Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Dành cho chuyên Toán, Tin) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Sơn La (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Dành cho chuyên Toán, Tin) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Sơn La (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT SƠN LA NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN THI: TOÁN (Chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 07/06/2022 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ BÀI: Câu 1. (2,0 điểm) 2x + 53 Cho biểu thức: A= +: 1 −( x ≥0; xx ≠≠ 1; 4) x+12 xx −− 4 − x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên. Câu 2. (2,0 điểm) yx−2 −= 10 a) Giải hệ phương trình:  22 43x− xy += y 1 b) Giải phương trình: xx22+2 += 73( x + 1)( x + 3) Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng (dy1 ) :2=−+ x cắt đường thẳng (dyx2 ) := 23 +− k tại một điểm nằm trên trục hoành. b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (Pyx) : = 2 và đường thẳng (d) :2 y= mx −+ m 1 (Với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ xx12; thỏa mãn: xx12−>3. Câu 4. (2,5 điểm) Cho ∆ ABC có ba góc nhọn ( AB> AC) nội tiếp đường tròn (OR;.) Đường cao AH của ∆ ABC cắt đường tròn (OR; ) tại điểm thứ hai là D . Kẻ DM⊥ AB tại M. a) Chứng minh tứ giác BMHD nội tiếp được đường tròn và DA là tia phân giác của MDC . b) Từ D kẻ DN⊥ AC tại N. Chứng minh ba điểm MHN,, thẳng hàng. c) Cho P=+++ AB2222 AC BD CD . Tính giá trị biểu thức P theo R . Câu 5. (1,0 điểm) a) Cho xy, là các số thực dương thỏa mãn: ( xx+22 +1)( yy + += 1) 2. Tính giá trị biểu thức Q= xy22 ++1 yx + 1. b) Cho xy, là các số thực dương thỏa mãn: 4x22+ 4 y + 17 xy ++ 5 x 5 y ≥ 1. Tính giá trị nhỏ 22 nhất của biểu thức P=++17 x 17 y 16 xy . Hết
2. LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TỈNH SƠN LA NĂM HỌC 2022 – 2023 Câu 1. (2,0 điểm) 2x + 53 Cho biểu thức: A= +: 1 −( x ≥0; xx ≠≠ 1; 4) x+12 xx −− 4 − x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên. Lời giải:  x ≥ 0 2xx+ 5 43 −− a) Với  ⇒=A + : x ≠ 1;4 x +1 +−4 − x ( xx12)( ) 2 225( xx−) ++ 1−x xx ++ 21 x − 1 ( x+1) x−4 ⇒=A ::= = ⋅ ( xx+−12)( ) 4−xx( xx+− 12)( )  −− 41( xx +− 12)( )  x  ( x+1) ( xx −+ 22)( ) x + 2 ⇒=A ⋅= − −+ x −1 ( x2) ( xx 11)( ) x + 2 Vậy A= x −1 xx+2 −+ 13 3 b) Ta có: A= = =1 + xx−−11 x − 1 3 Để A đạt giá trị nguyên ∈ ⇒xU −∈1( 3) =±{ 1; ± 3} x −1 Lập bảng: x −1 - 1 1 - 3 3 x 0 2 - 2 4 x 0 4 16 TM Loại Loại TM Vậy xA∈{0; 16} ⇒∈ . Câu 2. (2,0 điểm) yx−2 −= 10 a) Giải hệ phương trình:  22 43x− xy += y 1 b) Giải phương trình: xx22+2 += 73( x + 1)( x + 3) Lời giải: yx−2 −= 10 yx=21 + ( 1) a) Ta có: ⇔ 22 22 43x− xy += y 14x− 3 xy += y 12( ) 2 Thay (1) vào (2) ta được: 4xxx2− 321( +) +( 21 x +) = 1 ⇔ 4 xxxxx22 − 6 − 34 + 2 + 411 +=
3. x = 0 2  ⇔2x +=⇔ x 0 xx( 210 +) =⇔ −1 x =  2 Với xy=⇒=01 − 1 Với xy= ⇒=0 2 −1 Vậy ( xy;)= ( 0;1) ; ;0 2 b) ĐKXĐ: x ≥−3 ⇒PT ⇔ x22 ++12( x + 3) = 3( x + 1)( x + 3) ( *) ax= + 3 Đặt:  (ab≥>0; 0) 2 bx= +1 ⇒(*) ⇔+b22 2 a = 3 ab ⇔ 23 a2 − ab +=⇔ b 2 02 a 2 − 2 ab −+=⇔ ab b2 02 a( a −− b) b( a −= b) 0 ab−=0 ab = (ab−)(20 ab −=⇔)  ⇔ 2ab−= 02 ab = 22 2 x = −1 TH1: Nếu a=⇔ b x +=3 x +⇔ 1 x +=+⇔ 1 x 3 x −−=⇔ x 20  (TM ) x = 2 x =2 + 15 TH2: Nếu 2a=⇔ b 2 x += 3 x22 +⇔+=+⇔−−=⇔ 1 x 1 4( x 3) x2 4 x 11 0  (TM ) x =2 − 15 Vậy S =−±{ 1;2; 2 15} Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng (dy1 ) :2=−+ x cắt đường thẳng (dyx2 ) := 23 +− k tại một điểm nằm trên trục hoành. b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (Pyx) : = 2 và đường thẳng (d) :2 y= mx −+ m 1 (Với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ xx12; thỏa mãn: xx12−>3. Lời giải: a) Giả sử Ax( AA; y) là giao điểm của đường thẳng (dy1 ) :2=−+ x và (dyx2 ) := 23 +− k yA= 0  yy AA= 00= Do: A nằm trên trục hoành và Ad∈⇒1  ⇒  ⇒ ⇒A(2;0) yxAA=−+20  =−+ xAA 2 x = 2 Mà: Ad∈2 ⇒0 = 2.2 +− 3k ⇒ k = 7 Vậy k = 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán b) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d ) : x22=212101;2;1 mx − m +⇔ x − mx + m −=( a = b =− m c = m −) 2 2 2 22113 1 3 Ta có: ∆=−''b ac =−( m) −1.( m −= 1) m −+= m 1 m − 2. m . ++=m − +>∀0 m 244 2 4 ⇒ (P) luôn cắt (d ) tại hai điểm phân biệt với ∀m
4.  −b xx+= =2 m  12a Theo Vi-Et ta có:  c xx= = m −1  12 a 2 2 22 2 Mà: x1−>⇔−>⇔+−>⇔+−> x 2 3 x1 x 2 ( 3) x1 x 2 23 xx 12 ( x1 x 2) 43* xx 12 ( ) 221 Thay vào (*) ta được: (2m) − 4( m −> 1) 3 ⇔ 4 mm2 − 4 +>⇔ 10( 2 m − 1) >⇔ 0 m ≠ 2 1 Vậy m ≠ thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 Câu 4. (3,0 điểm) Cho ∆ ABC có ba góc nhọn ( AB> AC) nội tiếp đường tròn (OR;.) Đường cao AH của ∆ ABC cắt đường tròn (OR; ) tại điểm thứ hai là D . Kẻ DM⊥ AB tại M. a) Chứng minh tứ giác BMHD nội tiếp được đường tròn và DA là tia phân giác của MDC . b) Từ D kẻ DN⊥ AC tại N. Chứng minh ba điểm MHN,, thẳng hàng. c) Cho P=+++ AB2222 AC BD CD . Tính giá trị biểu thức P theo R . Lời giải: A M O H 2 2 C 2 1 1 B 1 N 1 2 4 3 D a) Ta có: DHB = DMB =90 ⇒  DHMB nội tiếp 1 ⇒==D B HM 222 1 Mà: ⇒==D B AC 122 ⇒=  = ⇒ DD12( B 2) đpcm  b) Ta có:  ABDC nội tiếp C1 = ABD (góc ngoài tứ giác nội tiếp)
5.   ⇒∆NCD ≈ ∆ MBD( g. g) ⇒ D43 = D (hai góc tương ứng) Mà:  NCHD nội tiếp (Vì: NH = = 90 )   ⇒=DH41 1 Mặt khác: D = H = MB ⇒=HH  322 12 Do: C, H, B thẳng hàng nên ta có đpcm. c) Câu 5. (1,0 điểm) a) Cho xy, là các số thực dương thỏa mãn: ( xx+22 +1)( yy + += 1) 2. Tính giá trị biểu thức Q= xy22 ++1 yx + 1. b) Cho xy, là các số thực dương thỏa mãn: 4x22+ 4 y + 17 xy ++ 5 x 5 y ≥ 1. Tính giá trị nhỏ 22 nhất của biểu thức P=++17 x 17 y 16 xy . Lời giải: a) Ta có: ( xx++221)( yy ++=⇔++++−++=−++ 12) ( xx22 1)( yy 1)( xx 2 12) ( xx 2 1) ⇔( yy +22 +=−+1) 2 x 2 x + 11( ) TT:( x+ x22 +=−+ 1) 2 y 2 y + 12( ) Trừ (1) với (2) vế theo vế: xy− + x22 +−1 y +=−+ 1 2 y 2 x + 2 y2 + 12 − x 2 + 1 3( xy+ ) ⇔( xy −) −3 x22 +− 1 y + 10 = ⇔( xy −) 1 − =0 ( ) 22 xy++11 + xy= ⇔  22  x++1 y +− 13 xy − 3 = 0 x < 2 TH1: Nếu xy= ⇔ x + x22 +=12 ⇔x += 12 − x ⇔ 22 x+=1 2 − 22 xx + 12 3 ⇔=x = = yQ ⇒ = 22 44 TH2: Nếu x22++1 y +− 13 xy − 3 = 0 Hết