xx12 m 2 0,25 Theo đề bài ta có x12 2 xm 33 xm 3 Từ 1 và 3 ta có 1 0,25 xm2 Thay vào phương trình (2) ta được 2 m 0 3 mm m m 40 m 0,25 m 4 Đối chiếu điều kiện ta có m 0 và m 4 . 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF,, BD CE cắt nhau tại H . 1 (3 điểm) 1. Chứng minh rằng: DAH DEH .
4. A M D E K H B F C O Theo bài ta có ADH AEH 900 0,25 ADH AEH 9000 90 180 0 0,25 Suy ra tứ giác ADHE nội tiếp. 0,25 Suy ra DAH DEH . 0,25 2. Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH . Chứng minh rằng: tứ giác MDOE nội tiếp. AH Tam giác vuông ADH có MD MH MDH MHD 1 0,25 2 Tam giác vuông BDC có BC 0 0,25 2 OD OB ODB OBD ODB 90 ACB HAD 2 2 Cộng vế (1) và (2) ta có 0,25 MDH ODB MHD HAD 9000 MDO 90 Chứng minh tương tự ta có MEO 900 0,25 Vậy MDO MEO 1800 suy ra tứ giác MDOE nội tiếp. 3. Gọi K là giao điểm của AH và DE . Chứng minh rằng: AH2 2 MK AF HF . Ta có AF HF AM MF MF MH 2 MF Lại có AH 2 MD 0,25 Nên đẳng thức cần chứng minh trở thành AH2 2 MK AF HF 4 MD22 4. MK MF MD MK.* MF Theo ý 2 ta có MDO MEO 900 . 0 3 Mặt khác MFO 90 . Suy ra 5 điểm M,,,, DOF E cùng thuộc đường tròn đường kính MO . Vậy MFD MED 3 . 0,25 AH Lại có: ME MD MED MDE MDK 4 2 Từ 3 và 4 ta có MFD MDK . Do đó MDK đồng dạng với MFD (g-g) 0,25 MD MK Suy ra MD2 MK. MF . Vậy (*) được chứng minh. 0,25 MF MD 5 Cho abc,, là các số thực dương. Chứng minh rằng:
5. (1 điểm) a222 b c2 abc 12 ab bc ca Trong 3 số abc 1, 1, 1 luôn tồn tại ít nhất hai số cùng dấu. 0,25 Giả sử a 1 và b 1 cùng dấu. Suy ra a 1 b 10 ab 1 a b 0,25 2abc 22 c ac 2 bc 2 ab 2 abc 22 c ab bc ca 1 Ta sẽ chứng minh a222 b c2 abc 1 2 ab 2 abc 22 c 222 22 Thật vậy 2 abc 12 abc 2 ab c 1 0 0,25 (Luôn đúng) Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh. a 1 ab 1 10 Dấu “=” xảy ra khi b 1 0,25 22 ab c10 c 1 Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.