Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Bình (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Bình (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày 07/6/2022 Môn: TOÁN (CHUYÊN) SBD: Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang gồm 5 câu Câu 1 (2,0 điểm). 3xx+− 5 11 x − 2 2 Cho biểu thức P = −+−1 (với 01≤≠x ) ( xx−+12)( ) xx−+12 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm x để P chia hết cho 3. Câu 2 (2,0 điểm). a) Cho phương trình x2 −2( mx − 1) −= 3 0 ( 1) (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình (1) có hai nghiệm xx12, thỏa mãn xx12+=25. b) Giải phương trình xx++1 3 − 54 =. Câu 3 (1,0 điểm). Cho abc, , là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: abc222 + + ≥++abc bca+− cab +− abc +− Câu 4 (1,5 điểm). Tìm n∈ để n5 +1 chia hết cho n3 +1. Câu 5 (3,5 điểm). Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với (O) ( MN, là các tiếp điểm). Gọi E là trung điểm của AN, C là giao điểm của ME với (O) (C khác M ) và H là giao điểm của MN và AO . a) Chứng minh tứ giác HCEN nội tiếp. b) Gọi D là giao điểm của AC với (O) ( D khác C ). Chứng minh tam giác MND là tam giác cân. c) Gọi I là giao điểm của NO với (O) ( I khác N ); K là giao điểm của MD và AI . KM Tính tỉ số . KD HẾT
2. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 Khóa ngày 07/6/2022 Môn: TOÁN (CHUYÊN) (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) Yêu cầu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận logic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng. * Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước sau có liên quan. * Điểm thành phần của mỗi câu được phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm là 0,5 điểm thì tùy tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Đối với Câu 5, học sinh không vẽ hình thì cho điểm 0. Trường hợp học sinh có vẽ hình, nếu vẽ sai ở ý nào thì điểm 0 ở ý đó. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tùy theo mức điểm từng câu. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu. Câu Nội dung Điểm 3xx+− 5 11 x − 2 2 Cho biểu thức P = −+−1 ( xx−+12)( ) xx−+12 2,0 1 (với 01≤≠x ) điểm a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P chia hết cho 3. Với 01≤≠x ta có: (3xx+−−− 5 11) ( x 2)( x ++−−−+ 2) 2( x 1) ( x 1)( x 2) P = −+ ( xx12)( ) 0,5 (3x+ 5 x − 11) −( x − 4) + 2( x −− 1) ( xx + −2) = a ( xx−+12)( ) xx+−67( xx−+17)( ) x+7 = = = ( xx−+12)( ) ( xx −+ 12)( ) x + 2 0,5 x + 7 Vậy P = với 01≤≠x x + 2 HDC TOÁN (CHUYÊN) Trang 1/5
3. Câu Nội dung Điểm x + 7 5 57 Ta có: PP= =+1 ⇒ 0, ∀≥ 0,5 xx++12 3 −+ 52 3 ⇔=x 3 Vậy x = 3 HDC TOÁN (CHUYÊN) Trang 2/5
4. Câu Nội dung Điểm Cho abc, , là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1,0 3 abc222 + + ≥++abc điểm bca+− cab +− abc +−  xz+ a =  2 xabc=+−>0  xy+ Đặt ybca=+−>⇒0 b = 2 zcab=+−>0   yz+ 0,25 c =  2 222 ( xy+) ( yz ++) ( zx) Ta cần chứng minh: + + ≥++xyz 444zxy 222 ( xy+) ( yz ++) ( zx) xy yz zx Ta có: + + ≥++ ( 1) 444z x y zxy xy yz yz zx xy zx Mặt khác: +≥2yzx ; +≥2 ; +≥2 . 0,25 zx xy zy xy yz zx Khi đó + + ≥++xyz ( 2) zxy 222 ( xy+) ( yz ++) ( zx) Từ (1) , (2) ta có + + ≥++xyz 0,25 444zxy abc222 Vậy + + ≥++abc bca+− cab +− abc +− 0,25 Dấu bằng xãy ra khi abc= = 1,5 Tìm n∈ để n5 +1 chia hết cho n3 +1 điểm Với n∈ , ta có n5+11 n 3 +⇔ nn 23( + 1) −( n 2 − 1) n 3 + 1 0,25 ⇔(n23 −1) n +⇔ 1( n − 11)( n +) ( n + 1)( nn2 − + 1) 0,5 ⇔−n11 nn2 −+ (vì n +≠10) ⇒nnnn( −1)22 −+⇔ 1 nn −+ 11 − nn 2 −+ 1 0,25 4 ( ) nn2 − +=11 n = 1 ⇔11nn2 − +⇒ ⇔   2  0,25 nn− +=−11n = 0 Thử lại ta thấy nn=0; =1 thỏa mãn để n5 +1 chia hết cho n3 +1 0,25 Vậy nn=0; =1. HDC TOÁN (CHUYÊN) Trang 3/5
5. Câu Nội dung Điểm Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn ()O kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với (O) ( MN, là các tiếp điểm). Gọi E là trung điểm của AN , C là giao điểm của ME với ()O (C khác M ) và H là giao điểm của MN và AO a) Chứng minh tứ giác HCEN nội tiếp. 3,5 5 b) Gọi D là giao điểm của AC với ()O ( D khác C ). Chứng minh điểm tam giác MND là tam giác cân. c) Gọi I là giao điểm của NO với ()O ( I khác N ) ; K là giao KM điểm của MD và AI . Tính tỉ số . KD Ta có AM, AN là hai tiếp tuyến cắt nhau nên OA là đường phân giác của MON 0,25 ∆MON cân tại O , có OA đường phân giác nên OA đồng thời cũng là đường trung trực ứng với MN ⇒=MH HN; OA ⊥ MN Vì MH= HN; AE = EN nên HE là đường trung bình của ∆MAN a 0,5 ⇒HE// MA ⇒= HEM AME mà MNC = AME (cùng chắn MC ) 0,5 nên MNC = HEM Suy ra tứ giác HCEN nội tiếp. 0,25 EN EC EA EC ∆ENC∽ ∆ EMN() g. g ⇒= mà EN= EA nên = 0,25 EM EN EM EA EA EC b ∆ECA và ∆EAM có = và AEC chung EM EA 0,25 Do đó ∆∆ECA∽ EAM ⇒=EAC EMA Lại có EMA = MDC (cùng chắn MC ) nên EAC = MDC 0,25 HDC TOÁN (CHUYÊN) Trang 4/5
6. Câu Nội dung Điểm Suy ra MD// AN ⇒=DMN MNA Mặt khác, MDN = MNA (cùng chắn MN ) 0,25 ⇒=MDN DMN . Do đó ∆MND cân tại N Gọi L là giao điểm của MD và NI Vì MD// AN (cmt), IN⊥ AN (tính chất tiếp tuyến) MD nên IN⊥ MD tại L ⇒==DL ML 2 0,25 LK IL ∆INA có LK// AN ⇒= (1) c AN IN Ta có IM// AO (cùng vuông góc với MN ), suy ra MIL = AON Lại có MLI = ONA = 900 nên ∆∆MIL∽ AON() g − g 0,25 IL ML IL ML IL ML Suy ra = ⇒ = ⇒= (2) NO AN22 NO AN IN 2 AN LK ML ML ML Từ (1) và (2) suy ra = ⇒=LK ⇒ MK == KL 0,25 AN22 AN 2 KM 1 Vì MK= LK; ML =⇒= DL KD3 KM ⇒ =. 0,25 KD 3 HDC TOÁN (CHUYÊN) Trang 5/5