Đề thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Phòng GD&ĐT Nam Sách (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2023-2024 - Phòng GD&ĐT Nam Sách (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN NAM SÁCH ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/5/2023 Câu 1 (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: x 2 x 20 0 2x y 2 2. Giải hệ phương trình: x 6 y 1 4 6 Câu 2 (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức 3 x 2 x x 9 A = 1- : với x ≥ 0 và x 4. x 3 x x 6 x 6 x 9 2) Cho hàm số bậc nhất y = (a - 2)x – 2a + 3 có đồ thị là đường thẳng (d). Xác định giá trị của a để đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’): y = 2x + 1 tại điểm cách trục tung 2 đơn vị. Câu 3 (2,0 điểm) a) Một học sinh được giao phải làm 120 bài tập trong thời gian nhất định, chia đều cho các ngày. Sau khi làm được 5 ngày theo đúng kế hoạch, học sinh đó nghỉ một ngày. Để hoàn thành đúng thời gian đã định, mỗi ngày còn lại học sinh đó phải làm tăng thêm 3 bài tập so với kế hoạch ban đầu. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày học sinh đó làm bao nhiêu bài tập. b) Tìm m để phương trình bậc hai 4x 2 – 17x + m - 1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt thoả mãn x1 2 x2 1 Câu 4 (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của M trên AC. Tia MH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là N. a) Chứng minh: OA là phân giác góc MON và AN là tiếp tuyến của (O). b) Lấy điểm E thuộc cung nhỏ MN sao cho EM < EN. Đường thẳng AE cắt đường tròn tại điểm F (F không trùng với E). Gọi I là trung điểm EF, K là giao điểm của EF với MN. Chứng minh: AK.AI = AE.AF c) Đường thẳng qua E song song với AN cắt MN tại P, FP cắt AN tại Q. Chứng minh Q là trung điểm của AN.
2. Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác. x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S . 2y 2z x 2z 2x y 2x 2y z Hết
3. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ TOÁN - NGÀY 18 /5/2023 Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Câu Đáp án Điểm a) (1 điểm) x 2 x 20 0 ( 1)2 4.1.( 20) 81 81 9 0,5 1 9 1 9 x 5; x 4 0,25 1 2 2 2 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 5; x2 = -4 0,25 1 b) (1 điểm) 2x y 2 (2,0 2x y 2 điểm) x 6 y  0,25 1 3(x 6) 2y 12 4 6 2x y 2 4x 2y 4  0,25 3x 2y 6 3x 2y 6 0,25 x 2 x 2  3x 2y 6 y 6 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 6) a) (1 điểm) 3 x 2 x x 9 A = 1- : x 3 x x 6 x 6 x 9 0,25 3 x( x 2) ( x 3)( x 3) 1- : x 3 ( x 3)( x 2) ( x 3)2 2 (2,0 điểm) 3 x x 3 1- : x 3 x 3 x 3 0,25 3 x x 3 1 : x 3 x 3 3 3 1 : 0,25 x 3 x 3 = 1-1 = 0 0,25 Vậy A= 0, với x > 0 và x 4 b) (1 điểm)
4. Xét (d): y = (a - 2)x – a + 3 (d’): y = 2x + 1 0,25 ĐK (d) là hàm số bậc nhất thì a – 2 ≠ 0  a ≠ 2 ĐK để (d) cắt (d’) thì a – 2 ≠ 2  a ≠ 4 d cắt đường thẳng d’: y = 2x + 1 tại điểm cách trục tung 2 đơn vị. 0,25  x = 2 hoặc x = -2 TH 1: x = 2, thay vào công thức của (d’) có: y = 2.2 + 1 = 5 Thay x = 2; y = 5 vào công thức của (d) có: (a - 2). 2 – a + 3 = 5  2a – 4 – a + 3 = 5  a – 1 = 5  a = 6 (t/m) TH 2: x = -2, thay vào công thức của (d’) có: y = 2.(-2) + 1 = -3 0,25 Thay x = -2; y = -3 vào công thức của d có: (a - 2). (-2) – a + 3 = -3  -2a + 4 – a + 3 = -3  -3a = -10  a = -10/3 (/tm) Vậy a = 6, a = -10/3 là các giá trị cần tìm. 0,25 a) (1 điểm) Gọi số bài tập mỗi ngày học sinh đó dự định làm là x (bài) (x N*) Thời gian dự định làm hết 120 bài tập là: 120 (ngày) x Sau 5 ngày đầu tiên đã làm hết số bài là: 5x (bài) 0,25 3 Số bài còn lại là: 120 - 5x (bài) (2,0 Mỗi ngày còn lại làm số bài là: x + 3 (bài) điểm) Thời gian làm số bài còn lại là: 120 5x (ngày) x 3 Vì học sinh đó hoàn thành bài theo đúng kế hoạch đặt ra nên có pt: 0,25 120 5x 120 5 1 x 3 x 6x(x + 3) + (120 - 5x)x = 120(x + 3) 0,25  6x2 + 18x + 120x – 5x2 – 120x – 360 = 0  x2 + 18x – 360 =0 Giải pt ta được x = -30(loại) hoặc x = 12(t/m). Vậy theo kế hoạch mỗi ngày học sinh đó làm 12 bài tập 0,25
5. b) (1 điểm) Phương trình bậc hai 4x2 – 17x + m - 1 = 0 có : ∆=(-17)2 – 4.4.(m - 1) = 305 – 16m *) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0 305 => 305 – 16m > 0  -16m > -305  m 0,25 16 17 m 1 Áp dụng hệ thức Vi – et có : x + x (1) ; x .x = (2) 1 2 4 1 2 4 *) Để hai nghiệm dương thì m – 1 > 0  m > 1 Theo bài ra : x1 2 x2 1 (3) 2 2 Đặt x1 a; x2 b . ĐK : a >, b > 0 => x1 = a ; x2 = b Thay vào (3) có : a – 2b = 1  a = 2b + 1 0,25 Thay vào (1) có : (2b + 1)2 + b2 = 17 4  4b2 + 4b + 1 + b2 = 17 4  5b2 + 4b + 1 = 17 4  20b2 + 16b + 4 = 17 0,25  20b2 + 16b – 13 =0 Giải phương trình có b = 1 (t/m) hoặc b = 13 (loại) 2 10 a = 2b + 1 = 2 Với a = 2 có : x1 2  x1 = 4 1 1 1 b = có : x =  x2 = 2 2 2 4 1 m 1 0,25 Thay x1 ; x2 vào điều kiện (2) có : 4. 4 4  m - 1 = 4  m = 5 (t/m) Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. a) (1,0 điểm)
6. M F I 0,25 E K C A B H O N 4 (3,0 Có OM = ON = R => ∆OMN cân tại O 0,25 điểm) Mà OA  MN tại H(gt) => OA đồng thời là phân giác góc MON Xét ∆MOA và ∆NOA có: 0,25 OM= ON = R; M· OA N·OA (cmt) ; OA là cạnh chung => ∆MOA = ∆NOA(c.g.c) => O·MA O·NA (hai góc tương ứng) Có O·MA 900 (gt) => O·NA 900 => AN  ON tại N (O)  AN là tiếp tuyến của (O) b) (1,0 điểm) Có I là trung điểm EF => OI  EF (quan hệ đường kính và dây) Có O· IA 900 (cmt) 0,25 Xét ∆AKH và ∆ AOI có H·AK chung; A·HK A· IO 900  ∆AKH ∽ ∆ AOI (g.g) => AK.AI = AH.AO (1) ∆AMO vuông tại M có MH là đường cao  AH.AO = AM2 (hệ thức lượng) (2) 0,25 · · · ¼ 0,25 C/m AME ∽ AFM vì MAE chung; AME AFM (cùng chắn ME ) AM2 = AE. AF (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: AK.AI = AE.AF 0,25 c) (1,0 điểm) 0,25
7. M F I K E P C A B H O G Q N Gọi G là giao điểm của EP và NF +) Có EP // AN => F·EP F·AN (đồng vị) mà F·AN I·MN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung NI của đường tròn đường kính AO) I·EP I·MP Mà 2 đỉnh E và M là 2 đỉnh liên tiếp. Tứ giác MEPI nội tiếp. E·MP E· IP (cùng nhìn cạnh EP) 0,25 Có: E·MP E·FN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EN) E· IP E·FN suy ra IP // FN hay IP // FG, Có I là trung điểm EF => P là trung điểm EG => PE = PG (3) EP FP PG 0,25 Ta có EG // AN (gt) (Ta lét) (4) AQ FQ QN Từ (3) và (4) ta có AQ = QN 0,25 Suy ra Q là trung điểm của AN. Vì x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác 0,25 x, y, z > 0 và 2y + 2z –x > 0; 2z + 2x – y > 0; 2x + 2y – z > 0 x y z Ta có: S 2y 2z x 2z 2x y 2x 2y z 5 3x2 3y2 3z2 (1,0 0,25 điểm) 3x(2y 2z x) 3y(2z 2x y) 3z(2x 2y z) x y z 3 3x(2y 2z x) 3y(2z 2x y) 3z(2x 2y z)
8. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3x(2y 2z x) x y z 3y(2z 2x y) x y z ; 3z(2x 2y z) x y z 0,25 x y z Suy ra S 3 3 . x y z 2y 2z x 3x Đẳng thức xẩy ra khi 2z 2x y 3y x y z 0,25 2x 2y z 3z Vậy MinS = 3 khi đó tam giác đã cho là tam giác đều.