Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

1. Giảiđề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TPHàNội Giảichi tiết đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Toán SởGiáo Dục Hà Nội NguyễnDuy Khương - HàHuy Khôi - TrầnQuang Độ - NguyễnĐức Toàn - Nguyễn VănHoàng 1Câu1 1.Giảiphương trình x2 x 2 2px 1 0 + + − + = 2.Choba sốthực a, b và c thỏa mãn ab bc ca 1.Chứngminh : + + = a b b c c a − − − 0 1 c2 + 1 a2 + 1 b2 = + + + Lời giải 1) Ta có: x2 x 2 2px 1 0 + + − + = 2 x2 px 1 2px 1 1 0 ⇔ + + − + + = x2 (px 1 1)2 0 ⇔ + + − =  x 0 = ⇔  px 1 1 + = x 0 ⇔ = Vậy x 0 là nghiệm duy nhất thỏa mãn đề bài = 2) Ta có: 1 a2 ab bc ca a2 b(a c) a(a c) (a b)(a c) + = + + + = + + + = + + Làm tương tự thì ta cũng có: 1 b2 (b a)(b c) + = + + 1 c2 (c a)(c b) + = + + 113/6/2021
2. Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Áp dụng vào ta được: a b b c c a a b b c c a − − − − − − 1 c2 + 1 a2 + 1 b2 = (c a)(c b) + (a b)(a c) + (b a)(b c) + + + + + + + + + (a2 b2) (b2 c2) (c2 a2) − + − + − = (a b)(b c)(c a) + + + 0 = 2 Câu 2 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 5xy 6y2 x 2y 2 0 + + + + − = 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n, số n2 n 16 không chia hết cho + + 49 Lời giải 1. Xét phương trình: x2 5xy 6y2 x 2y 2 0 + + + + − = (x 2y)(x 3y) (x 2y) 2 ⇔ + + + + = (x 2y)(x 3y 1) 2 ⇔ + + + = Ta có bảng các trường hợp như sau: x+2y 1 2 -1 -2 x+3y+1 2 1 -2 -1 x 1 6 3 -2 y 0 -2 -2 0 Vậy các cặp (x, y) thỏa mãn là: (1;0);(6; 2);(3; 2);( 2;0) − − − 2. Gỉa sử n Z sao cho: ∃ ∈ . n2 n 16 . 49 + + . 4n2 4n 64 . 49 ⇒ + + . (2n 1)2 63 . 49 (1) ⇒ + + . (2n 1)2 63 . 7 ⇒ + + 2 13/6/2021
3. Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim . . . . Mà 63 . 7 nên (2n 1)2 . 7 2n 1 . 7 (2n 1)2 . 49 (2) ⇒ + . ⇒ + ⇒ + Từ (1) và (2) suy ra 63 . 49 (Vô lý). Vậy giả sử sai hay n Z thì n2 n 16 ∀ ∈ + + không chia hết cho 49. 3 Câu 3 2 1. Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x và x3 đều là số hữu tỉ. Chứng minh + x x là số hữu tỉ. 2. Cho các số thực không âm a, b và c thỏa mãn a b c 5. Chứng minh: + + = 2a 2ab abc 18 + + ≤ Lời giải. 2 1. Theo giả thiết, ta có x và x3 đều là số hữu tỉ (x khác 0). + x 2 Đặt x m (m Q). Suy ra + x = ∈ x2 2 m + x2 2 mx = x ⇒ + = Tương tự, ta cũng có x3 n (n Q). Suy ra = ∈ x4 x3 x nx = · = µ 2¶ Mặt khác P x3 x x4 2x2 là số hữu tỉ. Suy ra x4 2x2 4 là số = · + x = + + + hữu tỉ. Ta có: x4 2x2 4 nx 2(x2 2) nx 2mx (n 2m)x + + = + + = + = + Mà (n 2m) là số hữu tỉ và x4 2x2 4 0 nên n 2m khác 0. Nên x phải + + + > + là số hữu tỉ. (Nếu x vô tỉ thì x4 2x2 4 là số vô tỉ, vô lý). + + Ta có điều phải chứng minh. 2. Theo giả thiết ta có a, b, c không âm và a b c 5. + + (x= y)2 Ta dễ có (x y)2 4xy (x y)2 0. Suy ra xy + với mọi x, y R. + − = − ≥ ≤ 4 ∈ 3 13/6/2021
4. Giảiđề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TPHàNội Áp dụngbất đẳngthức này ,tađượ : 2a 2ab abc a(2 b(2 c)) + + = + + µ (b c 2)2 ¶ a 2 + + ≤ + 4 µ (b c 2)2 ¶ (5 b c) 2 + + = − − + 4 Đặt t b c (t 0). Ta cần chứng minh: = + ≥ µ (t 2)2 ¶ (5 t) 2 + 18 − + 4 ≤ Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với µ (t 2)2 ¶ (t 5) 2 + 18 0 − + 4 + ≥ Hay, (t 2)2(t 3) 0 − + ≥ Bất đẳng thức này đúng do (t 0). Suy ra ≥ µ (t 2)2 ¶ 2a 2ab abc (5 t) 2 + 18 + + ≤ − + 4 ≤ Dấu bằng xảy ra khi t 2,a 3, b 2 và c 0. = = = = Vậy ta có điều phải chứng minh. 4 Câu 4 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có BAC 60o và AB AC. ∠ = < Các đường thẳng BO,CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC, AB tại M, N. Gọi F là điểm chính giữa cung BC lớn. 1. Chứng minh năm điểm A, N,O, M và F cùng thuộc một đường tròn. 2. Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN,FM với đường tròn (O).Gọi J là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ. Chứng minh tia AJ là tia phân giác góc ∠BAC. 3. Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF. Chứng minh AB vuông góc với AK. 413/6/2021
5. Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim Lời giải. 1. Ta có: MON BOC 2 BAC 120◦ do đó: A, M,O, N cùng thuộc 1 ∠ = ∠ = ∠ = đường tròn. Từ đó: CM.CA CO.CN và BM.BO BN.BA. = = CN.CO BM.BO Do đó: CM và BN . Ta cần: BN CM. = CA = BA = CN BM Như vậy cần có: hay là: sin ANO sin AMO(đúng). CA = BA ∠ = ∠ 2. Từ 1) ta có: FNB FMC do đó: NB MC FN FM dẫn đến: AP 4 = 4 = = = ∥ FB. Tương tự: AQ FC. Do đó: CQBP là hình thang cân. ∥ Gọi (COM) (BON) O, J0. Ta có: OJ0C OJ0B OMA ONA ∩ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 180◦ do đó: J0,B,C thẳng hàng. Ta có: CQM FBC 60◦ MOC ∠ = ∠ = = ∠ do đó: M,O, J0,Q,C đồng viên dẫn đến: QJ0C CMQ. Tương tự thì: ∠ = ∠ PJ0B FNA FMA CMQ suy ra: Q, J0,P thẳng hàng. Do đó: J ∠ = ∠ = ∠ = ∠ trùng J0. Lại có: BN.BA BO.BM BJ.BC suy ra: ANJC nội tiếp dẫn đến: J AB = = ∠ = OCB. Tương tự thì: J AC OBC suy ra: AJ là phân giác góc BAC. ∠ = ∠ 5 13/6/2021
6. Giảiđề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TPHàNội 3.Tacó : COJ Bvà OJM OCAsuyra : COJ MJO 90◦suyra:OC ∠ =∠ ∠ =∠ ∠ +∠ = JM.Tươngtự :OB JN.Dođó :JO MN.Tacó : APJ 180◦ ACQ.Gọi( ⊥ ⊥ ⊥ ∠ = −∠ AMN) FC X F,tacó :CX.CF CO.CN CJ.CBdẫnđến :FXJBnộitiếp ∩ = 6= = = suyra : AXJ 120◦ FXA 120◦ FNAdođó : APJ AXJ 180◦tức ∠ = −∠ = −∠ ∠ +∠ = là:A,P,J,Xđồngviên .Cộnggóc đơn giảnta có :J,X,Mthẳnghàng .Tươngtự : J,Y,Nthẳnghàng với Y (AMN) FB F. = ∩ 6= Cùngtừ 2 )tacó : AJN ACO MJOdẫnđến :AJđiqua tâm củaFMNlà ∠ =∠ =∠ L.Dođó : LAX LMJ OJN OBA CKJ.Dođó:A,K,X,J,Pđồng ∠ =∠ =∠ =∠ =∠ viên.Vậytức là :AKJPnộitiếp dẫn đến : JKA BNM( 180◦ APJ)dẫn ∠ =∠ = −∠ đến:KA AB. ⊥ Nhậnxét .Trong quátrình làm bàitoán này .Tácgiả lời giải cótìm đượcthêm 1vài kết quả. a)Chứngminh rằng : FQ cắt JK trên (AFK). b)Chứng minhrằng : AJ cắt FB trên (AFK). c)Chứng minh rằng: PX,CN, AJ đồngquy . Cáchkhác cho câu4 . 6 13/6/2021
7. Giải đề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TP Hà Nội CLB Toán Lim F A K N X M O P C B J Q BOC 2. Có: BFC ∠ 60o FBC đều NPB 180o FCB 120o ∠ = 2 = ⇒ 4 ⇒ ∠ = −∠ = = BOC Tứ giác NPBO nội tiếp. Tương tự, MCQO nội tiếp. Từ đó gọi ∠ ⇒ (BON) cắt (COM) tại J0 khác O thì:  ∠OJ0C ∠OMA ∠ONB J0 BC = = ⇒ ∈ J0 J  OJ0Q OMF ONP J0 PQ ⇒ ≡ ∠ = ∠ = ∠ ⇒ ∈ Và: BM.BA BO.BN BJ.BC suy ra AMJB nội tiếp suy ra JAM = = ∠ = OBC. Tương tự suy ra JAN OCB OBC JAM (đpcm) ∠ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ 3. Gọi JM cắt CF tại X. Có CJX COM 60o nên CJX đều ∠ = ∠ = 4 ⇒ CXJ 60o CAF AFXM nội tiếp, suy ra 6 điểm A, M,O, N,F, X ∠ = = ∠ ⇒ đồng viên. JKX CXJ KJX 60o OCA BAC OAC OAB ⇒ ∠ = ∠ − ∠ = − ∠ = ∠ − ∠ = ∠ OAX OMJ OCB NAJ JAX OAB ∠ = ∠ = ∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠ Suy ra JAX JKX AK X J nội tiếp. ∠ = ∠ ⇒ Ta có: CFB và CF X đều nên FXJB là hình thang cân với 2 đáy 4 4 7 13/6/2021
8. Giảiđề thi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên Sở GD TPHàNội XJ FB.MàFN FBnênAFBPcũnglà hình thang cân với FB AP.Suyra X ∥ = ∥ J AP và XJPA làhình thang cânnên nó nội tiếp .Vậy5 điểm A,K ,X ,J,P ∥ đồngviên JAK CXJ 60o BAK BAJ JAK 30o 60o 90o ⇒∠ =∠ = ⇒∠ =∠ +∠ = + = ⇒ AK AB(đpcm) ⊥ 5Câu5 Cho A là mộttập hợp có 100 phần tửcủa tập hợp {1,2, ,178}. ··· 1.Chứng minh A chứahai sốtự nhiênliên tiếp. 2.Chứngminh vớimọi số tựnhiên n thuộctập hợp {2,3,4, ,22},tồn tại ··· hai phần tửcủa A có hiệu bằng n. Lời giải. 1.Đặt X {1;2; ;178} = Chiacác số trongX thành89 nhóm( mỗinhóm gồm2 sốtự nhiên liên tiếp)nhưsau : (1;2);(3;4); ;(177;178) Tachia 100 số phân biệt ở tậpA vào89 nhóm trên ,theonguyên lý Dirichlet, luôntồn tại ít nhất 1 nhómchứa cả 2 sốtrong tập A .Nên2 sốđó là 2 sốtự nhiênliên tiếp trong tập A (điềuphải chứng minh ). 2. 8 13/6/2021