Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Đề số 2 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Chu Văn An (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Đề số 2 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Chu Văn An (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND QUẬN NGÔ QUYỀN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN Năm học 2021 – 2022 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 02 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi Bài 1. (1,5 điểm). 3 2 Cho các biểu thức A = + ( 7 - 3) 7 - 2 æ x x ö x + 1 ç ÷ và B = ç - ÷: (với x > 0;x ¹ 1). èç x - 1 x - x ø÷ x - 1 a) Rút gọn các biểu thức A,B . b) Tìm các giá trị của x để B 0), y là số tiền công làm hàng rào. a) Hãy viết hàm số tính tiền công thợ làm hàng rào. b) Hỏi bác Hoàng phải trả bao nhiêu tiền công để thợ rào hết hàng rào. Biết rằng giá mỗi mét dây kẽm là 15000 đồng. Bài 3. (2,5 điểm). 1 1. Cho phương trình x2 - 2x + m - 1 = 0 (1) (m là tham số). 2 a) Giải phương trình (1) với m = 1. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho æx2 x2 ÷ö x x ç 1 + 2 ÷+ 48 = 0. 1 2 ç ÷ èç 2 2 ÷ø 2. Bài toán thực tế Hưởng ứng phong trào nuôi lợn siêu trọng, tập thể lớp 9A và 9B của một trường THCS C đã tích cực tham gia, kết quả cả hai lớp thu được 1674000 đồng, trong đó trung bình mỗi học sinh lớp 9A góp được 20000 đồng và mỗi học sinh lớp 9A góp được nhiều hơn một học sinh lớp 9B là 2000 đồng. Tính số học sinh của hai lớp biết lớp 9A nhiều hơn lớp 9B là 2 học sinh. Bài 4. (0,75 điểm). Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật có kích thước như hình vẽ: Trang 1/1
2. Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm một cái mũ đó biết rằng vành mũ hình tròn và ống mũ hình trụ (làm tròn đến hàng đơn vị). Bài 5. (3,0 điểm). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn ( A,B là các tiếp điểm). a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp. b) Kẻ dây AC song song với BM . Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D (D khác C ). Gọi E là giao điểm của AD và MB . Chứng minh BE 2 = DE.AE và BE = ME . c) Gọi H và K lần lượt là giao điểm của MO với AB và đường tròn (O) (H nằm giữa M và K ), HE cắt AK tại I . Chứng minh AK vuông góc với BI . Bài 6. (0,75 điểm). Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 6xyz . Chứng minh rằng yz zx xy + + ³ 2× x 3 (z + 2y) y 3 (x + 2z) z3 (y + 2x) Hết Quận Ngô Quyền, ngày 12 tháng 4 năm 2021 NGƯỜI RA ĐỀ XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU Vũ Hoàng Hiệp Trần Thu Huyền Vũ Thị Gái Vũ Thị Thu Hường Phạm Trà My Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 2/1
3. UBND QUẬN NGÔ QUYỀN HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN Năm học 2020 – 2021 Hướng dẫn gồm 04 trang Bài Đáp án Điểm a) (1.0 điểm) 3( 7 + 2) A = + 7 - 3 0,25 3 = 7 + 2 + 3- 7 = 5. 0,25 æ ö ç ÷ x + 1 x - 1 ç x x ÷ ( )( ) 1 B = ç - ÷× 0,25 ç x - 1 x x - 1 ÷ x + 1 (1,5 èç ( )ø÷ ( ) điểm) x - 1 = ×( x - 1) = x - 1. 0,25 x - 1 b) (0.5 điểm) Do B 0;x ¹ 1 0,25 Vậy 0 < x < 36 và x ¹ 1. 1. (0.75 điểm) ïì ì ï (x + 5)(y - 2) = (x + 2)(y - 1) ï xy - 2x + 5y - 10 = xy - x + 2y - 2 íï Û í 0,25 ï x - 4 y + 7 = x - 3 y + 4 ï xy + 7x - 4y - 28 = xy + 4x - 3y - 12 îï ( )( ) ( )( ) îï ì ì ï - x + 3y = 8 ï - 3x + 9y = 24 Û í Û í 0,25 ï 3x - y = 16 ï 3x - y = 16 îï îï ì ì ï - x + 3y = 8 ï x = 7 2 Û í Û í ï 8y = 40 ï y = 5 (1,5 îï îï 0,25 điểm) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) = (7;5). 2. (0.75 điểm) a) Do mảnh đất hình hình vuông có diện tích là 3600m2 nên cạnh của hình vuông là 60m . 0,25 Do đó chu vi của mảnh đất hình vuông là 240m. Hàm số tính tiền công thợ làm hàng rào là y = 5000000- 240.x 0,25 b) Số tiền mà bác Hoàng phải trả tiền công để thợ rào hết hàng rào là 5000000- 240.15000 = 1400000 (đồng). 0,25 3 1. (1.5 điểm) (2.5 a) (0.5 điểm) điểm) Với m = 1 ta được phương trình x2 - 4x = 0 0,25 Trang 3/1
4. é êx = 0 Û x (x - 4) = 0 Û ê . x = 4 0,25 ëê Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = 0;x = 4 với m = 1. b) (1,0 điểm) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Û D ' > 0 Û 4- 2m + 2 > 0 Û m 2 ) thì số học sinh lớp 9B là 0,25 x - 2 (học sinh). Số tiền nuôi lợn của học sinh lớp 9A là 20000x (đồng). Số tiền nuôi lợn của học sinh lớp 9B là 18000(x - 2) (đồng). 0,25 Theo đề bài ta có 20000x + 18000(x - 2) = 1674000 0,25 Û 20000x + 18000x - 38000 = 1674000 Û x = 45 (TM ) 0,25 Vậy số học sinh của lớp 9A là 45 học sinh; số học sinh lớp 9B là 43 học sinh. (0,75 điểm) Diện tích vải cần để làm vành mũ hình tròn là: 2 2 æ35ö æ35 ö 0,25 S = pR2 - pR '2 = p ç ÷ - p ç - 10÷ = 362,5p (cm2). 1 ç ÷ ç ÷ èç 2 ÷ø èç 2 ø÷ 4 Diện tích vải cần để làm ống mũ hình trụ là: (0,75 æ ö điểm) 35 2 0,25 S = 2prh = 2p ç - 10÷.35 = 525p cm . 2 ç ÷ ( ) èç 2 ø÷ Diện tích vải cần để làm một cái mũ như hình vẽ trên là: 2 0,25 S = S1 + S2 = 362,5p + 525p = 887,5p (cm ). 5 (3.0 điểm) Trang 4/1
5. (3,0 điểm) A I K O H C D M E B Vẽ hình đúng hết phần a) 0,25 điểm. a) (1,0 điểm) · - Do MA là tiếp tuyến đường tròn (O) nên MAO = 90°. 0,25 · - Do MB là tiếp tuyến đường tròn (O) nên MBO = 90° . 0,25 · · · · Do đó MAO + MAO = 180° mà hai góc MAO ; MAO là hai góc đối diện. 0,25 Do đó MAOB là tứ giác nội tiếp. 0,25 b) (1,0 điểm) · · · Xét DBED và DAEB có EBD = BAE và AEB chung 0,25 Do đó: DBED ∽ DAEB (g.g). BE DE Suy ra: = Û BE 2 = AE.DE. (1) 0,5 AE BE · · Có EMD = ACD (hai góc so le trong của AC / / MB ) · · Xét (O) có ACD = MAE (tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) · · suy ra EMD = MAE . · · · Xét DEMD và DEAM có EMD = MAE và AEM chung EM ED Do đó: DEMD ∽DEAM (g.g) Þ = Û EM 2 = AE.DE. (2) 0,25 EA EM Từ (1) và (2) suy ra BE 2 = EM 2 Þ BE = ME. c) (0,75 điểm) Xét DBAM có BE = EM ,BH = HA suy ra HE là đường trung bình của DBAM · · 0,25 Þ HE / / AM Þ BHE = BAM (hai góc đồng vị). · · Xét (O) có AKB = BAM (tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) 0,25 · · Do đó AKB = BHE suy ra KIHB là tứ giác nội tiếp. · · Þ KIB = KHB (tính chất góc nội tiếp). · Lại có OA = OB,MA = MB nên MO là trung trực của AB Þ KHB = 90° 0,25 · Do đó KIB = 90° Þ EI ^ AK . (0,75 điểm) 6 yz zx xy (0,75 Đặt P = + + 3 3 3 0,25 điểm) x (z + 2y) y (x + 2z) z (y + 2x) Áp dụng BĐT AM - GM ta được Trang 5/1
6. yz z + 2y yz z + 2y 2 + ³ 2 × = x 3 (z + 2y) 9xyz x 3 (z + 2y) 9xyz 3x2 yz 2 z + 2y Û ³ - x 3 (z + 2y) 3x2 9xyz zx 2 x + 2z xy 2 y + 2x Tương tự: ³ - ; ³ - y 3 (x + 2z) 3y2 9xyz z3 (y + 2x) 3z2 9xyz 0,25 2æ1 1 1 ö x + y + z 2æ1 1 1 ö Do đó P = ç + + ÷- = ç + + ÷- 2 (x + y + z = 6xyz) ç 2 2 2 ÷ ç 2 2 2 ÷ 3èçx y z ÷ø 3xyz 3èçx y z ø÷ Áp dụng BĐT a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca ta được æ ö 2ç 1 1 1 ÷ 2 x + y + z 2 P ³ ç + + ÷- 2 = - 2 = ×6- 2 = 2. (đpcm) 3èçxy yz zx ø÷ 3 xyz 3 0,25 2 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = × 2 Chú ý:- Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm. - Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. - Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm. - Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm. Thí sinh không vẽ hình mà làm vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được. - Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh công nhận ý trên để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì chấm điểm ý đó. - Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn. Quận Ngô Quyền, ngày 12 tháng 4 năm 2021 NGƯỜI RA ĐỀ XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU Vũ Hoàng Hiệp Trần Thu Huyền Vũ Thị Gái Vũ Thị Thu Hường Phạm Trà My Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 6/1