Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Nghinh Xuyên (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Nghinh Xuyên (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐOAN HÙNG ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THCS NGHINH XUYÊN THPT MÔN TOÁN NĂM HỌC 2021 – 2022 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 điểm) Câu 1. Phương trình 3.x 12 có nghiệm là A. x 4 . B. x 4 . C. x 6 . D. x 2 . Câu 2. Xác định các giá trị của m để các đường thẳng y 2 x 4, y 3 x 5, y mx cùng đi qua một điểm 1 1 A. m . B. m . C. m 2. D. m 2. 2 2 Câu 3. Đường thẳng y 2x 6 . Gọi M,N lần lượt là hai điểm mà đường thẳng đã cho giao với trục Ox,Oy . Khi đó chu vi tam giác OMN A. 6 3 5. B. 9 3 5. C. 6. D. 9. x 2 y 1 Câu 4. Tìm cặp giá trị a;b để hai hệ phương trình sau tương đương: và x y 4 ax y 2 2ax by 7 A. ( 1; 1). B. (1;2). C. ( 1;1). D. (1;1). Câu 5. Cho hàm số y (1 2) x2 . Kết luận nào sau đây đúng? A. Hàm số trên luôn đồng biến. B. Hàm số trên luôn nghịch biến C. Hàm số trên đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 . D. Hàm số trên đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 . Câu 6. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn? A. 2x 1 0. B. x2 2 y 3. C. x 2 y 4. D. x2 2 x 1 0. 2 3 3 Câu 7. Nếu x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x x 1 0 thì x1 x 2 bằng A. 12. B. 4. C. 12. D. 4. Câu 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB 2. Độ dài đường cao AH bằng A. 1. B. 2. C. 2 2. D. 2. Câu 9. Một cái thang dài 4m đặt dựa vào tường, biết góc giữa thang và mặt đất là 60 . Khoảng cách từ chân thang đến tường là 3 A. m. B. 2 3m . C. 2 2m . D. 2m . 2
2. Câu 10. Trên đường tròn O;R lấy 3 điểm A, B sao cho AB BC R, M , N lần lượt là điểm chính giữa của 2 cung nhỏ AB và BC thì số đo góc MBN là A. 120 . B. 150 . C. 240 . D. 105 . II. PHẦN TỰ LUẬN (2,5 điểm) Câu 1. (1,5 điểm). x 2 3 20 2 x Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 25 . x 5 x 5 x 25 a) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 . 1 b) Chứng minh rằng B . x 5 c) Tìm tất cả các giá trị của x để A Bx. 4 . Câu 2 (2,0 điểm). a) Số tiền phải trả để mua x gói kẹo được cho bởi công thức y 54000 x 6000 (đồng). Tính số tiền phải trả để mua 5 gói kẹo. Nếu có 500000 đồng thì có thể mua tối đa bao nhiêu gói kẹo? 3xy 2 m 9 b) Cho hệ phương trình có nghiệm (x;y). Tìm m để biểu thức x y 5 C xy x 1 đạt giái trị lớn nhất. Câu 3 (3,0 điểm). Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ), bán kính R. Kẻ đường cao AH, BK của tam giác ABC , các tia AH, BK lần lượt cắt O tại các điểm thứ hai là D,. E a) Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó. b) Chứng minh HK//. DE c) Cho O và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên O sao cho ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp CHK không đổi. Câu 4 (1,0 điểm). Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2 b 2 2 . Tìm giá trị a3 b 3 4 lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M . ab 1 Hết
3. HƯỚNG DẪN CHẤM I. TRẮC NGHIỆM (2,5 điểm mỗi câu đúng 0,25 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án D C B D D D D C D B II. TỰ LUẬN (7,5 điểm) Câu Nội dung Điểm Tính giá trị biểu thức A khi x 9 . a 9 2 3 2 5 Khi x 9 ta có A 0,5 9 5 3 5 2 1 Chứng minh rằng B . x 5 Với x 0, x 25 thì 3 20 2 x 3 20 2 x B 0,25 x 5 x 15 x 5 x 5 x 5 a 3 x 5 20 2 x 3x 15 20 2 x x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 1 (đpcm) 0,25 1 x 5 x 5 x 5 Với x 0, x 25 Ta có: A Bx. 4 x 2 1 .x 4 x 2 x 4 (*) x 5 x 5 Nếu x 4, x 25 thì (*)trở thành : x 2 x 4 x x 6 0 x 3 x 2 0 c Do x 2 0 nên x 3 x 9 (thỏa mãn) Nếu 0 x 4 thì (*)trở thành : x 2 4 x 0,25 x x 2 0 x 1 x 2 0 Do x 2 0 nên x 1 x 1 (thỏa mãn) 0,25
4. Vậy có hai giá trị x 1 và x 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán. y(5) 54000.5 6000 276000 (đồng) 0,5 a 500000 54000x 6000 x 9,1 0,25 KL mua tối đa 9 gói 0,25 2 Khẳng định được có nghiệm duy nhất với mọi m 0,25 b Giải được nghiệm tổng quát (x;y) (m 2;3 m) 0,25 Tìm GTNN C 8 0,25 Khi m 1. 0,25 o E 0,25 Tứ giác ABHK có AKB AHB 90 , A mà hai góc cùng nhìn cạnh AB 0,25 F K 0,25 a Suy ra tứ giác ABHK nội tiếp đường J tròn đường kính AB. T O 0,25 C Tâm là trung điểm AB. B H D Theo câu trên tứ giác ABHK nội tiếp (J) với J là trung điểm của AB .Nên BAH BKH (hai góc nội tiếp cùng chắn BH của (J)) 0,25 b Mà BAH BAD (A, H, K thẳng hàng) 0,25 BAD BED (hai góc cùng chắn BD của (O)) 0,25 Suy ra BKH BED , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK//. DE 0,25 Gọi T là giao điểm của hai đường cao AH và BK Tứ giác CHTK cóCHT CKT 90o Suy ra tứ giác CHTK nội tiếp đường tròn đường kính CT 3 Do đó CT là đường kính của đường tròn ngoại tiếp CHK (*) 0,25 Gọi F là giao điểm của CO với (O) hay CF là đường kính của (O) o Ta có:CAF 90 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) FA  CA Mà BK CA(gt) Nên BK// FA hay BT// FA (1) Ta có:CBF 90o (góc nội tiếp chắn nửa (O)) FB  CB c Mà AH CB (gt) Nên AH// FB hay AT// FB (2) Từ (1) và (2) ta có tứ giác AFBT là hình bình hành (hai cặp cạnh 0,25 đối song song) Do J là trung điểm của đường chéo AB Nên J cũng là trung điểm của đường chéo FT (tính chất đường chéo hình bình hành) Xét CTF có O là trung điểm của FC, J là trung điểm của FT Nên OJ là đường trung bình của CTF
5. 1 OJ CT ( ) 2 Từ (*) và ( ) ta có độ dài của OJ bằng độ dài bán kính đường 0,25 tròn ngoại tiếp CHK Mà độ dài của OJ là khoảng cách từ tâm O đến dây AB (J là trung điểm của dây AB) Do (O) và dây AB cố định nên độ dài OJ không đổi. 0,25 Vậy độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp CHK không đổi. 3 3 3 3 Ta có a b 4 a b 1 3 3 ab 3. Dấu bằng xảy ra 0,25 khi và chỉ khi a b 1. 3 3 a b 4 3 ab 1 Vì ab 1 0 nên M 3 . ab 1 ab 1 Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM là 3 đạt được khi a b 1. 0,25 2 2 +) Vì a b 2 nên a 2; b 2. Suy ra 3 3 2 2 a b4 2 a b 4 2 2 4 . 4 1 a3 b 3 4 Mặt khác 1 do ab 1 1. Suy ra M 2 2 4. 0,25 ab 1 ab 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 2 a b 2 . a; b 0; 2  a ; b 2;0 ab 0 Giá trị lớn nhất của biểu thức M là 4 2 2 đạt được khi 0,25 a; b 0; 2  a ; b 2;0 NHÀ TRƯỜNG DUYỆT NGƯỜI LÀM ĐỀ Đã duyệt Trần Mạnh Thắng Hà Văn Tài