Đề kiểm tra học kì 2 Toán Lớp 10 (Sách Chân trời sáng tạo) - Đề 3 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học kì 2 Toán Lớp 10 (Sách Chân trời sáng tạo) - Đề 3 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2022-2023 (Đề thi gồm có 03 trang) Môn: Toán 10 Chân trời sáng tạo Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: a) x2 x 2 x2 2x 3 ; b) x 2 2x2 4 x2 4 1 1 Câu 2. (1,0 điểm) Giải bất phương trình 1 0 . x 1 x Câu 3. (1,0 điểm) Tìm tất cả tham số m để f x x2 2mx m2 m luôn dương với mọi x thuộc ¡ . Câu 4. (1,5 điểm) Có 3 cuốn sách lý, 4 cuốn sách sinh, 5 cuốn sách địa. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách hàng ngang nếu: a) Sắp xếp tùy ý ? b) Các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau ? 5 1 2 3 4 5 Câu 5. (1, 5 điểm) Cho 1 x a0 a1x a2 x a3 x a4 x a5 x . 2 a) Tìm hệ số lớn nhất trong tất cả hệ số a0 , a1, , a5 . b) Tính tổng a0 a1 a2 a3 a4 a5 . 2 2 Câu 6. (1, 5 điểm) Cho họ đường tròn Cm : x y 4mx 2 m 1 y 1 0 . a) Tìm m để Cm đi qua điểm A 1;0 . b) Chứng minh rằng Cm luôn là đường tròn với mọi số thực m. Tìm bán kính bé nhất của đường tròn Cm . x t Câu 7. (1,0 điểm) Cho hai đường thẳng d1 : , d2 : x y 3 0 . Viết y 2 2t phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M 3;0 , đồng thời cắt hai đường thẳng d1, d2 tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. Câu 8. (1,0 điểm) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo đảo theo lộ trình từ A đến C (đường bờ biển) rồi từ C đến B B (dưới nước) như hình vẽ. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD mỗi km, biển giá để xây đường ống dưới nước là 130000 USD mỗi 6km km; B là điểm trên bờ biển sao cho BB vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B là 9 km. Biết C B' x km (9 - x)km A bờ biển
2. rằng chi phí làm đường ống này là 1170000 USD. Hỏi vị trí C cách vị trí A bao nhiêu km?
3. HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN Câu 1. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: a) x2 x 2 x2 2x 3 ; b) x 2 2x2 4 x2 4 Hướng dẫn giải: a) Bình phương hai vế phương trình: 5 x2 x 2 x2 2x 3 2x2 3x 5 0 x 1 x . 2 5 Thay các giá trị x 1, x vào phương trình đã cho, ta thấy chúng đều thỏa 2 mãn. 5 Vậy tập nghiệm phương trình là: S 1;  . 2 b) Ta có: x 2 2x2 4 x2 4 x 2 0 x 2 x 2 2x2 4 x 2 x 2 . 2 2 2x 4 x 2 2x 4 x 2 Xét phương trình 2x2 4 x 2 (1). 2 2 2 x 0 Bình phương hai vế (1), ta được: 2x 4 x 4x 4 x 4x 0 . x 4 Thay lần lượt x 0, x 4 vào phương trình (1), ta thấy chúng đều thỏa mãn. Vậy tập nghiệm phương trình là: S 0;2;4 . 1 1 Câu 2. (1,0 điểm) Giải bất phương trình 1 0 . x 1 x Hướng dẫn giải: x 0 Điều kiện: . Ta có: x 1 1 1 x x 1 x x 1 x2 x 1 1 0 0 0 . x 1 x x 1 x x2 x a 1 0 2 1 Dễ thấy x x 1 0, x ¡ vì 2 . 1 4.1.1 0 Vì vậy bất phương trình trở thành x2 x 0 . 2 Tam thức bậc hai x x có hai nghiệm x1 0, x2 1 và a2 1 0 nên 2 x 0 x x 0 . x 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S ;0  1; .
4. Câu 3. (1,0 điểm) Tìm tất cả tham số m để f x x2 2mx m2 m luôn dương với mọi x thuộc ¡ . Hướng dẫn giải: Ta có: a 1, b 2m, c m2 m . Theo giả thiết: (luôn đúng) a 0 1 0 f x 0, x ¡ 2 2 . 0 2m 4 m m 0 4m2 4m2 4m 0 m 0 . Vậy với m 0 thì f x 0, x ¡ . Câu 4. (1,5 điểm) Có 3 cuốn sách lý, 4 cuốn sách sinh, 5 cuốn sách địa. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách hàng ngang nếu: a) Sắp xếp tùy ý ? b) Các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau ? Hướng dẫn giải: a) Số cách xếp tùy ý 12 cuốn sách lên giá là 12! (cách). b) Gọi L là nhóm 3 sách lý, S là nhóm 4 sách sinh, Đ là nhóm 5 sách địa. Số cách xếp trong L là 3!; số cách xếp trong S là 4!; số cách xếp trong Đ là 5!; số cách xếp L, S, Đ với nhau: 3!. Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài là: 3!4!5!3! 103680 (cách). 5 1 2 3 4 5 Câu 5. (1, 5 điểm) Cho 1 x a0 a1x a2 x a3 x a4 x a5 x . 2 a) Tìm hệ số lớn nhất trong tất cả hệ số a0 , a1, , a5 . b) Tính tổng a0 a1 a2 a3 a4 a5 . Hướng dẫn giải: a) Ta có: 5 2 3 4 5 1 0 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 1 x C5 C5 x C5 x C5 x C5 x C5 x 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 1 1 x x2 x3 x4 x5 a a x a x2 a x3 a x4 a x5 (*). 2 2 4 16 32 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 1 Suy ra: a 1, a , a , a , a , a . 0 1 2 2 2 3 4 4 16 5 32 5 Ta thấy hệ số lớn nhất tìm được là a . 2 2 5 1 b) Thay x 1 vào (*), ta được: 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 . 2 1 Vậy a a a a a a . 0 1 2 3 4 5 32 2 2 Câu 6. (1, 5 điểm) Cho họ đường tròn Cm : x y 4mx 2 m 1 y 1 0 . a) Tìm m để Cm đi qua điểm A 1;0 .
5. b) Chứng minh rằng Cm luôn là đường tròn với mọi số thực m. Tìm bán kính bé nhất của đường tròn Cm . Hướng dẫn giải: 2 2 a) Cm đi qua điểm A 1;0 nên 1 0 4m.1 2 m 1 .0 1 0 m 0 . Vậy m 0 thỏa mãn đề bài. 4m 2 m 1 b) Đặt a 2m, b m 1 , c 1. 2 2 2 2 2 2 Ta có : a b c 4m m 1 1 0, m ¡ nên Cm luôn là đường tròn với mọi m. Bán kính đường tròn là : 2 2 2 2 1 9 9 R a b c 5m 2m 2 5 m . 5 5 5 9 1 Vậy bán kính nhỏ nhất của đườn tròn R ; khi đó m . min 5 5 x t Câu 7. (1,0 điểm) Cho hai đường thẳng d1 : , d2 : x y 3 0 . Viết phương y 2 2t trình tham số đường thẳng d qua điểm M 3;0 , đồng thời cắt hai đường thẳng d1, d2 tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. Hướng dẫn giải: Xét đường thẳng d2 : x y 3 0 ; thay x t y 3 t , ta có phương trình x t tham số d2 : . y 3 t Gọi A d  d1 A t ; 2 2t ; gọi B d  d2 B t ; 3 t . Vì M 3;0 là trung điểm của đoạn AB nên t t 11 3 t 2 t t 6 3 . Ta có 2 2t 3 t 2t t 5 7 0 t 2 3 11 16  2 16 2 A ; AM ; u với u 1;8 là một vectơ chỉ phương 3 3 3 3 3 của d. x 3 t Phương trình tham số của d là . y 8t Câu 8. (1,0 điểm) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ đảo một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo theo lộ trình từ A đến C (đường bờ biển) rồi từ C đến B (dưới nước) B như hình vẽ. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Giá để xây đường biển 6km C B' x km (9 - x)km A bờ biển
6. ống trên bờ là 50000 USD mỗi km, giá để xây đường ống dưới nước là 130000 USD mỗi km; B là điểm trên bờ biển sao cho BB vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B là 9 km. Biết rằng chi phí làm đường ống này là 1170000 USD. Hỏi vị trí C cách vị trí A bao nhiêu km? Hướng dẫn giải: Gọi x B C ( 0 x 9 ), khi đó: BC x2 36 . Số tiền xây đường ống trên bờ: 9 x 50000 ; số tiền xây đường ống dưới biển: 130000 x2 36 . Tổng chi phí bỏ ra để làm đường ống là: 9 x 50000 130000 x2 36 . Theo giả thiết: 9 x .50000 130000 x2 36 1170000 5 9 x 13 x2 36 117 13 x2 36 5x 72 72 5x 72 0 x 5 2 2 5 x . 169 x 36 25x 720x 5184 2 2 144x 720x 900 0 Ta có B C 2,5 km AC 9 2,5 6,5 km . Vậy, ví trí C cách vị trí A một khoảng bằng 6,5 km.