Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong môn Toán - Đề 1+2 - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Nam Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong môn Toán - Đề 1+2 - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Nam Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN (chung) – ĐỀ 2 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm) 21x − 1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A = . x2 + 2 2) Tìm tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng yx=24 + với trục Ox . 3) Biết hình tròn có chu vi là 4π cm . Tính diện tích hình tròn đó. 4) Cho khối trụ có chiều cao bằng 4 cm và bán kính đáy bằng 6 cm . Tính thể tích của khối trụ đó. Câu 2. (1,5 điểm) −+ 3xx 34 ≥ ≠ Cho biểu thức P = − : 2 (với x 0 và x 1) 1−xxx++21xx−+21 1) Rút gon biểu thức P . 2) Tìm x sao cho Px+=2 . Câu 3. (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x2 −( m + 2) xm + += 1 0 (1) (với m là tham só). a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi xxi , 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm tất cả các giá tri thực của tham số 22 m để xx12+=10. x=2 xy − y 2) Giải hệ phương trình  . 3xy+= 2( xyy −+ 2) Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ()AB< AC nội tiếp đường tròn tâm O . Tiếp tuyến tại A của ()O cắt đường thẳng BC tại M . Gọi I là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng với A qua OM , giao điểm của AD và OM là H . 1) Chứng minh tứ giác MAOI nội tiếp và MD2 = MB. MC . 2) Giả sử tiếp tuyến tại B của đường tròn ()O cắt OI tại F . Chứng minh tam giác OMI và tam giác OFH đồng dạng, từ đó suy ra ba điểm ADF,, thẳng hàng. 3) Chứng minh rằng tứ giác BHOC nội tiếp và HB⋅=⋅ MC MB HC . Câu 5. (1,0 điểm) 1) Giải phương trình xx+++−=−+−3 x 13 x2 2 x 3. Trang 1
2. 2) Xét hai số thực xy, thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x+y≥2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 8 thức P=42( x2+y2) ++1. x+ y _ Trang 2
3. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (2,0 điểm) 21x − 1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A = . x2 + 2 2) Tìm tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng yx=24 + với trục Ox . 3) Biết hình tròn có chu vi là 4π cm . Tính diện tích hình tròn đó. 4) Cho khối trụ có chiều cao bằng 4 cm và bán kính đáy bằng 6 cm . Tính thể tích của khối trụ đó. Lời giải x −≥10 1) Biểu thức A xác định khi và chỉ khi  2 ⇔≥x 1. x +≠20 yx=+=−24 x 2 2) Toạ độ điếm M là nghiệm của hệ ⇔ . yy= 00 = Vây M (− 2;0) 3) Gọi R là bán kính của đường tròn. Khi đó ta có 24ππRR= ⇔= 2. Vậy diện tích của hình tròn là SR=ππ22 = 4( cm ) . 4) Thể tích của khối trụ là V=ππ R22 h =.6 .4 = 144 π(cm 3) . Câu 2. (1,5 điểm) −+ 3xx 34 ≥ ≠ Cho biểu thức P = − : 2 (với x 0 và x 1) 1−xxx++21xx−+21 1) Rút gon biểu thức P . 2) Tìm x sao cho Px+=2 . Lời giải 1) Với x ≥ 0 , x ≠ 1 ta có: 2 33−+xx(1− x) P = −⋅ 2 11−+xx + 4 ( )( ) ( x 1) 2 (3−x)( 1 +−+− xx) ( 31)( x) (1− x) = . 2 −+ 4 (11xx)( ) 22 4 x (11−+xx) ( ) = 2 . (11−+xx)( ) 4 =x ⋅−(1 x) = xx −. 2) Theo câu 2.1) thì với x ≥ 0 và x ≠ 1 ta có P= xx − . Trang 3
4. Khi đó Px+=⇔22 x =⇔=x4( tm ) . Vậy x = 4 . Câu 3. (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x2 −( m + 2) xm + += 1 0 (1) (với m là tham só). a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi xxi , 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm tất cả các giá tri thực của tham số 22 m để xx12+=10. x=2 xy − y 2) Giải hệ phương trình  . 3xy+= 2( xyy −+ 2) Lời giải 1) x = 1 a) Phương trình (1) có abc++=−1 m + 2 + m += 10 nên (1) ⇔  ( ) = + xm1 Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi mm+≠⇔11 ≠ 0 b) Với m ≠ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Không mất tính tổng quát ta giả sử x=1; xm = + 1 2  22 m= 2( tm ) Theo giả thiết ta có xx12+ =10 ⇔+ 1( m + 1) = 10 ⇔ = − m4 ( tm) m = 2 Vậy  . = − m 4 x+= y2 xy xy = 1 2) Ta có hệ phương trình ⇔ + =++ xy+=2 34(xy) xy  Khi đó xy, là nghiệm của phương trình bậc hai XX2 −2 += 10 ⇔ X = 1 Suy ra xy= = 1. Vậy hệ có nghiệm (xy,) = ( 1, 1 ) Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ()AB< AC nội tiếp đường tròn tâm O . Tiếp tuyến tại A của ()O cắt đường thẳng BC tại M . Gọi I là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng với A qua OM , giao điểm của AD và OM là H . 1) Chứng minh tứ giác MAOI nội tiếp và MD2 = MB. MC . 2) Giả sử tiếp tuyến tại B của đường tròn ()O cắt OI tại F . Chứng minh tam giác OMI và tam giác OFH đồng dạng, từ đó suy ra ba điểm ADF,, thẳng hàng. 3) Chứng minh rằng tứ giác BHOC nội tiếp và HB⋅=⋅ MC MB HC . Lời giải Trang 4
5. 1) + Có MA là tiếp tuyến của (O ) tại A nên MA⊥⇒ OA OAM =°90 suy ra A thuộc đường tròn đường kính OM (1) Mặt khác I là trung điểm BC và BC là một dây cung không đi qua tâm O nên OI⊥⇒ BC OIM =°90 suy ra I thuộc đường tròn đường kính OM (2) Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm M,,, AO I cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác MAOI nội tiếp. + Trong đường tròn (O ) ta có MAB = ACM . Xét ∆MAB và ∆MCA có  MAB= ACM MA MB  ⇒∆MAB ∆ MCA ⇒ = ⇒MA2 = MB. MC (3)  MC MA M chung Do D đối xứng với A qua OM nên MD= MA (4) Từ (3) và (4) ta có MD2 = MB. MC . 2) Nối H với F . Vì D là điểm đối xứng với A qua OM nên OD= OA và AD⊥ OM tại H (1) Trong tam giác vuông OBF có chiều cao BI ta có OB22= OI BF ⇒= OA OI BF (2) Trong tam giác vuông OAM có chiều cao AH ta có OA2 = OH. OM (3) OI OH Từ (2) và (3) ta có OI OF= OH OM ⇔= OM OF O chung  Xét tam giác OMI và tam giác OFH có  OI OH ⇒∆OMI ∆ OFH( c g c)  = OM OF OHF = OIM =90 °⇒ FH ⊥ OM tại H (4) Từ (1) và (4) suy ra ADF,, thẳng hàng. 3) Trang 5
6. Trong tam giác vuông OAM có chiều cao AH ta có MA2 = MH. MO Lại có MA2 = MB. MC MH MC Suy ra MH MO= MB MC ⇒= MB MO Xét tam giác MBO và tam giác MHC có M chung  MH MC  = ⇒∆MBO ∆ MHC ⇒ MOB = MCH  MB MO Vậy tứ giác BHOC nội tiếp . Khi đó ta có OBC = OHC , MHB = OCB Mà tam giác OBC cân tại O nên OBC = OCB Do đó ta có MHB =⇒= OHC BHF CHF . Từ đó ta có HF là đường phân giác trong tại H của tam giác HBC Mà HF⊥ MH nên MH là đường phân giác ngoài tại H của tam giác HBC . HB MB Khi đó ta có =⇒=HB MC MB HC . HC MC Câu 5. (1,0 điểm) 1) Giải phương trình xx+++−=−+−3 x 13 x2 2 x 3. 2) Xét hai số thực xy, thay đổi luôn thoả mãn điều kiện xy+≥2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 8 thức P=42( xy22 ++) +1. xy+ Lời giải x +≥30  1) Điều kiện xx−≥1 0 ⇔ ≥1*( )  2 xx+2 −≥ 30 Khi đó xx+++−=−+−⇔++−++3 x 13 x22 23 x( x 3 x 1) ( xx +−−= 2330 x) Đặt tx= ++3 x − 1 ( t ≥0) t 2 − 2 Suy ra t22=2 x =+ 22 xx + 23 −⇒+ xxx 2 + 23 −= . 2 t 2 − 2 t= 2( tm) Do đó phương trình trở thành t+ −=⇔30tt2 + 2 −=⇔ 80  2 t= −4( ktm) Với t=⇒2 x ++ 3 x − 1 =2 ⇔ x = 1( tm( *)) . 8 2) P=4. 2( xy22 ++) +1 xy+ Trang 6
7. 2 Ta chứng minh được bất đẳng thức 2( x2+y2) ≥( xy+) ,,∀ xy Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x= y . Suy ra 2( x2+y2) ≥xy+= xy+(do xy+≥2) 8 Khi đó ta có P≥4.( xy+) ++1 xy+ 88 Đặt txy=+⇒ t≥4 suy ra P≥4t++1=2t++2t+1 . tt 88 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có 2t+≥2. 2t .= 8 tt Mặt khác t≥2⇒2t≥4 Do đó P ≥8+ 4+ 1= 13 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay x=y=1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 13 đạ t được khi x=y=1 . Trang 7